Тема 5 Применение методов стохастического анализа в решении

Тема 5. Применение методов стохастического анализа в решении аналитических задач 1. Понятие стохастической связи. Стохастическое моделирование. 2. Характеристика и применение коэффициента эластичности в экономическом анализе. 3. Характеристика и применение методов корреляционно-регрессионного анализа.

1. ПОНЯТИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ СВЯЗИ. СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Стохастическая связь (греч. Stochasis догадка) связь между случайными величинами, проявляющаяся в том, что при изменении одной из них меняется принцип распределения другой Стохастический анализ - метод решения широкого круга задач , предполагающий изучение массовых эмпирических данных путем построения моделей изменения показателей за счет факторов, не находящихся в прямой зависимости

Качественная однородность совокупности (относительно изучаемых связей) и изменяемость по хозяйственным объектам и периодам Обобщение закономерностей варьирования значений изучаемых экономических показателей Использование приемов, позволяющих рассчитать параметры связей экономических показателей, исходя из эмпирических массовых данных варьирования их уровней Построение стохастической модели Достаточная размерность совокупности наблюдений

Задачи стохастического анализа Изучение наличия и тесноты связи между функцией и факторам, между факторами Классификация и ранжирование факторов экономических явлений Выявление аналитической формы связи между изучаемыми явлениями Сглаживание показателей (выявление тренда) динамики изменения уровня Выявление параметров закономерных периодических колебаний уровня показателей Изучение размерности (сложности, многогранности) экономических явлений Определение и количественное измерение влияния факторов(экономическая интерпретация полученных уравнений)

2. ХАРАКТЕРИСТИКА ПРИМЕНЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЭЛАСТИЧНОСТИ Темп изменения Y , 0 , 0 из Тем ме не п ни я X Эластичность-мера реагирования одного показателя на изменение другого - абсолютные изменения взаимозависимых показателей; - базисные величины этих показателей. Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменится один показатель при изменении другого показателя на 1 %

Коэффициент эластичности спроса по цене Показывает на сколько процентов изменится спрос при изменении цены на 1 %

Взаимосвязь характера спроса, цены и выручки от продаж Значение коэффициента эластичности Характер спроса Кэл= 0 Абсолютно неэластичный спрос Кэл< 1 Взаимосвязь цены и спроса Влияние цены на выручку Увеличение цены Снижение цены Спрос не зависит от цены Выручка растет Выручка уменьшается Относительно неэластичный спрос Процентное изменение спроса меньше процентного изменения цены Выручка растет Выручка уменьшается Кэл = 1 Единичная эластичность спроса Процентное изменение спроса равно процентному изменению цены Выручка неизменна Кэл > 1 Относительно эластичный спрос Процентное изменение спроса больше процентного изменения цены Выручка уменьшается Выручка растет Кэл → ∞ Абсолютно эластичный спрос Цена товара не зависит от спроса Выручка растет Выручка уменьшается

3. ХАРАКТЕРИСТИКА И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ КОРРЕЛЯЦИОННОРЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Корреляционный анализ — метод статистического исследования данных, который позволяет определять степень линейной зависимости между переменными. Это метод нахождения тесноты связи между наблюдениями, выбранными из совокупности, распределенной по нормальному закону. Обычно в анализе используют парную или множественную корреляцию. Корреляционный анализ устанавливает лишь факт наличия связи и степень ее тесноты, не раскрывая причин.

Задачи корреляционного анализа 1. Установление стохастической связи между параметрами Позволяет решить качественный вопрос о наличии стохастической связи 2. Оценка тесноты связи факторов и результирующего показателя Позволяет найти количественную оценку тесноты связи

Регрессионный анализ –метод установления аналитического выражения стохастической зависимости между исследуемыми признаками. Уравнение регрессии показывает как в среднем изменится y при изменении любого из xi и имеет вид y=f(X 1, X 2, X 3…Xn) Y- зависимая переменная (результативный показатель) она всегда одна; Xi- независимые переменные (факторы) их может быть несколько

Задачи регрессионного анализа 1. Построение уравнения регрессии Нахождение вида зависимости между результативным показателем и независимыми факторами 2. Оценка значимости полученного уравнения Определение насколько выбранные факторные признаки объясняют вариацию результативного показателя

Этапы корреляционно-регрессионного анализа 1 2 3 • Выявление из совокупности наиболее информативных факторов, оказывающих существенное влияние на результативный показатель • Определение направления и количественной оценки тесноты связи между факторными и результативными признаками • Построение модели регрессии, описывающей зависимость результативного признака Y от наиболее информативных признаков X 4 • Оценка статистической значимости уравнения регрессии и коэффициентов регрессии. Определение возможной величины ошибки получаемых по этой модели прогнозных значений Y 5 • Расчет и анализ дополнительных показателей для расширения экономической интерпретации уравнения регрессии 6 • Экономическая интерпретация, формулирование выводов, построение прогнозов, разработка предложений

Условия применения корреляционно-регрессионного анализа Единицы исследуемой совокупности должны иметь одинаковую размерность и методологию расчета Факторные и результативные признаки должны быть выражены количественно Числовые характеристики, используемые для исследования, должны являться случайно выбранными из единиц генеральной совокупности (определенная выборка не будет отражать характер совокупности) Единицы исследуемой совокупности должны быть независимыми друг от друга (в случае автокорреляции существуют специальные методы обработки информации)

Совокупность исследуемых исходных данных должна быть однородной (для оценки однородности используется вариационный анализ) Совокупность исходных данных должна быть подчинена нормальному закону распределения (для проверки значимости коэффициентов корреляции и построения доверительного интервала для них используются определенные критерии) Количество единиц совокупности должно превышать количество факторных признаков минимум в 3 -4 раза(предпочтительнее в 8 -10 раз (с увеличением числа наблюдений более отчетливо проявляется статистическая закономерность) Факторные признаки не должны находиться между собой в функциональной зависимости (при обнаружении мультиколлинеарности исключается признак, который оказывает минимальное влияние на результативный признак)

Коэффициент корреляции (при линейной форме связи) r - коэффициент корреляции между двумя случайными переменными; х - значение показателя-фактора, y - значение результативного показателя.

Таблица для расчета коэффициента корреляции Число набл. , n Факторный признак, x Результативный признак, y y 2 xy 1 x 1 y 12 x 1 y 1 2 x 2 y 22 x 2 y 2 3 x 3 y 32 x 3 y 3 итого Средняя

Оценка коэффициента корреляции Парный коэффициент корреляции изменяется -1< r <1. Количественная оценка тесноты связи при различных значениях коэффициента корреляции Величина коэффициента корреляции 0, 1 - 0, 3 - 0, 5 0, 7 - 0, 9 - 0, 99 Теснота связи Очень слабая Слабая Умеренная Высокая Очень высокая 0, 5 - 0, 7

Оценка линейного коэффициента корреляции Значение линейного коэффициента корреляции r=0 Близко к 0, но положительное Близко к +1 Близко к 0, но отрицательное Близко к -1 Характеристика связи Интерпретация связи Наглядное представление связи Взаимосвязь отсутствует - Совершенно случайное облако Незначительная положительная взаимосвязь С увеличением факторного слабо возрастает результативный Точки данных образуют случайное облако с незначительной ориентацией вверх и вправо Сильная положительная взаимосвязь С увеличением факторного увеличивается результативный признак Точки данных плотно сгруппированы вокруг прямой, направленной вверх и вправо Незначительная отрицательная взаимосвязь C увеличением факторного незначительно уменьшается результативный признак и наоборот Точки данных образуют случайное облако с незначительной ориентацией вниз и вправо Сильная отрицательная взаимосвязь С увеличением факторного уменьшается результативный признак и наоборот Точки данных плотно сгруппированы вокруг прямой, направленной вниз и вправо r=+1 Функциональная взаимосвязь r=-1 Функциональная взаимосвязь Определенному значению факторного признака соответствует строго одно значение результативного Все точки данных располагаются строго по прямой, направленной вверх и вправо Все точки данных располагаются строго по прямой, направленной вниз и вправо

Проверка значимости расчетного коэффициента корреляции на основе t-критерия Стьюдента Выдвигается и проверяется гипотеза Н 0, что rxy=0 Определяется расчетное значение t-критерия Если расчетное значение tкритерия по модулю превышает табличное, то коэффициент корреляции признается значимым Обычно α принимает значения 0, 05; 0, 02; 0, 01; 0, 001 Возможность ошибки связана с тем, что данные взяты не из всей совокупности, а лишь из ее части - число степеней свободы (количество свободно варьируемых элементов совокупности)

При построении парной регрессии обычно используются следующие функции линейная параболическая гиперболическая показательная степенная

Вычисление параметров парной линейной регрессии - среднее значение результативного признака при определенном значении факторного признака x; - показывает усредненное влияние на результативный признак не учтенных в уравнении факторных признаков; - коэффициент регрессии, показывающий насколько в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на единицу собственного измерения

Оценка параметров уравнений регрессии методом наименьших квадратов, предположение о совокупности нахождении и независимости в осуществляется основе которого наблюдений параметров модели, лежит исследуемой при которых минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от выбранному уравнению регрессии теоретических, полученных по

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения) Решая систему уравнений получаем параметры , , которые подставляют в уравнение прямой и рассчитывают теоретические значения

Проверка правильности построенного уравнения регрессии 1. Вычисляют абсолютные отклонения (абсолютные остатки) фактических значений признака от теоретических 2. Если уравнение построено правильно, то выполняется условие:

Проверка правильности построенного уравнения регрессии 1. Вычисляют абсолютные отклонения (абсолютные остатки) фактических значений признака от теоретических 2. Если уравнение построено правильно, то выполняется условие:

Принятие решений на основе уравнений регрессии С увеличением данного фактора результативный признак возрастает ФАКТОРНЫЙ ПРИЗНАК СО ЗНАКОМ МИНУС - Чем больше значение коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного признака на моделируемый ФАКТОРНЫЙ ПРИЗНАК СО ЗНАКОМ ПЛЮС ЗНАЧЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА Оценка коэффициентов регрессии С увеличением данного фактора результативный признак уменьшается

Проверка значимости каждого коэффициента регрессии с помощью t-критерия Стьюдента 1. Определяют расчетное значение t-критерия - дисперсия коэффициента регрессии 2. Определяют табличное значение t-критерия (проверяется гипотеза Н 0 о равенстве нулю параметров уравнения регрессии) α- уровень значимости критерия проверки гипотезы обычно принимает значения 0, 05; 0, 02; 0, 01; 0, 001 - число степеней свободы, которое характеризует количество свободно варьируемых элементов совокупности k– число факторных признаков в уравнении регрессии Если расчетное значение t-критерия по модулю превышает табличное, то коэффициент регрессии признается значимым

Проверка адекватности уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера-Снедекора 1. Определяют расчетное значение F-критерия 2. Определяют табличное значение F-критерия (проверяется гипотеза Н 0 о несоответствии заложенных в уравнения регрессии связей реально существующим) α- уровень значимости критерия проверки гипотезы обычно принимает значения 0, 05; 0, 01; 0, 001 - число степеней свободы числителя - число степеней свободы знаменателя Если расчетное значение F-критерия превышает табличное, то гипотеза Н 0 отвергается, а уравнение признается адекватным

Расчет Первый способ расчета Второй способ расчета - дисперсия результативного признака y; - дисперсия факторного признака x; - остаточная дисперсия;

Коэффициент эластичности, рассчитанный на основе уравнения регрессии - коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке - среднее значение соответствующего факторного признака - среднее значение результативного признака Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов в среднем изменится значение результативного показателя при изменении факторного показателя на 1 %

Зависимость между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии - коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке - среднеквадратическое отклонение факторного признака - среднеквадратическое отклонение результативного признака