ТЕМА 6 Основы теории Максвелла Теорема Гаусса-Остроградского Интеграл

ТЕМА 6. Основы теории Максвелла Теорема Гаусса-Остроградского Интеграл по объему от дивергенции векторного поля равен полному потоку этого поля через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем, если нормаль направлена наружу Здесь ds – элементарная площадь, а d. S = ds·n – вектор, по модулю равный ds и направленный по внешней нормали к поверхности n. 1

Теорема Стокса Интегральный поток ротора векторного поля через произвольную поверхность S равен циркуляции этого поля вдоль контура L, ограничивающего данную поверхность, если ориентации поверхности и контура согласованны. Здесь d. S = ds·n – вектор, по модулю равный ds и направленный по внешней нормали к поверхности n, а dr - вектор, равный dr и направленный по касательной. 2

Определение ротора векторного поля Для любого векторного поля А: Здесь A – векторное поле, а переменной в нижнем индексе обозначена частная производная по этой переменной. 3

Теория Максвелла Теперь сформулируем четыре закона, лежащих в основе теории Максвелла: 4

1. Теорема Гаусса Поток электрического поля через любую замкнутую поверхность S пропорционален заряду, который в данный момент находится в объеме V, ограниченном этой поверхностью. Здесь d. S = ds·n - вектор, по модулю равный ds и направленный по внешней нормали к поверхности n, ρ – объемная плотность заряда, dq – элементарный заряд, а ε 0 = 8. 85· 10 -12 Кл 2/(Н·м 2) – электрическая постоянная, не имеющая физического смысла. 5

Теперь, используя теорему Гаусса-Остроградского находим, что Из последнего равенства следует соотношение теоремы Гаусса в дифференциальной форме: - система СИ - система СГС 6

2. Закон электромагнитной индукции Циркуляция электрического поля по любому замкнутому контуру L пропорциональна скорости приращения магнитного потока через любую поверхность S, ограниченную данным контуром. При этом циркуляция электрического поля и скорость приращения магнитного потока имеют противоположные знаки. Здесь d. S = ds·n - вектор, по модулю равный ds и направленный по внешней нормали к поверхности n, а dr – вектор, по модулю равный dr и направленный по касательной к контуру L. 7

Теперь, используя теорему Стокса находим, что Из последнего равенства следует соотношение закона электромагнитной индукции в дифференциальной форме: - система СИ - система СГС Это одно векторное (три скалярных уравнения) 8

Для справки, приведем в системе СИ систему из трех скалярных уравнений, эквивалентную одному векторному: - одно векторное уравнение - равносильная система из трех скалярных уравнений для компонент электрического и магнитного поля в x, y и z направлениях 9

3. Закон отсутствия магнитных зарядов Поток магнитного поля через любую замкнутую поверхность S равен нулю Сравнивая с соотношением теоремы Гаусса для электрического поля Заключаем, что Магнитных зарядов в природе не существует! 10

По аналогии с теоремой Гаусса для электрического поля, можно получить дифференциальную форму закона отсутствия магнитных зарядов: Дифференциальные уравнения в системе СИ и СГС в данном случае совпадают. 11

4. О вихревом характере магнитного поля Циркуляция магнитного поля по любому замкнутому контуру складывается из двух слагаемых. Первое слагаемое пропорционально силе тока, протекающего сквозь этот контур, а второе - скорости изменения потока электрического поля через любую поверхность, ограниченную этим контуром. Здесь B, J и E – трехмерные векторные поля, а d. S = ds·n – вектор, по модулю равный ds и направленный по внешней нормали к поверхности n. 12

Применением теоремы Стокса, аналогично тому, как это было сделано для уравнения самоиндукции, можно получить уравнение в дифференциальной форме: - в системе СИ - в системе СГС Это одно векторное (три скалярных уравнения)! Для справки приведем первое из трех скалярных уравнений в системе СИ: 13

Дифференциальное уравнение можно переписать в эквивалентной форме: Величина Jsm, характеризующая фиктивную (дополнительную) плотность тока, возникающую за счет изменения во времени электрического поля, называется током смещения. 14

Электромагнитные волны Соответствующая система уравнений получается из уравнений Максвелла при отсутствии зарядов и токов (ρ = J = 0): Представленная система уравнений допускает решения вида: Это показывает, что электрическое и магнитное поля могут существовать только одновременно! 15

Скорость распространения электромагнитной волны Из приведенной системы уравнений можно получить волновое уравнение для напряженности электрического поля: Ограничимся одномерным случаем (плоская волна): Решение представляется в виде суперпозиции двух бегущих волн, распространяющихся в отрицательном и положительном направлениях оси x со скоростью света с: 16

Спасибо за внимание