Тема 6 Численные методы решения дифференциальных уравнений Лекция

Тема 6 Численные методы решения дифференциальных уравнений Лекция 8

1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях Инженеру-технологу постоянно приходиться в своей деятельности сталкиваться с дифференциальными уравнениями. Многие задачи механики (например, внешней баллистики, движения ракет и др. ), физики, химии (например, кинетики химических реакций), технологии (например, процессы массопереноса, теплопередачи и др. ) при их математическом моделировании сводятся к дифференциальным уравнениям. Поэтому решение дифференциальных уравнений – одна из важнейших математических задач. В вычислительной математике изучаются численные методы решения дифференциальных уравнений, которые могут быть реализованы эффективно на ЭВМ. 1) Классификация дифференциальных уравнений (ДУ) В зависимости от числа независимых переменных делятся на две категории: обыкновенные ДУ – содержат одну независимую переменную; ДУ с частными производными – содержат несколько независимых переменных. Мы будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенными ДУ (ОДУ) называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции: В общем виде ОДУ записываются так: (1) где x – независимая переменная; Y – искомая функция от x; – производные соответствующего порядка от искомой функции Y(x). Наивысший порядок n входящей в уравнение производной называется порядком дифференциального уравнения. Например: Уравнение первого порядка. Уравнение второго порядка. В некоторых случаях из дифференциальных уравнений удаётся выразить старшую производную Такая форма записи называется уравнением, разрешённым относительно старшей производной. Обыкновенные дифференциальные уравнения могут быть линейными и нелинейными. Линейными ДУ называются уравнения, линейные относительно искомой функции и всех ёе производных. Например: – линейное уравнение первого порядка. – нелинейное уравнение первого порядка.

2) Решение дифференциальных уравнений Решением дифференциального уравнения (1) называется такая функция Y=Y(x), которая после подстановки ёе в уравнение превращает его в тождество. Общее решение ОДУ n-го порядка содержит n произвольных постоянных: С 1, С 2, …, Сn, т. е. общее решение уравнения (1) имеет вид: Частное решение ДУ получается из общего, если произвольным постоянным придать определённые значения. Например: Для уравнения первого порядка общее решение зависит от одной произвольной постоянной: Если постоянная С принимает определён- ное значение С=С 0 , то получим частное решение: Теорема Коши: Если правая часть уравнения f (x, Y) и её частная производная определены и непрерывны в некоторой области G изменения переменных x, Y , то для всякой внутренней точки этой области данное уравнение имеет единственное решение, принимающее заданное значение при

Геометрическая интерпретация частного решения для уравнений высших порядков более сложная. Через каждую точку в области решения уравнений при n>1 проходит не одна интегральная кривая. Поэтому, если для выделения некоторого частного решения уравнения первого порядка достаточно задать координаты (x 0, Y 0) произвольной точки на данной интегральной кривой, то для уравнения высших порядков этого недостаточно. Существует следующее правило: для выделения частного решения из общего нужно задавать столько дополнительных условий, сколько произвольных постоянных в общем, решении, т. е. каков порядок уравнения. В качестве дополнительных условий могут задаваться значения искомой функции и ёе производных при некоторых значениях независимой переменной, т. е. в некоторых точках. Например, для уравнения 2 -го порядка нужно задать два дополнительных условия, из которых можно найти значение 2 -х произвольных постоянных.

3) Типы задач В зависимости от способа задания дополнительных условий (ДУ), существуют два типа задач: • Задача Коши; • Краевая задача. В задаче Коши дополнительные условия задаются в одной точке. В этом случае дополнительные условия называются начальными условиями, а точка x=x 0, в которой они задаются, – начальной точкой. В краевой задаче дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т. е. при разных значениях независимой переменной. Дополнительные условия называются в этом случае граничными (или краевыми) условиями. На практике, обычно, граничные условия задаются в двух точка x=a и x=b, являющихся границами области решения дифференциального уравнения. Пример постановки задачи Коши для ОДУ: Пример краевой задачи:

4) Классификация и общая характеристика методов решения ОДУ Методы решения ОДУ делятся на следующие основные группы: графические; аналитические; приближённые; численные. Графические методы: используют геометрические построения. В частности метод изоклин для решения ДУ первого порядка основан на геометрическом определении интегральных кривых по заранее построенному полю направлений, определённому изоклинами. Аналитические методы: в курсе ДУ знакомят с некоторыми из них. Для некоторых уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др. ) а также для некоторых типов уравнений высшего порядка (например линейных с постоянными коэффициентами) удаётся получить решение в виде формул путём аналитических преобразований. Приближённые методы: используют различные упрощения самих уравнений путём обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций. Мы будем рассматривать численные методы решения ОДУ.

2. Метод конечных разностей решения ДУ Наиболее распространенный и универсальный численный метод решения дифференциальных уравнений – метод конечных разностей. Сущность метода заключается в следующем: а) Область непрерывного изменения аргумента x (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек xi , называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента Y(x) приближённо заменяется функцией дискретного аргумента y(xi) на заданной сетке. Эта функция называется сеточной: б) Исходное ДУ заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используются соответствующие конечно-разностных соотношения (см. тему 5). Такая замена ДУ разностным называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией), а совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих исходное ДУ и дополнительные условия на границе, называется разностной схемой. в) решение ДУ сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки. Обоснованность замены ДУ разностным, точность получаемых решений, устойчивость метода – важнейшие вопросы, требующие изучения в процессе решения конкретного ДУ.

Таким образом, в методе конечных разностей строится соответствующая разностная схема: исходное ДУ (1) заменяется разностным уравнением путём аппроксимации производных конечно - разностными соотношениями; вводится сетка с, как правило постоянным, шагом h (cетку образует совокупность узлов x 0, x 1, …); значения исходной функции Y (непрерывно изменяющегося аргумента x) в узлах сетки заменяются приближенными значениями yi дискретной сеточной функции y, определенной на дискретном множестве {xi , i=0, 1, 2…}, которая является решением разностного уравнения. Пример. Рассмотрим частную, простейшую, задачу Коши: Введём равномерную сетку с шагом h, приняв в качестве узлов значения аргумента x 0, x 1, …. Значения сеточной функции, которая аппроксимирует искомое решение в данных узлах, обозначим через y 0, y 1, …. Тогда разностную схему можно записать в виде: Данная схема имеет первый порядок аппроксимации, т. е. :

Решение разностной задачи, в результате которого находятся значения сеточной функции yi в узлах xi , приближённо заменяет решение Y(x) исходной дифференциальной задачи. Однако, не всякая разносная схема даёт удовлетворительное решение, т. е. значения yi не всегда с достаточной точностью аппроксимируют Y(xi) в узлах сетки. В связи с этим при решении ДУ численным методом важную роль, как уже говорилось, играют такие понятия, как устойчивость, аппроксимация и сходимость разностной схемы. В теории разностных схем доказывается, что если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную дифференциальной задачу, то она сходится. Другими словами из устойчивости и аппроксимации разностной схемы следует её сходимость. Это позволяет свести трудную задачу изучения сходимости и оценки порядка точности разностной схемы к изучению погрешности аппроксимации и устойчивости, что значительно легче. Вопросы исследования разностных схем изложены в специальной литературе (например, Самарский А. А. Теория разностных схем. – М. : Наука, 1983).

Рассмотрим теперь более общий случай задачи Коши. Задача Коши. Найти функцию Y= Y(x) , удовлетворяющую уравнению (2) Для определённости будем считать, что x>x 0. Методы решения задачи (2) распространяются и на случай систем уравнений вида (2). В свою очередь к системам уравнений вида (2) можно привести уравнения высших порядков. Например: уравнение можно записать в виде следующей системы дифференциальных уравнений: где z 1=Y', z 2= Y. Для решения задачи (2) будем использовать разностные методы. Введём последовательность точек: x 0, x 1, …, и шаги hi=xi+1− xi (i=0, 1, …). В каждом узле xi вместо значений функции Y(xi) вводятся числа yi, аппроксимирующие точное решение Y на данном множестве точек. Функцию y, заданную в виде таблицы {xi , yi} (i=0, 1, …), называют сеточной функцией.

Далее, заменяя значение производной в уравнении (2) отношением конечных разностей, осуществляем переход от дифференциальной задачи (2)-(3) относительно функции Y к разностной задаче относительно функции y: (4) (5) Здесь разностное уравнение (4) записано в общем виде, конкретное же выражение его правой части зависит от способа аппроксимации производной. Для каждого численного метода получается свой вид уравнения (4). Из анализа вида разностного уравнения можно провести некоторую классификацию численных методов решения задачи Коши для ОДУ: а) если в правой части (4) отсутствует yi+1, т. е. значение yi+1 явно вычисляется по k предыдущим значениям yi, yi– 1, …, yi–k+1 , то разностная схема называется явной. При этом получается k-шаговый метод: k=1 − одношаговый, k=2 − двухшаговый и т. д. б) если в правую часть (4) входит искомое значение yi+1, то решение этого уравнения усложняется. В таких методах, называемых неявными, приходится решать уравнение (4) относительно yi+1 с помощью итерационных методов.