Скачать презентацию Тема 4. Вычисление определенного интеграла Вопросы темы
Тема 4. Численное интегрирование.ppt
- Количество слайдов: 11
Тема 4. Вычисление определенного интеграла
Вопросы темы 1. Определенный интеграл. Постановка задачи вычисления определенного интеграла. 2. Метод прямоугольников. 3. Метод трапеций. 4. Метод Симпсона.
Вопрос 1. Определенный интеграла. Постановка задачи вычисления определенного интеграла. Определенный интеграл. Запись определенного интеграла 4. 1 где функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. По формуле Ньютона-Лейбница: 4. 2 где функция F(x) одна из первообразных функции f(x). Геометрический смысл. Определенный интеграл – это площадь фигуры, ограниченной графиками функции f(x), прямыми x = a и x = b, а также осью Ох.
Постановка задачи. Численное решение определенного интеграла сводится к замене подынтегральной функции f(x) на отрезке [a, b] интерполяционным многочленом: 4. 3 где xi – узлы интерполяции; Ai – коэффициент, который не зависит от функции f(x) и зависит от выбора формулы и узлов интерполяции; n – число разбиения отрезка [a, b] (количество узлов интерполяции). В зависимости от способа интерполирования подынтегральной функции, т. е. выбора степени интерполяционного многочлена различают МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ определенных интегралов Метод прямоугольников n=0 Метод трапеций n=1 Метод Симпсона n=2
Вопрос 2. Метод прямоугольников. В методе прямоугольников приближенное значение интеграла определяется формулой: 4. 3 где yk – значения f(xk) в начале каждого k–го отрезка; n – число разбиения отрезка [a, b], h – длина каждого отрезка; a – нижняя граница интегрирования; b – верхняя граница интегрирования. Геометрический смысл.
БЛОК-СХЕМА. Метод прямоугольников начало ввод a, b, n h = (a – b)/n, x = a, s = 0 s = s + f(x) x= x + h Да x
Вопрос 3. Метод трапеций. В методе трапеций приближенное значение интеграла определяется формулой: 4. 4 где yk – значения f(xi) в начале каждого k–го отрезка; n – число разбиения отрезка [a, b], h – длина каждого отрезка; a – нижняя граница интегрирования; b – верхняя граница интегрирования. Геометрический смысл.
БЛОК-СХЕМА. Метод трапеций начало ввод a, b, n h = (a – b)/n, x = a + h, s = 0 s = s + f(x) x= x + h Да x
![Вопрос 4. Метод Симпсона. В методе Симпсона отрезок интегрирования [a, b] разделяется точками на](https://present5.com/presentation/3/80767413_425726124.pdf-img/80767413_425726124.pdf-9.jpg "Вопрос 4. Метод Симпсона. В методе Симпсона отрезок интегрирования [a, b] разделяется точками на")
Вопрос 4. Метод Симпсона. В методе Симпсона отрезок интегрирования [a, b] разделяется точками на четное количество равных отрезком длиною h. И подынтегральная функция на каждом отрезке аппроксимируется параболой, проходящей через три точки. Приближенное значение интеграла определяется як сумма криволинейных трапеций по формуле: 4. 5 где yi – значения f(xi) в начале каждого i–го отрезка; S 1 – сумма членов ряда с парными индексами: S 1 = y 2 + y 4 + … + yn-2 S 2 – сумма членов ряда с непарными индексами: S 2 = y 3 + y 5 + … + yn-1 Геометрический смысл.
БЛОК-СХЕМА. Метод Симпсона начало ввод a, b, n h = (a – b)/n, x = a + h, z = a + 2*h, s 1 = 0, s 2 = 0 s 1 = s 1 + f(x), s 2 = s 2 + f(z) x = x + 2 * h, z = z + 2 * h Да x
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Для вычисления определенного интеграла используют формулы Ньютона-Котеса: 4. 6 где 4. 7 В методе Симпсона (n = 2), имеем: Подставляя в (4. 6), получаем: 4. 8 Если n –четное, то применяя формулу (4. 8) последовательно к каждой паре отрезков [x 2 k-2, x 2 k], получим формулу Симпсона: