ТЕМА 4 Временная ценность денег Аннуитеты Корпоративные финансы

ТЕМА 4 Временная ценность денег. Аннуитеты. Корпоративные финансы

Временная ценность денег. Аннуитеты. 1. Концепция временной стоимости денег 2. Операции наращения и дисконтирования. 3. Наращенная и дисконтированная стоимость аннуитета 4. Базовая логика принятия инвестиционных решений

Основные понятия (глоссарий) n Осуществляя финансово-хозяйственную деятельность, компании генерируют определенное движение денежных средств в форме их поступлений и расходования. n Это движение денежных средств функционирующего предприятия во времени определяется понятием "денежный поток" (англ. Cash Flow - поток наличности). n Денежный поток компании - совокупность распределенных во времени поступлений и выплат денежных средств, генерируемых его финансовохозяйственной деятельностью.

Концепция временной ценности (стоимости) денег. n Концепция утверждает, что денежная единица сегодня и денежная единица той же номинальной стоимости, ожидаемая к получению через некоторый промежуток времени, неравноценны. n Она утверждает, что одинаковые по величине суммы, поступающие в различные моменты времени, различаются по своей ценности.

Для этого есть 3 причины инвестиционных риск, • понимаемый, как неопределенность, связанная с получением денежной суммы в будущем; упущенная выгода или оборачиваемость, • денежные средства, как и любой актив, должны с течением времени генерировать доход по ставке, которая представляется приемлемой владельцу этих средств инфляция. • обесценение денег, вызывает, с одной стороны, естественное желание их кудалибо вложить, а, с другой стороны, как раз отчасти и объясняет, почему различаются деньги, имеющиеся в наличии и ожидаемые к получению.

Связь стоимости денег со временем отражается в существовании процента, уплачиваемого или получаемого за право использовать деньги в конкретные моменты времени. n Процент – это денежная плата, взимаемая (выплачиваемая) за использование денег (абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг); n Процентная ставка (ставка капитализации - r) - относительная величина дохода за фиксированный интервал времени, измеряемая в процентах или в виде дроби; используется для преобразования будущей стоимости в приведенную и наоборот.

Концепция временной ценности денег невозможно прямое сопоставление разновременных денежных сумм. Для сопоставления сумм, поступающих в разное время, необходимо привести их к одному моменту времени. Для этого используются операции дисконтирования и

Текущая и будущая стоимость PV • Текущая стоимость – Present Value FV • Будущая стоимость – Future Value

Дисконтирование – приведение разновременных денежных потоков к начальному моменту. Процесс дисконтирования - процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и коэффициент дисконтирования. Движение денежного потока осуществляется от будущего к настоящему

При дисконтировании движение денежного потока осуществляется от будущего к настоящему Дисконтирование Ожидаемая к поступлению сумма (FV), ставка (r) Приведенная сумма (PV) Формула дисконтирования PV= r – процентная ставка (ставка доходности), соответствующая оценке инвестором уровня риска инвестиции.

Наращение – приведение разновременных денежных потоков к будущему моменту времени. Процесс наращения – это процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка. Движение денежного потока осуществляется от настоящего к будущему

При наращении движение денежного потока осуществляется от настоящего к будущему Наращение Исходная сумма Ставка Возвращаемая сумма Формула, обратная формуле дисконтирования, носит название формулы наращения: FV= PV*(1+r) r – процентная ставка (ставка доходности), соответствующая оценке инвестором уровня риска инвестиции.

Расчет будущей и текущей стоимости PV = FV/(1+r) где PV – текущая стоимость будущего денежного потока; FV – будущая (наращенная) стоимость текущего денежного потока; r – процентная ставка (ставка доходности), соответствующая оценке инвестором уровня риска инвестиции.

Схемы начисления простых процентов Простые проценты (simple interest) – проценты, которые начисляются лишь на исходную (основную) сумму, взятую или отданную в долг. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление процентов. Инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину: РV* г. Таким образом, наращенная сумма инвестированного капитала через n лет будет вычисляться по формуле: FV = PV*r + PV* r +. . . + PV * r =PV*(l +n * r)

Иллюстрация: Наращение с использованием простых процентов к концу 1 -ого года: • FV 1=РV + РV * r = РV * (1 + 1*r); к концу 2 -ого года: • FV 2= PV+PV*r = PV*(1 + 2*r); к концу n-го года: • FVn = РV* (1 +n* r)

Пример начисления простых процентов Определить будущую стоимость инвестированного 1 рубля с использованием простых процентов для различных периодов времени, если годовая процентная ставка равняется 8%. Решение: FV 1 = 1*(1+1*0, 08)=1, 08 при n=1; FV 2 = 1*(1+2*0, 08)=1, 16 при n=2; FV 20 = 1*(1+20*0, 08))=2, 6 при n=20;

Схема начисления сложных процентов Очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные, и невостребованные инвестором проценты. Использование сложного процента означает неявное предположение о реинвестировании получаемого дохода под действующую ставку доходности. В этом случае происходит капитализация процентов. Капитализация процентов – присоединение начисленных процентов к основной сумме.

Иллюстрация начисления процентов с использованием сложной схемы: к концу 1 -ого года: • F 1=РV + РV * r = = РV * (1 + r); к концу 2 -ого года: • F 2= (PV*(1+r)) = PV*(1 + r)2; к концу n -го года: • Fn = РV* (1 + r)n

Пример начисления сложных процентов Определить будущую стоимость инвестированного 1 рубля с использованием сложных процентов для различных периодов времени, если годовая процентная ставка равняется 8%. Год Исходная стоимость Процент, начисленный за истекший срок Конечная стоимость 1 100*0, 08=8 108 2 108*0, 08=8, 64 116, 64 3 116, 64*0, 08=9, 33 125, 97

Вывод n Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы постоянно возрастает. n При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.

Расчет будущей и текущей стоимости при условии применения простых процентов где PV – текущая стоимость будущего денежного потока; FV – будущая (наращенная) стоимость текущего денежного потока; r – процентная ставка (ставка доходности), соответствующая оценке инвестором уровня риска инвестиции. PV = FV/(1+n*r)

Расчет будущей и текущей стоимости при условии применения сложных процентов PV = n FV/(1+r) где PV – текущая стоимость будущего денежного потока; FV – будущая (наращенная) стоимость текущего денежного потока; r – процентная ставка (ставка доходности), соответствующая оценке инвестором уровня риска инвестиции.

Коэффициент дисконтирования Множитель (discount factor (DF)) 1 (1+r)n называется коэффициентом дисконтирования

Коэффициент дисконтирования Для удобства выполнения финансовых вычислений значения дисконтирующего множителя: 1 (1+r)n занесены в таблицу - FM 2(r, n). Они характеризуют дисконтированную по ставке r стоимость одной денежной единицы, ожидаемой к получению через n периодов для разных значений n и r. (см. Приложение 3, таблица 2 в Ковалеве)

Ставка доходности (при сложных процентах) n При известных текущей и будущей стоимости и длительности финансовой операции может быть определена величина процентной ставки (r) доходности PV = r= n FV/(1+r) FV PV 1/n -1

Пример определения доходности операции Сумма в 10000 руб. помещена в банк на 4 года составила величину 14 641 руб. Определить процентную ставку (доходность) операции. n Решение: n r=(14641/10000)1/4 -1=0, 10=10%

Внутригодовые процентные начисления n На практике, в зависимости от условий финансовой сделки, проценты могут начисляться несколько раз в году, например, ежемесячно, ежеквартально, 1 раз в полгода. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подинтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки по формуле: FV = PV* (1+ r/m) (n*m)

Внутригодовые процентные начисления где m - количество начислений в году, r - номинальная годовая процентная ставка, n - количество лет.

Пример: использование внутригодовых начислений n Рассчитайте, какая сумма будет на счете, если сумма размером 5000 рублей размещена под 12 % годовых на 3 года, а проценты начисляются: а) 1 раз в полгода; б) 1 раз в квартал; с) ежемесячно. а) FV = PV* (1+ r/m) (n*m) =5000*(1+0, 12/2)^(3*2)=7092, 596 б) FV = PV* (1+ r/m) (n*m) =5000*(1+0, 12/4)^(3*4)=7128, 804 с) FV = PV* (1+ r/m) (n*m)=5000*(1+0, 12/12)^(3*12)=7153, 844

Вывод n ЧЕМ ЧАЩЕ В ТЕЧЕНИЕ ГОДА ВЫПЛАЧИВАЕТСЯ ПРОЦЕНТ, ТЕМ БОЛЬШЕ ОКАЗЫВАЕТСЯ БУДУЩАЯ (НАРАЩЕННАЯ) СТОИМОСТЬ.

Эффективная годовая процентная ставка Управленческая практика достаточно часто требует сравнения эффективности различных схем начисления процентов. Удобным инструментом для проведения подобных сравнений служит так называемая эффективная годовая процентная ставка, которую обычно обозначают R. Эффективная годовая ставка представляет собой процентную ставку с периодом начисления один год, эффект начисления которой эквивалентен начислению периодической процентной ставки m раз в год.

Эффективная годовая процентная ставка Различные виды финансовых контрактов могут предусматривать различные схемы начисления процентов. Как правило, в этих контрактах оговаривается периодическая годовая (номинальная) процентная ставка. Эта ставка: n -не отражает реальной эффективности сделки, n -не может быть использована для сопоставлений при разной периодичности начислений и выплат в году. Для обеспечения сравнительного анализа эффективности таких контрактов необходимо выбрать некий показатель, который был бы универсальным для любой схемы начисления. Таким показателем является эффективная годовая процентная ставка.

Пример расчета эффективной годовой ставки Предприниматель может получить ссуду либо: а) на условиях ежемесячного начисления процентов из расчета 26% годовых; б) либо на условиях полугодового начисления процентов из расчета 27% годовых. Какой вариант является наиболее предпочтительным? n Вычислим эффективную процентную ставку по формуле n R= (1+0, 26/12)^12 -1=0, 2933 или в процентах: =29, 3% n R= (1+0, 27/2)^2 -1=0, 2882 или в процентах: =28, 8%

Основные понятия (глоссарий) Денежный поток, кэш-флоу (от англ. Cash Flow) или поток наличных денег Денежный поток компании представляет собой совокупность распределенных во времени поступлений и выплат денежных средств, генерируемых его финансово-хозяйственной деятельностью Положительный денежный поток формируют денежные средства, поступившие в экономический субъект по итогам за соответствующий период, например, поступления от продажи товаров, выполнения работ, оказания услуг. Отрицательный денежный поток формируют денежные средства, уплачиваемые экономическим субъектом в соответствующий период, например, оплата поставщикам, выплата заработной платы, оплата коммунальных услуг и т. д.

Основные понятия (глоссарий) Аннуитет (рента, финансовая рента) – совокупность равных по величине, либо изменяющихся по заранее известному закону платежей (выплат) через равные промежутки времени. Различают аннуитеты с платежами в конце периода – аннуитет постнумерандо и аннуитет с платежами в начале периода – аннуитет пренумерандо.

Основными задачами, связанными с аннуитетами, являются вычисление их n текущей (дисконтированной, приведенной) PVA (Present Value Annuity) n будущей стоимости FVA (Future Value Annuity) При этом начисление процентов происходит по сложной ставке, то есть предполагается реинвестирование каждого платежа под действующую периодическую ставку.

Аннуитеты (наращение) А А А FVA 0 1 2 3 4 5 6 … n FVA 1=A * (1+r)^(n-1) FVA 2=A * (1+r )^(n-2) FVA 3=A * (1+r)^(n-3) …. . FVAn=A * (1+r)

Оценка будущей стоимости аннуитета постнумерандо (FVApst) Прямая задача определения будущей стоимости аннуитета постнумерандо предполагает оценку денежного потока с позиции будущего, т. е. на конец периода n, когда реализуется следующая схема наращения. Если через А обозначить величину периодического аннуитетного платежа, где А – const, то формула определения наращенной стоимости аннуитета постнумерандо будет выглядеть так: FVA pst =А*(1+r)(n-1)+ А*(1+r)(n-2)+ )+ А*(1+r)(n-3)…+A*(1+r)+A FVA pst =

Пример n Предлагается сдать в аренду участок на 3 года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 000 рублей в конце каждого года; б) 35 000 рублей в конце з-х летнего периода. Какой вариант является наиболее предпочтительным, если банк 20% годовых по вкладам. n Первый вариант оплаты как раз и представляет собой аннуитет постнумерандо при n=3 , r=20%, А=10 000. n FVA pst= 10 000*(1+0, 2)^2+10 000*(1+0, 2)^1+10 000=36 400 = =36, 4 тыс. р. n Таким образом, расчет показывает, что вариант а) является наиболее предпочтительным.

Оценка будущей стоимости аннуитета пренумерандо (FVApre) n Логика оценки денежного потока пренумерандо аналогична вышеописанной. Расхождение в формулах объясняется сдвигом элементов денежного потока к началу(влево) на один интервал. Это приводит к дополнительному однократному начислению процентов и формула будет выглядеть так: n Взаимосвязь между оценками постнумерандо и пренумерандо отражается формулой n FV pre = FV pst*(1+r) n Будущая стоимость аннуитета пренумерандо, при одинаковых размерах платежей вычисляется по формуле: n FVA=

Аннуитеты (дисконтирование) А А А 0 1 2 3 4 5 6 … n PVA 1=A/(1+r) PVA 2=A/(1+r)^2 PVA 3=A /(1+r)^3 …. . PVAn=A/ (1+r)^n

Оценка дисконтированной стоимости аннуитета постнумерандо (PVA pst) n приведенный денежный поток для исходного потока постнумерандо (PVApst) имеет вид: n Таким образом, приведенная стоимость аннуитета постнумерандо (PVApst) , может быть рассчитана по формуле: PVApst =

Оценка дисконтированной стоимости аннуитета пренумерандо (PVA pre) Учитывая взаимосвязь между потоком постнумерандо и пренумерандо: PVA pre= PVA pst*(1+r) Текущая стоимость аннуитета пренумерандо может быть вычислена по преобразованной формуле : PVA pre=

Оценка дисконтированной стоимости бессрочного аннуитета n Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются довольно длительное время. Математически это означает, что n-> . Бессрочный аннуитет также называют пожизненной рентой. PVApst = PVApst= PVApre=

Пример n Определить текущую стоимость аннуитета постнумерандо с ежегодными поступлениями 4, 2 тыс. руб. , если предлагаемый банком процент по срочным вкладам равен 14% годовых. n PVApost= = 30 тыс. руб. n Следовательно, если аннуитет предлагается по цене ниже 30 000 руб. , то он выгодный.

Базовая логика принятия инвестиционных решений (фундаментальная теория) n Финансовый актив имеет объявленную рыночную цену (Рм), по которой можно приобрести этот финансовый актив на финансовом рынке и, во-вторых, теоретическую (фундаментальную) или внутреннюю стоимость, которая вычисляется с применением концепции временной стоимости денег. (Vt).

В рамках фундаментальной теории n любая ценная бумага имеет внутренне присущую ей ценность, которая может быть количественно оценена как дисконтированная стоимость будущих поступлений, генерируемых этой бумагой, т. е. нужно двигаться от будущего к настоящему. В соответствии с этим аналитик стремится определить время поступления и величину этих наличных денежных потоков, а затем рассчитывает их приведенную стоимость.

Возможны три ситуации при сравнении инвестором рыночной цены и внутренней фундаментальной стоимости финансового актива. (Vt): Рм > Vt • с позиции конкретного инвестора данный финансовый актив продается в настоящий момент по завышенной цене, поэтому инвестору нет смысла его приобретать. Рм < Vt • цена актива занижена, есть смысл его купить. Рм = Vt • текущая цена полностью отражает внутреннюю стоимость актива, поэтому спекулятивные операции с ним вряд ли целесообразны.

Базовая логика принятия инвестиционных решений n В каждый момент времени рыночная цена актива существует в единственном числе, а внутренняя стоимость множественна, каждый финансовый актив имеет столько оценок значений этого показателя, сколько имеется инвесторов на рынке, заинтересованных в этом активе. Каждый участник рынка полагает, что он владеет более качественной информацией и методами ее обработки, чем другие участники.

Различие между ценой и внутренней стоимостью финансового актива: • Стоимость – это расчетный показатель, цена – декларированный, т. е. объявленный который можно видеть в прейскурантах, в котировках. • В любой момент времени на рынке цена однозначна, а внутренняя стоимость – многозначна. • стоимость первична, а цена вторична, поскольку в условиях равновесия рынка цена количественно выражает внутренне присущую активу стоимость. Цена стихийно устанавливается как среднее из оценок стоимости, рассчитываемых инвестором.