Тема 4: Стоимостная оценка риска на основе концепции

Тема 4: Стоимостная оценка риска на основе концепции Value-at-Risk (VaR) 1. Понятие VaR и особенности его расчета, принципы оценки рыночных рисков. 2. Методы расчета VaR, их достоинства и недостатки.

Опыт показывает, что вероятность возникновения ситуации, приводящей к большим потерям на сравнительно устойчивом рынке довольно мала. Ориентация на такие ситуации при текущем управлении рисками, приведет к неоправданному сокращению объемов операций. Поэтому банк при решении задач текущего управления рисками должен ориентироваться на нестрессовые, динамические потери. Крупные катастрофические потери при этом целесообразно рассматривать отдельно в рамках стресс-тестинга.

Для получения нестрессовой оценки рыночного риска, имеющей практическую ценность, из рассмотрения имеет смысл исключить небольшую долю (обычно 5% или 1%) самых неблагоприятных случаев, то есть сузить интервал возможных значений случайной величины. Тогда оценкой риска будут убытки, которые возникнут в самом неблагоприятном из оставшихся 95% или 99% случаев. Ширина интервального прогноза и, следовательно, и оценка риска, зависит от длины временного горизонта и от доли отброшенных неблагоприятных случаев, то есть задаваемой вероятности того, что предсказанное значение попадет в этот интервал.

Value-at-Risk (VaR) – денежная оценка максимальных ожидаемых потерь по открытым позициям, в течение заданного временного горизонта и для заданного уровня доверительной вероятности.

VaR – это выраженная в данных денежных единицах (базовой валюте) оценка величины, которую не привысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью. Показатель VaR обычно не используется применительно к рынкам, находящимся в состоянии кризиса. VaR – это наибольший ожидаемый убыток, обусловленный колебаниями цен на финансовых рынках, который рассчитывается: - на определенный период времени в будущем (временной горизонт); - с заданной вероятностью его не превышения (уровень доверия); - при данном предположении о характере поведения рынка (метод расчета).

Временной горизонт удержания позиции – минимальная сумма времени на принятие решения о закрытии позиции (например, вследствие ухудшающейся рыночной конъюнктуры) и времени на реализацию этого решения, с учетом ликвидности инструмента без существенного ущерба.

Глубина периодов расчета VaR – это объем ретроспективных или симулированных данных, на основе которых рассчитывается оценка. Уровень доверия (доверительный интервал)) – вероятность наступления (или ненаступления) какого-либо события.

Доверительный интервал и временной горизонт являются ключевыми параметрами, без которых невозможны ни расчет, ни интерпретация показателя VaR. Так, значение VaR в 10 млн р. для временного горизонта в один день и доверительного интервала 99 % будет означать (при условии сохранения тенденций рыночной конъюнктуры): - вероятность того, что в течение следующих 24 часов мы потеряем не более чем 10 млн р., составляет 99 %; - вероятность того, что наши убытки превысят 10 млн р. в течение ближайших суток, равна 1 %; - убытки, превышающие 10 млн р., ожидаются в среднем один раз в 100 дней торгов.

1) «локальное оценивание» – линейная или более сложная аппроксимация функции стоимости финансового инструмента, важнейшим примером которого является параметрический дельта-нормальный метод; 2) «полное оценивание» - полный пересчет стоимости финансового инструмента без аппроксимирующих предположений. К этой группе относятся метод исторического моделирования и метод Монте-Карло. Существуют 2 основные группы подходов к оценке VaR:

- для расчета лимитов по открытым позициям; - для расчета достаточности капитала и распределения капитала между направлениями бизнеса; - для оценки доходности операций с учетом риска. Показатель VaR используется в риск- менеджменте в следующих целях:

это процедура, позволяющая установить степень адекватности модели оценки рыночного риска в виде показателя VaR реальным условиям рынка. Верификация моделей расчета VaR по историческим данным -

2. Основные методы расчета VaR, их достоинства и недостатки. Исторически понятие Value at risk неразрывно связано с дельта нормальным методом расчета показателя, который был впервые реализован банком J.P. Morgan Chase в своей знаменитой системе RiskMetrics, начавшей функционирование в открытом режиме с конца октября 1994 г. и получившей всеобщее признание в качестве отраслевого стандарта.

Получить оценку VaR в замкнутом виде. В его основе лежит посылка о нормальном законе распределения логарифмических доходностей факторов рыночного риска. Предположение о нормальном распределении изменений факторов риска значительно облегчает нахождение величины VaR, т.к. в этом случае распределение доходностей инструментов, являющихся линейными комбинациями факторов риска, также будет нормальным. Это фундаментальное свойство будет сохраняться для любого портфеля, состоящего из инструментов с линейными ценовыми характеристиками, как, например, акций или валют. Дельта-нормальный метод расчета величины VaR позволяет

В случае нормально распределенной случайной величины доверительный интервал (1-α) всегда характеризуется единственным параметром – квантилем ( ), который показывает положение искомого значения случайной величины (симметрично в обоих хвостах распределения) относительно среднего ( ), выраженного в количестве стандартных отклонений доходности портфеля ( ).

Статистическая оценка максимальных отрицательных отклонений рыночной стоимости портфеля из одного актива (однородных инструментов) за период Т дней удержания позиции определяется по формуле: где - рыночная стоимость на дату t портфеля данного актива; - статистическая оценка математического ожидания функции доходности Rt

- квантиль отсечения для α (ДАЛЕЕ ГРАФИК И ТАБЛИЦА); - статистическая оценка дисперсии (среднеквадратичного отклонения) функции доходности; - доходность актива за период Т дней удержания актива; , - рыночная цена актива в момент времени t и t-Т.

Квантили нормального распределения Для расчета VaR используется понятие волатильность (изменчивость) по следующим временным интервалам:

Параметрический метод :

- сравнительная простота реализации; - сравнительно небольшие затраты на сбор первичных данных и вычисления; - приемлемая точность в большинстве случаев практического применения. Достоинства ДНМ:

- низкая точность оценки риска нелинейных инструментов, таких как опционы. Он измеряет чувствительность инструмента к риску только посредством изменения цены и базисного актива, тогда как для нелинейного инструмента важную роль играет выпуклость и чувствительность к другим факторам риска. - из-за отклонения на краях распределения плотности вероятностей от нормального распределения оценки VaR, рассчитанные на основе нормального распределения, оказываются заниженными или завышенными (в зависимости от величины уровня доверия); - игнорирование риска одиночных событий, приводящих к аномальным убыткам и не происходящих достаточно часто, чтобы быть представленными в последних исторических данных. Недостатки ДНМ:

Относится к группе методов полного оценивания и является непараметрическим. Он основан на предположении о стационарности поведения рыночных цен в ближайшем будущем. Сначала выбирается период времени глубины Т (например, 200 торговых дней), за который отслеживаются исторические изменения (например, дневные) цен Р всех N входящих в портфель активов: Метод исторического моделирования

Для каждого из этих Т сценариев изменений моделируется гипотетическая цена каждого актива в будущем как его текущая цена плюс прирост цены, соответствующий данному сценарию: Затем производится полная переоценка всего текущего портфеля по ценам, смоделированным на основе исторических сценариев, и для каждого сценария вычисляется, насколько изменилась бы стоимость портфеля:

После этого полученные Т изменений портфеля ранжируются по убыванию (от самого большого прироста до самого большого убытка), которые можно пронумеровать от 1 до Т. В соответствии с желаемым уровнем доверия (1-α) величина VaR определяется как такой максимальный убыток, который не превышается в (1-α)Т случаях, т.е. VaR равен абсолютной величине изменения с номером, равным целой части числа (1-α)Т.

- Отсутствие предположений о нормальном распределении доходностей факторов риска или какой-либо другой стахостической модели динамики цен на рынке, кроме реально наблюдавшейся в прошлом; - Хорошая точность оценки риска нелинейных инструментов; - Простота полной переоценки портфеля, осуществляемой по историческим сценариям; - Отсутствие риска использования ошибочной модели для оценки стоимости инструментов; - Интуитивная простота и наглядность. Достоинства МИМ:

- Использование только одной траектории эволюции цен; - Несоблюдение в реальности базовой посылки метода о том, что прошлое может служить хорошей моделью будущего; - Высокая вероятность ошибок измерения при малой глубине исторической ретроспективы; - Игнорирование различий между старыми и последними наблюдениями, тогда как удаление из выборки наиболее старых наблюдений может резко улучшить точность модели; - Большой объем вычислений для крупных диверсифицированных портфелей при том, что агрегирование (например, использование одной дельты для различных инструментов) может снизить преимущества полного оценивания. Недостатки МИМ:

Моделирование случайных процессов (траектории цен) с заданными характеристиками. В отличие от метода исторического моделирования, в методе Монте-Карло изменения цен активов генерируются псевдослучайным образом в соответствии с заданными параметрами распределения, например, математическим ожиданием и волатильностью. Метод Монте-Карло

Траектория цен – это последовательность псевдослучайным образом смоделированных цен, начиная от текущей цены и заканчивая ценой на некотором конечном шаге (например, на тысячном или десятитысячном. Чем больше число шагов, тем выше точность метода). Затем производится полная переоценка портфеля по цене последнего шага и расчет изменения его стоимости для каждого сценария. Оценка VaR производится по распределению изменений стоимости портфеля. Генерация случайных чисел в методе Монте-Карло состоит из двух шагов. Сначала можно воспользоваться генератором случайных чисел, равномерно распределенных на интервале между О и 1. Затем, используя как аргументы полученные случайные числа, вычисляют значения функций моделируемых распределений.

Существует вариант метода Монте-Карло, при котором для моделирования цен используются непосредственные исторические данные. Подобно методу исторического моделирования, на основе ретроспективы моделируются гипотетические цены, но их последовательность не является единственной и не ограничена глубиной периода ретроспективы, поскольку выборка производится с возвращением, т.е. возмущение из исторических данных выбирается случайным образом, и каждый раз в выборе участвуют все данные, что позволяет рассмотреть не какую-либо одну траекторию цен (сценарий), а сколь угодно много, что, как правило, повышает точность оценок.

- Высокая точность расчетов; - Высокая точность применительно к инструментам с нелинейными ценовыми характеристиками; - Возможность моделирования любых исторических и гипотетических распределений, учет эффекта «толстых хвостов» и скачков цен. Достоинства метода Монте-Карло

- Высокая сложность моделей и соответственно высокий риск неадекватности моделей; - Высокие требования к вычислительной мощности и значительные затраты времени на проведение расчетов. Недостатки метода Монте-Карло