Тема 4 Планирование эксперимента Закон Майерса Если факты

Тема 4 Планирование эксперимента Закон Майерса: Если факты не подтверждают теорию, то от них нужно избавиться. Следствия: 1. Теория тем лучше, чем она многословнее. 2. Эксперимент можно считать удавшимся, если нужно отбросить не более 50% сделанных измерений, чтобы достичь соответствия с теорией. 1

Примеры моделей отклика Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения с требуемой точностью и достоверностью поставленной задачи. Целью планирования эксперимента, как правило, является получение математической модели (ММ) исследуемого объекта или процесса. 2

Требования к виду модели • способность модели предсказывать направление дальнейших опытов • минимизация суммы квадратов отклонений наблюдаемых значений от вычисленных • простота модели 3

• План называют насыщенным, если общее число точек плана равно числу неизвестных параметров регрессионной модели. Такой план позволяет получить экспериментальную факторную модель при минимальных затратах, так как обеспечивает минимум числа опытов. • План называется композиционным, если в спектр его в качестве составной части входят точки спектра плана, который был реализован при построении более простой модели. • Ортогональность плана позволяет получить оценки для коэффициентов уравнения регрессии независимые друг от друга. Иными словами ортогональность характеризует отсутствие корреляции между факторами. • План называется ротатабельным, если дисперсия предсказания отклика постоянна на фиксированном расстоянии от центра эксперимента. • Униформный план обеспечивает практически постоянное ее значение в некоторой области факторного пространства. 4

Построение многофакторной модели, линейной по параметрам Показатели Х 1, Х 2, …, Хn – факторы; величина Y – отклик; Y=F(Х 1, Х 2, …, Хn) – функция отклика. Алгебраические полиномы: Y – значения отклика; bi – линейные коэффициенты; bik – коэффициенты двойного взаимодействия; bikl – коэффициент тройного взаимодействия; xi – кодированные значения факторов 5

Построение многофакторной модели, линейной по параметрам Например, для двух факторов функция отклика будет иметь вид: а для трех факторов: Модели такого вида называют регрессионными, а коэффициенты – коэффициентами уравнения регрессии. 6

Зависимость количества взаимодействий различного порядка от числа факторов 7

Составление матрицы планирования ПФЭ 8

Свойства полного факторного эксперимента типа 2 k 9

Алгоритм расчета полного факторного эксперимента типа 2 k Число факторов k=3, число уровней р=2, число опытов N=23=8, число повторных наблюдений в каждом опыте n=3. Требуется по данным эксперимента построить многофакторную модель отклика. 1. Построение матрицы планирования Матрица планирования для факторов, варьируемых на 2 -х уровнях 10

2. Расчет коэффициентов модели отклика Значение свободного члена Линейные коэффициенты Коэффициенты, характеризующие парные взаимодействия факторов Коэффициент тройного взаимодействия факторов 11

3. Статистический анализ уравнения регрессии состоит из трех этапов: • проверка воспроизводимости (или оценка ошибки опыта); • оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии; • оценка адекватности модели. Проверка воспроизводимости: применяется критерий Кохрена – это отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий: Число степеней свободы для числителя одинаково и равно n-1; число степеней свободы знаменателя равно N. (N – число опытов; n – количество повторов каждого опыта) Гипотеза об однородности подтверждается, если G

Проверка значимости коэффициентов регрессии Сравнение значение коэффициента с величиной среднеквадратичной ошибки его определения. ti сравнивается с t(альфа, N*n) – критическая точка распределения Стьюдента для числа опытов N*n. Коэффициент считается значимым, если ti > t(альфа, N*n) Статистическая незначимость коэффициента bi может быть обусловлена следующими причинами: • данная переменная не имеет функциональной связи с выходным параметром Y; • велика ошибка эксперимента вследствие наличия неуправляемых и неконтролируемых переменных. 13

Оценка качества (адекватности) модели Дисперсия воспроизводимости Если в каждой точке плана проводился один опыт Если в каждой точке проводится несколько наблюдений, то Остаточная дисперсия 1 повтор несколько: Критерий Фишера: вычисляется отношение F=(DO 2/ DВ 2) и сравнивается с критическим в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы m 1=N-(k+1) и m 2=n (условием адекватности модели является выполнение Fрасч

Неполный факторный эксперимент Число опытов ПФЭ 2 k быстро растет с увеличением числа факторов k, и при больших k этот вид эксперимента оказывается практически неприемлемым. Для уменьшения числа опытов из множества точек факторного пространства может быть отобрана их некоторая часть, содержащая подходящее число опытов и представляющая собой неполный факторный план. 15

Неполным факторным планом называется план эксперимента, если в факторном эксперименте производится лишь часть всех возможных повторений. Такой эксперимент называется дробным факторным экспериментом 2 k-m, а его матрица планирования – дробной репликой. (1/2, 1/4, 1/8 и т. д. ) всех возможных комбинаций Число Количество факторов Дробная реплика Условное обозначение Для дробной реплики Для полного факторного эксперимента 3 1/2 – реплика от 23 23 -1 4 8 4 1/2 – реплика от 24 24 -1 8 16 5 1/4 – реплика от 25 25 -2 8 32 6 1/8 – реплика от 26 26 -3 8 64 7 1/16 – реплика от 27 27 -4 8 128 5 1/2 – реплика от 25 25 -1 16 32 6 1/4 – реплика от 26 26 -2 16 64 7 1/8 – реплика от 27 27 -3 16 128 8 1/16 – реплика от 28 28 -4 16 256 16

Под смешиванием эффектов мы понимаем то, что измеряя один эффект, в то же время измеряем, возможно, и некоторый другой эффект. При построении неполного факторного плана экспериментатор должен определить эффекты, смешивание которых он может допустить. В ДФЭ Оставшиеся факторы варьируются не произвольно, а так чтобы сохранялась ортогональность плана. Правило: Чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется знаками этого столбца. Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением. 17

Планы дробного факторного эксперимента (планы ДФЭ) ДФЭ 23 -1 Генерирующее соотношение: Например: Если коэффициенты из их смешанной оценки сопоставимы: 18

Графическое изображение планов ПФЭ 23 и ДФЭ 23 -1 в факторном пространстве (для трех факторов - трехмерное пространство) 19

Технология последовательного планирования • Дробный факторный эксперимент; • уменьшить дробность плана; • расширить эксперимент до полного факторного эксперимента; • аппроксимировать поверхность отклика полиномом второго порядка… Чтобы получить модель второго порядка, к плану проведенных опытов, который называется «ядром» эксперимента, добавляется несколько специальным образом расположенных точек. Используют специальные способы построения эксперимента. Из них наиболее полезны центральные композиционные, или ротатабельные, построения, которые получаются посредством добавления дополнительных точек к данным, полученным из 2 n-факторного эксперимента. Для ротатабельных построений стандартная ошибка одинакова для равноудаленных от центра области точек. 20

Центральным композиционным планом называется план, у которого несколько опытов ставится в центре плана и добавлены «звездные» точки на расстоянии «звездного» плеча. Ортогональный центрально-композиционный план второго порядка В ОЦКП входят: ядро - план ПФЭ с N 0= 2 k точками плана, n 0 (одна для этого плана) центральная точка плана и по две “звездные” точки для каждого фактора. – плечо “звездных” точек. Общее количество точек в плане ОЦКП составляет 2 k+2 k+n 0, где для ОЦКП n 0=1. В ОЦКП каждый фактор фиксируется, на пяти уровнях (- , -1, 0, 1, + ). 21

План должен быть ортогональным. Это достигается введением вместо xi 2 нового нормализованного фактора: Значение величины плеча «звездных» точек зависит от числа факторов или рассчитывается по формуле: 22

Рототабельный ортогональный центральнокомпозиционный план К использованному в качестве ядра плану ПФЭ 2 n добавляются “звездные” точки - по две на каждый фактор и несколько точек в центре плана. “Звездные” точки должны располагаться на поверхности гиперсферы с радиусом R, на которой лежат и точки плана ПФЭ 2 k, то есть величина плеча “звездных” точек должна равняться радиусу R. Для выполнения условия ортогональности - соответствующий выбор числа наблюдений в центральной (нулевой) точке плана n 0. Для РОЦКП n 0 зависит от числа факторов n. 23

24

Оценка пригодности модели 1. Дисперсионный анализ. 2. Критерий хи-квадрат. 3. Критерий Колмогорова-Смирнова. 4. Регрессионный анализ. 5. Ретроспективный анализ. 25