Тема 5 Решение нелинейных уравнений Вопросы темы

Тема 5. Решение нелинейных уравнений

Вопросы темы 1. 2. 3. 4. 5. Решение нелинейных уравнений с одной переменной. Постановка задачи. Отделение корней. Метод половинного деления. Метод итераций. Метод Ньютона (касательных)

Вопрос 1. Решение нелинейных уравнений с одной переменной. Постановка задачи. Нелинейное уравнение можно представить в виде: 5. 1 где функция F(x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале (a, b). Всякое число ζ (a, b), обращающее функцию F(x) в нуль, т. е. при котором F(ζ ) = 0, называется корнем уравнения (5. 1). Число ζ называется корнем k-й кратности, если при x = ζ вместе с функцией F(x) равны нулю ее производные до (k-1) порядка включительно: Определения. Два уравнения F(x) = 0 и G(x) =0 называются равносильными (эквивалентными), если всякое решение каждого из них является решением и для другого, т. е. множества решений этих уравнений совпадают. Нелинейные уравнения Алгебраические, которые могут быть сведены к канонической форме Pn(x) = a 0 xn + a 1 xn-1 + … + a 0 = 0 Трансцендентные – не алгебраические Численное решение нелинейных уравнений требует установить: имеет ли уравнение корни, сколько корней, и их значения с заданной точность. Поставленная задача сводится к двум этапам: I этап Отделение корней II этап Уточнение корней

Вопрос 2. Отделение корней. Первый этап численного решения уравнения (5. 1) состоит в отделении корней, т. е. в установлении «тесных» промежутков, содержащих только один корень. Методы отделения корней Графический Численный Уравнение (5. 1) заменяется равносильным ему: 5. 2 Строятся графики функций f 1(x) и f 2(x) и на оси Ох отмечают отрезки пересечения этих графиков Например. Задано уравнение sin 2 x – ln x = 0, заменяем sin 2 x = ln x. Строим графики Из графика видно, что уравнение имеет один корень, принадлежащий отрезку [1; 1, 5] 1. Если непрерывная на [a, b] функция F(x) принимает на концах значения разных знаков (т. е. F(a) * F(b) < 0), то уравнение (5. 1) на этом отрезке имеет один или более корней. 2. Если функция F(x) к тому же еще и строго монотонная, то корень на отрезке единственный. Процесс отделения представлен на рисунке, начиная с точки x = A, двигаясь с шагом h, проверяя знаки на концах

БЛОК-СХЕМА. Отделения корней (решение нелинейных уравнений) начало ввод a, b, h x 1 = a, x 2 = x 1 + h, y 1 = F(x 1) x 2< b Нет Да y 2 = F(x 2) Да y 1* y 2< 0 Нет вывод x 1, x 2 x 1 = x 2, x 2 = x 1 + h, y 1 = y 2 конец

Проблемы метода отделения корней. Надежность численного метода отделения корней уравнения зависит от характера функции А(x) и от величины шага h. Потеря корней Чётное число корней на отрезке Нечётное число корней на отрезке Например, на отрезке [x, x + h] функция дважды пересекает ось Ох, следовательно уравнение имеет два корня. При этом на концах функция имеет значения одного знака, следовательно корни по указанному методу будут потеряны. Например, на отрезке [x, x + h] уравнение имеет три корня. При этом на концах функция имеет значения разного знака, следовательно отрезок будет выбран, но при уточнении корней два корня будут потеряны. Метод решения проблемы Выбор достаточно малого h

Вопрос 3. Метод половинного деления (МПД). Пусть уравнение (1. 1) имеет на отрезке [a, b] имеет единственный корень, причем функция F(x) на этом отрезке непрерывна. Для определения корня можно применить МПД. Шаг 1. Делим отрезок [a, b] пополам c=(a+b)/2, если F(c) = 0, то с - корень иначе Шаг 2. Из двух отрезком [a, c] и [c, b] выбираем один на концах которого функция принимает значения разных знаков Шаг n. До сколь угодно малого отрезка, решение уравнения (1. 1) будет середина полученного отрезка c=(a+b)/2

БЛОК-СХЕМА. Уточнение корней (метод половинного деления) начало ввод a, b, ε c = (a + b ) / 2 Нет F(a)·F(c)< 0 a=c Да Да b=c |b – a| > ε Нет x = (a + b) /2 вывод x конец

Вопрос 4. Метод итераций Нелинейное уравнение можно представить в виде (5. 1): 5. 1 Заменим уравнение (5. 1) равносильным уравнением: 5. 3 Теорема. Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a, b] и выполнены условия: 1) f(x) определена и непрерывна на [a, b]; 2) f(x) [a, b] для всех x [a, b]; 3) существует такое вещественное число q, что |f ‘ (x) | ≤ q < 1 для всех x [a, b], тогда последовательность xn+1=f(xn) (n = 0, 1, 2, …) сходится при любом начальном x 0 [a, b].

Суть и реализация метода итераций 1. Из нелинейное уравнение выделяют x, т. е. представляют нелинейное уравнение в виде (5. 3): 5. 3 где |f ‘ (x) | ≤ q < 1 для всех x [a, b]. 2. Выбирают на отрезке [a, b] произвольную точку x 0 – первое приближение корня уравнения (5. 3), потом вычисляют – второе приближение и так далее 3. Точность вычисления корня уравнения на отрезке [a, b] достигается выполнением условия: где ε заданная погрешность вычисления корня уравнения.

БЛОК-СХЕМА. Метод итераций (решение нелинейных уравнений) начало ввод x 0, ε x = x 0, y = f(x) |x-y|>= ε Да x=y y = f(x) вывод x конец Нет

Вопрос 5. Метод Ньютона (касательных) Представим нелинейное уравнение в виде (5. 3) : 5. 3 где |f ‘ (x) | > 1 для всех x [a, b], тогда можно использовать метод Ньютона или касательных 2. Выбирают на отрезке [a, b] точку x 0 = a – первое приближение корня уравнения (5. 3), потом вычисляют – второе приближение и так далее по формуле 3. Точность вычисления корня уравнения на отрезке [a, b] достигается выполнением условия: где ε заданная погрешность вычисления корня уравнения.

БЛОК-СХЕМА. Метод Ньютона (решение нелинейных уравнений) начало ввод x 0, ε x = x 0 y = x – f(x)/f’(x) Да |x-y|< ε Нет вывод x конец