Тема 6. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Лекция № 6 (14). Дифракция электромагнитных волн на клине и сфере 1. Дифракция ЭМВ на бесконечном идеально проводящем клине и полуплоскости. 2. Дифракция ЭМВ на идеально проводящей сфере. Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14). 1
1 Дифракция ЭМВ на бесконечном идеально проводящем клине Решение относится к каноническому телу. Применяется для моделирования волновых процессов при наличии острых кромок и ребер, включая края тонких экранов. Рисунок 6. 1 – Геометрия задачи 2 Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14).
Решение задачи дифракции Тело не обладает аксиальной симметрией, как цилиндр. Следовательно, необходимо учитывать угол падения 0. Представление падающего поля (случай Е-поляризации) (6. 1) Граничные условия: (6. 2) Вид решения методом разделения переменных: (6. 3 а) (6. 3 б) (6. 4) Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14). 3
Представление падающего поля (случай Н-поляризации) (6. 5) Граничные условия: (6. 6) Вид решения методом разделения переменных: (6. 7 а) (6. 7 б) (6. 8) Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14). 4
Анализ полученного решения Обобщение вида решения (6. 9) где , , верхний знак соответствует Е-поляризации, нижний знак - Н-поляризации. Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14). 5
Представление функции u: (6. 10) негеометрооптическая часть Рисунок 6. 2 – Разделение пространства лучами: I – освещение прямыми и отраженными лучами; II – освещение только прямыми лучами; III – область тени; Направления - границы разделения «свет-тень» Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14). 6
Представления функции S Вдали от границ «свет-тень» (6. 11) Негеометрооптическая часть поля. Характеризуется диаграммой направленности. Вид - цилиндрическая волна. Особенность – различие в процессе излучения. Источник – не сторонний, а рассеивающий центр (ребро клина). Рисунок 6. 3 – Цилиндрические волны от острия Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14). 7
Частные случаи представления функции S Бесконечная плоскость: =. (6. 12) Области III исчезают. Анализ соотношения: , однако. Следовательно, деления нуль на нуль в первом сомножителе не возникает. Следовательно, Вид решения: - для Е-поляризации, - для Н-поляризации. Полуплоскость: =2. (6. 13) Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14). 8
Анализ структуры поля вблизи ребра клина: 1. В области III геометрооптическая часть равна нулю. Полное поле – цилиндрические волны, расходящиеся от ребра клина. 2. В области II цилиндрические волны накладываются на падающую волну. Возникают интерференционные полосы, уменьшающиеся при удалении от границы между областями. 3. В области I полное поле = падающая волна + отраженная волна + стоячая волна + цилиндрическая волна, Интерференция стоячей волны с цилиндрической волной. Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14). 9
Анализ структуры поля вблизи ребра клина: 4. Вблизи границы «свет-тень» . а) Вблизи области полутени (граница областей II и III). Поле быстро изменяется в поперечном направлении. На границе равно 0. 5 амплитуды падающей волны. б) Граница областей I и II. Граница описывает область, в которой есть отраженная волна (I). На границе происходит интерференция между полутеневым полем и полем плоской падающей волны. Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14). 10
Анализ структуры поля вблизи ребра клина. Итоги 1. Если в соотношении (6. 10) пренебречь функцией S, получаем геометрооптическое решение задачи: - падающая волна частично затеняется клином; - возникает полубесконечная волна, отраженная от верхней грани. 2. Функция S обеспечивает непрерывность полного поля, т. е. определяет поправки к ГО, обусловленные дифракцией. 3. Вдали от направлений «свет-тень» , определяемых первым законом Снеллиуса, функция S имеет характер цилиндрической волны, расходящейся от ребра клина. Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14). 11
2 Дифракция электромагнитных волн на идеально проводящей сфере Постановка задачи. Пусть: на сферу радиуса a падает плоская электромагнитная волна, векторы ЭМП которой определяются соотношениями: Рисунок 6. 4 - Геометрия задачи Ограничение: на поверхности сферы выполняются ГУ для идеально проводящей поверхности. Требуется: определить вторичное электромагнитное поле, возникающее в пространстве. Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14). 12
Особенность решения – использование потенциалов Дебая U, V. Функции U и V соответствуют двум поляризациям следующим образом: - поле, у которого , не содержит Hr –компоненты – поле поперечно-магнитной (электрической волны); - поле, у которого , не содержит Еr составляющую, т. е. является поперечно-электрической (магнитной) волной. Единицы измерения функций U и V соответственно [В] и [А], т. е. по своему физическому смыслу потенциалы Дебая являются напряжением и силой тока. 13 Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14).
Представление решения 1. Волновые уравнения: (6. 14) 2. Граничные условия: (6. 15) Ни уравнения Гельмгольца (6. 14), ни ГУ (6. 15) не связывают между собой поляризации, т. е. волны электрического и магнитного типов при дифракции на сфере могут существовать независимо 14 Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14).
Представление решения: где - присоединенные функции Лежандра степени n порядка m. При. В совокупности с тригонометрическими функциями функции Лежандра называются: - если - шаровые тессеральные (клеточные функции); - если - шаровые телесные функции. 15 Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14).
Связь между потенциалами Дебая и компонентами ЭМП: 16 Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14).
Анализ структуры поля дифракции на сфере: Элементарные волны поля дифракции – сферические волны, как бы излучаемые из центра сферы. Амплитуда поля зависит от и . Области максимальной плотности излучения на сфере расположены пятнами (клеточная структура. Отсюда шаровые тессеральные функции). Волны уходят вертикально вниз, проходят через центр сферы, доходят до другой его стороны, отражаются от нее, проходят через центр сферы и т. д. (слева). Справа – волны ушли вниз под углом. Рисунок 6. 5 – Распределение амплитуд поверхностных токов на сфере Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14). 17
Отсутствие деполяризации в терминах потенциалов Дебая. Деполяризация в терминах полей ЭМП (соотношение между потенциалами U и V в падающей и дифрагированной волнах отличается, появляются составляющие, которых не было в падающей волне). Поле дифракции содержит все шесть компонент (векторное поле), поскольку одновременно существуют как меридиональные, так и азимутальные составляющие поверхностных токов. В дальней зоне поле имеет характер квазиплоской поперечной волны. 18 Электродинамика и РРВ. Сем. 2. Лекция 6(14).