Тема 6 Выборочное наблюдение Вопрос 1 Понятие о

Тема 6. Выборочное наблюдение Вопрос 1. Понятие о выборочном наблюдении и его значение. Вопрос 2. Основные способы формирования выборочной совокупности Вопрос 3. Ошибка выборки Вопрос 4. Определение необходимой численности выборки Вопрос 5. Способы распространения результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность

Вопрос 1. Понятие о выборочном наблюдении и его значение. Под выборочным понимается такое несплошное наблюдение, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части, включающей единицы, отобранные случайным образом. Изучаемая статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности часть единиц, подвергающихся обследованию, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Выборочный метод применяется в случаях: 1) проведение сплошного наблюдения невозможно или экономически нецелесообразно. Например, проверка качества отдельных видов продукции связана с ее уничтожением (оценка крепости ниток на разрыв; дегустация продуктов питания; контроль качества фарфора, электроламп, спичек, различных сплавов и т. п. ); 2) отдельные статистические совокупности настолько велики, что собрать данные в отношении каждой из единиц невозможно (например, изучение цен на рынках, изучение бюджетов семей); 3) для проверки результатов сплошного наблюдения.

Выборочный метод позволяет провести обследование: а) при минимальной численности обследованных единиц; б) в наиболее короткие сроки; в) с минимальными затратами труда и средств. В результате повышается оперативность информации, уменьшаются ошибки регистрации вследствие лучшего кадрового обеспечения наблюдения, так к его проведению привлекаются наиболее квалифицированные кадры.

Поскольку изучаемая статистическая совокупность состоит из единиц с варьирующими признаками, то состав выборочной совокупности в той или иной мере отличается от состава генеральной совокупности. Возникающее вследствие этого расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности составляет ошибку выборки. Способы определения ошибки выборки и распространения характеристик выборки на генеральную совокупность составляют основное содержание статистической методологии выборочного метода.

Вопрос 2. Основные способы формирования выборочной совокупности При выборочном наблюдении, как правило, обследованию подвергается 5– 10% единиц совокупности, реже 15– 25%. Качество результатов выборочного наблюдения зависит от того, насколько репрезентативна (т. е. представительна) выборка. Для обеспечения репрезентативности выборки необходимо соблюдение принципа случайности отбора единиц. Принцип случайности предполагает, что на включение объекта в выборку не может повлиять какой-либо иной фактор, кроме случая.

Существуют различные способы формирования выборочной совокупности. В практике выборочных наблюдений наибольшее распространение получили следующие виды выборки: 1) собственно-случайная; 2) механическая; 3) типическая; 4) серийная; 5) комбинированная. При этом основным видом выборки является собственно-случайная. Все другие являются ее развитием или видоизменением.

Собственно-случайная выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад, без каких-либо элементов системности. Отбор проводят: а) методом жеребьевки - всем элементам генеральной совокупности присваивается порядковый номер и для каждого из них готовится жребий (пронумерованный шар или фишка). Жребии перемешиваются в специальном ящике, из которого затем отбираются наугад. б) по таблицам случайных чисел - производится выбор случайных чисел по специальным таблицам, которые и образуют порядковые номера для отбора. В соответствии с объемом генеральной совокупности выбирается любой столбец или строка с числами необходимой значимости.

Собственно-случайный отбор может быть повторным либо бесповторным. При бесповторном отборе выпавшие в процессе жеребьевки жребии обратно в совокупность не возвращаются и в дальнейшем отборе не участвуют. Если используются таблицы случайных чисел, то бесповторность отбора достигается пропуском чисел при их повторении в выбранном столбце или столбцах.

Типическая выборка используется в случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько типических групп. Например, при обследования населения могут быть выделены социальные, возрастные или образовательные группы; при обследовании предприятий – группы по отраслям и подотраслям, форме собственности. Типический отбор предполагает выборку единиц из каждой типической группы собственно-случайным или механическим способом. При этом отбор единиц может быть организован: а) пропорционально объему типических групп; б) пропорционально внутригрупповой вариации признака.

Серийный отбор удобен в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться упаковки с определенным количеством готовой продукции, партии товара, студенческие группы, бригады и другие объединения. Сущность серийной выборки заключается в собственно-случайном или механическом отборе серий, внутри каждой из которых производится сплошное обследование единиц.

Комбинированный отбор представляет собой различные сочетания уже рассмотренных видов выборки. Например, можно комбинировать типическую и серийную выборки, когда выбираются серии из нескольких типических групп. Возможно также комбинирование серийного и собственно-случайного отбора, при котором отдельные единицы отбираются внутри серии в собственно-случайном порядке.

Вопрос 3. Ошибка выборки В процессе проведения выборочного наблюдения могут возникать ошибки двух видов: 1) регистрации (случайные и систематические); 2) репрезентативности (случайные и систематические. Случайных и систематических ошибок регистрации и систематических ошибок репрезентативности можно избежать при правильной организации и проведении наблюдения. Случайных ошибок репрезентативности избежать невозможно, поскольку они возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Однако среднюю величину случайной ошибки можно рассчитать, пользуясь методами теории вероятностей.

Введем следующие обозначения: N - объем генеральной совокупности (число составляющих ее единиц); n – объем выборки (число обследованных единиц); - средняя величина признака в генеральной совокупности (генеральная средняя); - средняя величина признака в выборочной сово купности (выборочная средняя); p – доля единиц, обладающих изучаемым признаком в генеральной совокупности (генеральная доля).

w – доля единиц генеральной совокупности, обладающих изучаемым признаком (генеральная доля); σ2 – генеральная дисперсия; S 2 – выборочная дисперсия (S 2 σ2 для больших выборок, т. е. при n > 30); R – число серий в генеральной совокупности; r – число отобранных серий.

Формулы для расчета ошибки выборки Для средней величины количественного признака Вид выборки Для доли альтернативного признака ( x ) ( W ) повторный отбор бесповторный отбор

повторный отбор бесповторный отбор Собственно-случайная, механическая

Типическая выборка (отбор пропорционально объему групп) повторный отбор бесповторный отбор

Серийная выборка повторный отбор бесповторный отбор

Пример. Из партии лампочек в 1000 шт. способом случайной бесповторной выборки отобрано 100 шт. Средняя продолжительность горения лампочек по отобранной части составляет 1200 ч, а среднее квадратичное отклонение - 200 ч. Из отобранных лампочек 90 шт. удовлетворяли стандарту. Требуется определить границы средней продолжительности горения (с вероятностью 0, 997), а также границы доли лампочек, удовлетворяющих стандарту (с вероятностью 0, 954), во всей партии.

Решение: Средняя ошибка средней продолжительности горения лампочек определяется по формуле для собственно-случайного бесповторного отбора: Предельная ошибка средней продолжительности горения лампочек определяется с учетом коэффициента доверия, соответствующего требуемому уровню доверительной вероятности (при t = 3 при Р=0, 997): Δх= tµх = 3 ∙ 19 = 57 ч

Пределы средней продолжительности горения лампочек в партии: – х + х; 1200 – 57 1200 + 57; 1143 1257. Таким образом, с вероятностью Р=0, 997 можно утверждать, что средняя продолжительность горения лампочек во всей партии находится в пределах от 1143 до 1257 ч.

Доля лампочек в выборке, удовлетворяющих стандарту (выборочная доля), составляет: Средняя ошибка доли стандартных лампочек определяется по формуле для собственно-случайного бесповторного отбора:

Предельная ошибка доли стандартных лампочек определяется с учетом коэффициента доверия, соответствующего требуемому уровню доверительной вероятности (t = 2 при Р=0, 954): w = t w = 20, 028 = 0, 056 Пределы доли лампочек в партии, удовлетворяющих стандарту, во всей партии w – w p w + w; 0, 9 – 0, 056 p 0, 9 + 0, 056; 0, 844 p 0, 956. С вероятностью Р=0, 954 можно утверждать, что доля лампочек в партии, удовлетворяющих стандарту, находится в пределах от 84, 4 до 95, 6%.

Пример. 10%-ный бесповторный типический отбор рабочих предприятия, пропорциональный размерам цехов, проводимый с целью оценки потерь рабочего времени из-за временной нетрудоспособности, привел к результатам, представленным в таблице. Из числа обследованных 90 рабочих первого цеха, 120 рабочих второго цеха и 70 рабочих третьего цеха не имели случаев нетрудоспособности. С вероятностью 0, 954 требуется определить границы среднего числа дней нетрудоспособности, а также границы доли рабочих, не имевших случаев нетрудоспособности, по предприятию в целом. Цех Всего рабочих, чел. Обследовано, чел. Число дней временной нетрудоспособности за год средняя 1 2 3 1000 1400 80 100 140 80 дисперсия 18 12 15 49 25 16

Среднее число дней временной нетрудоспособности в выборочной совокупности определяется по формуле средней арифметической взвешенной: Средняя из внутригрупповых дисперсий числа дней временной нетрудоспособности по трем цехам завода:

Средняя ошибка среднего числа дней нетрудоспособности рассчитывается по формуле для типического бесповторного отбора: Предельная ошибка выборки определяется с учетом доверительной вероятности 0, 954: x = 20, 3 =0, 6 дн. Пределы среднего числа дней нетрудоспособности по предприятию в целом 14, 6 – 0, 6 14, 6 + 0, 6; 14 15, 2.

Доля рабочих, не имевших случаев нетрудоспособности, по цехам предприятия составляет: Доля рабочих, не имевших случаев нетрудоспособности, по выборке в целом определяется по формуле средней арифметической взвешенной: w=

Для определения средней ошибки доли рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий: Средняя ошибка доли рабочих, не имевших случаев нетрудоспособности Предельная ошибка доли рабочих, не имевших случаев нетрудоспособности: w = t μw = 20, 02 = 0, 04.

Пределы доли рабочих, не имевших случаев нетрудоспособности, по предприятию в целом 0, 88 – 0, 04 Р 0, 88 + 0, 04; 0, 84 Р 0, 92.

6. 4. Определение необходимой численности выборки На стадии организации выборочного наблюдения решается вопрос о том, каков должен быть объем выборочной совокупности, для того, чтобы была обеспечена требуемая точность результатов наблюдений. Уменьшение ошибки выборки, а следовательно, увеличение точности определения параметров генеральной совокупности всегда связано с увеличением объема выборки. Увеличивая численность выборки, можно довести ее ошибку до сколь угодно малых размеров. Однако из формул средней ошибки выборки следует, что уменьшение ошибки в k раз требует увеличения объема выборки в k 2 раз. Увеличение объема исследований, в свою очередь, вызывает дополнительные затраты труда и средств, снижает оперативность информации. Поэтому вопрос об оптимальной численности выборки имеет важное практическое значение.

Определение необходимой численности выборки основывается на формуле ее предельной ошибки. Так, при случай-ном повторном отборе объем необходимой численности выборки получаем в результате преобразования соответствующей формулы: Таким же образом выводятся формулы для расчета численности выборки при других способах отбора Расчетную величину объема выборки с целью получения запаса точности округляют в большую сторону. Для упрощения расчетов при определении объема бесповторной выборки может использоваться формула для повторной выборки, что также дает запас точности.

Иногда на практике задается не величина абсолютной предельной ошибки x, а величина относительной, выраженная в процентах к средней, %. В этом случае формулы для расчета необходимого объема выборки также получаются в результате преобразования соответствующих формул ошибки выборки:

Формулы для расчета необходимого объема выборки при различных способах формирования выборочной совокупности При определении средней величины признака Вид выборки Повторный отбор При определении доли признака Бесповторный Повторный Бесповторный отбор

Собственно-случайная и механическая

Типическая

Серийная

Для упрощения определения объема выборки можно воспользоваться таблицами, в которых указывается необходимая ее численность при заданных величинах доверительной вероятности и допустимой ошибки. Если целью выборочного наблюдения является изучение различных признаков с неодинаковой колеблемостью, то при определении необходимого объема выборки следует ориентироваться на тот признак, который при наибольшей колеблемости обладает наименьшей величиной допустимой ошибки.

Пример. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0, 997 предельная ошибка средней продолжительности горения лампочек не превышала 60 часов. Известно, что объем генеральной совокупности 1000 лампочек, а среднее квадратическое отклонение 200 ч.

Пример. Определите необходимую численность выборки, чтобы с вероятностью 0, 954 предельная ошибка доли лампочек удовлетворяющих стандарту, не превышала 6%. Доля лампочек, удовлетворяющих стандарту, составляет 90%, а численность генеральной совокупности 1000 лампочек.