Тема 35 Выборочный метод Полигон и гистограмма Эмпирическая

Тема 35 Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения КАЛАБУХОВА Галина Валентиновна К. социол. н. , доцент

Вопросы темы Задачи математической статистики. Выборочный метод. Генеральная и выборочная совокупности. Повторная и репрезентативная выборки. Эмпирическая функция распределения Полигон и гистограмма.

Определения Выборочной совокупностью или просто выборкой Генеральной совокупностью называют Объемом совокупности (выборочной или называют совокупность случайно отобранных объектов. совокупность объектов, из которых производится выборка. генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N=1000, а объем выборки n = 100.

Определения Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х1 наблюдалось n 1 раз, х2 - n 2 раз, xk- nk раз и объем выборки. Наблюдаемые значения хi - называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки ni /n = Wi - относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот табличное задание выборки xi wi x 1 w 1 x 2 w 2 … … xn wn

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения: nх - число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее x; n - общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события X < x равна nх/n. Если x изменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота, т. е. относительная частота nх/n есть функция от х.

Определение Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X < х. Итак, по определению, F*(x)= nх/n, где nх - число вариант, меньших x; n - объем выборки эмпирическая функция распределения

Свойства эмпирической функции распределения 1. 2. 3. значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0, 1]; F*(x) - неубывающая функция; если x 1 - наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при x≤x 1; если xk - наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x>xk.

Определение Функцию распределения F(х) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения

ВАЖНО! Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события X < x, а эмпирическая функция F*(x) определяет относительную частоту этого же события

Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события X < x, т. е. F*(x) стремится по вероятности к вероятности F(x) этого события, т. е. при больших n числа F*(x) и F(x) мало отличаются одно от другого в том смысле, что

Практическое значение использование эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности

Определение Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x 1, n 1), (х2; n 2), . . . , (xk; nk).

Построение полигона частот Для построения полигона частот: 1. на оси абсцисс откладывают варианты x i, 2. на оси ординат откладывают соответствующие частоты nj. 3. точки (xi; ni) соединяют отрезками прямых

Определение Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х1; W 1), (x 2; W 2), . . . , (xk; Wk)

Построение полигона относительных частот Для построения полигона относительных частот: 1. 2. 3. на оси абсцисс откладывают варианты xi на оси ординат откладывают соответствующие относительные частоты Wi. Точки (xi; Wi) соединяют отрезками прямых

Определение Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты) Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. 1

Построение гистограммы 1. 2. В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего: интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h находят для каждого частичного интервала ni - сумму частот вариант, попавших в i-й интервал

Построение гистограммы 1. 2. Для построения гистограммы относительных частот: на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии Wi/h.

Задача 1 Задано распределение частот выборки объема n = 20: xi ni 2 3 6 10 12 7 Написать распределение относительных частот

Решение По определению: для нахождения относительных частот необходимо разделить частоты на объем выборки.

Решение По определению: для нахождения относительных частот необходимо разделить частоты на объем выборки. По условию задачи:

Решение По определению: для нахождения относительных частот необходимо разделить частоты на объем выборки. По условию задачи: объем выборки n = 20

Решение По определению: для нахождения относительных частот необходимо разделить частоты на объем выборки. По условию задачи: объем выборки n = 20 xi ni 2 3 6 10 12 7

Решение По определению: для нахождения относительных частот необходимо разделить частоты на объем выборки. По условию задачи: объем выборки n = 20 xi ni wi W 1 = 3/20 = 0, 15 2 3 6 10 12 7

Решение По определению: для нахождения относительных частот необходимо разделить частоты на объем выборки. По условию задачи: объем выборки n = 20 xi ni wi W 1 = 3/20 = 0, 15 W 2= 10/20 = 0, 50 2 3 6 10 12 7

Решение По определению: для нахождения относительных частот необходимо разделить частоты на объем выборки. По условию задачи: объем выборки n = 20 xi ni wi W 1 = 3/20 = 0, 15 W 2= 10/20 = 0, 50 W 3 = 7/20 =0, 35 2 3 6 10 12 7

Решение По определению: для нахождения относительных частот необходимо разделить частоты на объем выборки. По условию задачи: объем выборки n = 20 xi ni wi W 1 = 3/20 = 0, 15 W 2= 10/20 = 0, 50 W 3 = 7/20 =0, 35 2 3 6 10 12 7 0, 15 0, 35

Задача 2 Задано распределение частот выборки: xi ni 2 12 6 18 10 30 Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки

Решение По определению: для построения эмпирической функции необходимо найти относительную частоту события: X < х для каждой из вариант xi.

Решение По определению: для построения эмпирической функции необходимо найти относительную частоту события: X < х для каждой из вариант xi. Объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60

Решение По определению: для построения эмпирической функции необходимо найти относительную частоту события: X < х для каждой из вариант xi. Объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60 Наименьшая варианта равна 2, следовательно

Решение По определению: для построения эмпирической функции необходимо найти относительную частоту события: X < х для каждой из вариант xi. Объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60 Наименьшая варианта равна 2, следовательно F*(x) = 0 при x ≤ 2

Решение По определению: для построения эмпирической функции необходимо найти относительную частоту события: X < х для каждой из вариант xi. Объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60 Наименьшая варианта равна 2, следовательно F*(x) = 0 при x ≤ 2 Значение X < 6, а именно: x 1 = 2, наблюдалось 12 раз, значит

Решение По определению: для построения эмпирической функции необходимо найти относительную частоту события: X < х для каждой из вариант xi. Объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60 Наименьшая варианта равна 2, следовательно F*(x) = 0 при x ≤ 2 Значение X < 6, а именно: x 1 = 2, наблюдалось 12 раз, значит F*(x) = 12/60 = 0, 2 при 2<x ≤ 6

Решение По определению: для построения эмпирической функции необходимо найти относительную частоту события: X < х для каждой из вариант xi. Объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60 Наименьшая варианта равна 2, следовательно F*(x) = 0, 2 F*(x) = 0 при x ≤ 2 Значение X < 6, а именно: x 1 = 2, наблюдалось 12 раз, значит F*(x) = 12/60 = 0, 2 при 2<x ≤ 6

Решение По определению: для построения эмпирической функции необходимо найти относительную частоту события: X < х для каждой из вариант xi. Объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60 Наименьшая варианта равна 2, следовательно F*(x) = 0 при x ≤ 2 Значение X < 6, а именно: x 1 = 2, наблюдалось 12 раз, значит F*(x) = 12/60 = 0, 2 при 2<x ≤ 6 Значения X < 10 (x 1 = 2 и х2 = 6) наблюдались 12 + 18 = 30 раз

Решение По определению: для построения эмпирической функции необходимо найти относительную частоту события: X < х для каждой из вариант xi. Объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60 Наименьшая варианта равна 2, следовательно F*(x) = 0 при x ≤ 2 Значение X < 6, а именно: x 1 = 2, наблюдалось 12 раз, значит F*(x) = 12/60 = 0, 2 при 2<x ≤ 6 Значения X < 10 (x 1 = 2 и х2 = 6) наблюдались 12 + 18 = 30 раз, т. е. F* (x) = 30/60 = 0, 5 при 6<x ≤ 10

Решение По определению: для построения эмпирической функции необходимо найти относительную частоту события: X < х для каждой из вариант xi. Объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60 F*(x) = 0, 5 Наименьшая варианта равна 2, следовательно F*(x) = 0 при x ≤ 2 Значение X < 6, а именно: x 1 = 2, наблюдалось 12 раз, значит F*(x) = 12/60 = 0, 2 при 2<x ≤ 6 Значения X < 10 (x 1 = 2 и х2 = 6) наблюдались 12 + 18 = 30 раз, т. е. F* (x) = 30/60 = 0, 5 при 6<x ≤ 10

Решение По определению: для построения эмпирической функции необходимо найти относительную частоту события: X < х для каждой из вариант xi. Объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60 Наименьшая варианта равна 2, следовательно F*(x) = 0 при x ≤ 2 Значение X < 6, а именно: x 1 = 2, наблюдалось 12 раз, значит F*(x) = 12/60 = 0, 2 при 2<x ≤ 6 Значения X < 10 (x 1 = 2 и х2 = 6) наблюдались 12 + 18 = 30 раз, т. е. F* (x) = 30/60 = 0, 5 при 6<x ≤ 10 Так как х =10 - наибольшая варианта

Решение По определению: для построения эмпирической функции необходимо найти относительную частоту события: X < х для каждой из вариант xi. Объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60 Наименьшая варианта равна 2, следовательно F*(x) = 0 при x ≤ 2 Значение X < 6, а именно: x 1 = 2, наблюдалось 12 раз, значит F*(x) = 12/60 = 0, 2 при 2<x ≤ 6 Значения X < 10 (x 1 = 2 и х2 = 6) наблюдались 12 + 18 = 30 раз, т. е. F* (x) = 30/60 = 0, 5 при 6<x ≤ 10 Так как х =10 - наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при x>10

Решение По определению: для построения эмпирической функции необходимо найти относительную частоту события: X < х для каждой из вариант xi. F*(x) = 1 Объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60 Наименьшая варианта равна 2, следовательно F*(x) = 0 при x ≤ 2 Значение X < 6, а именно: x 1 = 2, наблюдалось 12 раз, значит F*(x) = 12/60 = 0, 2 при 2<x ≤ 6 Значения X < 10 (x 1 = 2 и х2 = 6) наблюдались 12 + 18 = 30 раз, т. е. F* (x) = 30/60 = 0, 5 при 6<x ≤ 10 Так как х =10 - наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при x>10

Решение искомая эмпирическая функция

Задача 3 По результатам тестирования по математике студентов 1 курса получены данные об освоении тем теста (отношение числа студентов, правильно выполнивших задания, к числу тестировавшихся). Тест содержал 25 заданий. Построить гистограмму. освоенность тем, % количество задач, ni 25 -35 35 -45 45 -55 55 -65 65 -75 75 -85 85 -95 1 1 5 7 7 3 1

Решение Откладываем по оси абсцисс интервалы, отражающие выявленный уровень знаний

Решение Откладываем по оси абсцисс интервалы, отражающие выявленный уровень знаний: 25 -35, 35 -45, 45 -55, 55 -65, 65 -75, 75 -85, 85 -95

Решение Откладываем по оси абсцисс интервалы, отражающие выявленный уровень знаний: 25 -35, 35 -45, 45 -55, 55 -65, 65 -75, 75 -85, 85 -95 На каждом интервале строим прямоугольники высотой, соответствующей числу задач: 1,

Решение Откладываем по оси абсцисс интервалы, отражающие выявленный уровень знаний: 25 -35, 35 -45, 45 -55, 55 -65, 65 -75, 75 -85, 85 -95 На каждом интервале строим прямоугольники высотой, соответствующей числу задач: 1, 1,

Решение Откладываем по оси абсцисс интервалы, отражающие выявленный уровень знаний: 25 -35, 35 -45, 45 -55, 55 -65, 65 -75, 75 -85, 85 -95 На каждом интервале строим прямоугольники высотой, соответствующей числу задач: 1, 1, 5,

Решение Откладываем по оси абсцисс интервалы, отражающие выявленный уровень знаний: 25 -35, 35 -45, 45 -55, 55 -65, 65 -75, 75 -85, 85 -95 На каждом интервале строим прямоугольники высотой, соответствующей числу задач: 1, 1, 5, 7,

Решение Откладываем по оси абсцисс интервалы, отражающие выявленный уровень знаний: 25 -35, 35 -45, 45 -55, 55 -65, 65 -75, 75 -85, 85 -95 На каждом интервале строим прямоугольники высотой, соответствующей числу задач: 1, 1, 5, 7, 7,

Решение Откладываем по оси абсцисс интервалы, отражающие выявленный уровень знаний: 25 -35, 35 -45, 45 -55, 55 -65, 65 -75, 75 -85, 85 -95 На каждом интервале строим прямоугольники высотой, соответствующей числу задач: 1, 1, 5, 7, 7, 3,

Решение Откладываем по оси абсцисс интервалы, отражающие выявленный уровень знаний: 25 -35, 35 -45, 45 -55, 55 -65, 65 -75, 75 -85, 85 -95 На каждом интервале строим прямоугольники высотой, соответствующей числу задач: 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1

Решение Откладываем по оси абсцисс интервалы, отражающие выявленный уровень знаний: 25 -35, 35 -45, 45 -55, 55 -65, 65 -75, 75 -85, 85 -95 На каждом интервале строим прямоугольники высотой, соответствующей числу задач: 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1 Полученная фигура – искомая гистограмма

Задача 4 Имеются данные о количестве дежурств сотрудниками кафедры за месяц. 3 0 5 7 4 3 1 9 5 3 4 4 2 8 5 1. 2. 3. 4. 5. Составить статистический вариационный ряд распределения абсолютных частот. Составить статистический вариационный ряд распределения относительных частот. Построить полигон частот статистического вариационного ряда Построить эмпирическую функцию по распределению выборки Построить график эмпирической функции

Решение Определим объем выборки:

Решение Определим объем выборки: всего 15 результатов измерений, т. е. n = 15.

Решение Определим объем выборки: всего 15 результатов измерений, т. е. n = 15. Составим статистический ряд:

Решение Определим объем выборки: всего 15 результатов измерений, т. е. n = 15. Составим статистический ряд: упорядочим результаты измерений по возрастанию

Решение Определим объем выборки: всего 15 результатов измерений, т. е. n = 15. Составим статистический ряд: упорядочим результаты измерений по возрастанию и определим количество раз, сколько встречается каждое из значений величины X:

Решение Определим объем выборки: всего 15 результатов измерений, т. е. n = 15. Составим статистический ряд: упорядочим результаты измерений по возрастанию и определим количество раз, сколько встречается каждое из значений величины X: xi ni 0 1 2 3 4 5 7 8 9

Решение Определим объем выборки: всего 15 результатов измерений, т. е. n = 15. Составим статистический ряд: упорядочим результаты измерений по возрастанию и определим количество раз, сколько встречается каждое из значений величины X: xi 0 1 2 3 4 5 7 8 9 ni 1 1 1 3 3 3 1 1 1

Решение Определим объем выборки: всего 15 результатов измерений, т. е. n = 15. Составим статистический ряд: упорядочим результаты измерений по возрастанию и определим количество раз, сколько встречается каждое из значений величины X: xi 0 1 2 3 4 5 7 8 9 ni 1 1 1 3 3 3 1 1 1 Абсолютные частоты появления каждого значения выборки

Решение Определим объем выборки: всего 25 результатов измерений, т. е. n = 25. Составим статистический ряд: упорядочим результаты измерений по возрастанию и определим количество раз, сколько встречается каждое из значений величины X: xi 0 1 2 3 4 5 7 8 9 ni 1 1 1 3 3 3 1 1 1 Найдем относительные частоты появления каждого значения выборки случайной величины X: ni/n

Решение xi 0 1 2 3 4 5 7 8 9 ni 1 1 1 3 3 3 1 1 1 ni /n

Решение xi 0 1 2 3 4 5 7 8 9 ni 1 1 1 3 3 3 1 1 1 ni /n 1/ 15 3/ 15 1/ 15

Решение xi 0 1 2 3 4 5 7 8 9 ni 1 1 1 3 3 3 1 1 1 ni /n 1/ 15 3/ 15 1/ 15 Контроль правильности вычислений:

Решение Отметим на плоскости точки с координатами (0; 1), (1; 1), (2; 1), (3; 3), (4; 3), (5; 3), (7; 1), (8; 1), (9; 1)

Решение Отметим на плоскости точки с координатами (0; 1), (1; 1), (2; 1), (3; 3), (4; 3), (5; 3), (7; 1), (8; 1), (9; 1) Построим ломаную, соединив точки отрезками

Решение Имеем выборку: xi 0 1 2 3 4 5 7 8 9 ni 1 1 1 3 3 3 1 1/15 3/15 1/15 ni / n

Решение Имеем выборку: xi 0 1 2 3 4 5 7 8 9 ni 1 1 1 3 3 3 1 1/15 3/15 1/15 ni / n 1. Наименьшая варианта хmin = 0, следовательно, F*(x) = 0 при х < 0

Решение Имеем выборку: xi 0 1 2 3 4 5 7 8 9 ni 1 1 1 3 3 3 1 1/15 3/15 1/15 ni / n 1. 2. Наименьшая варианта хmin = 0, следовательно, F*(x) = 0 при х<0 Значение Х < 1, а именно х=0 наблюдалось 1 раз, следовательно, F*(x) = 1/15 при 0<x≤ 1.

Решение Имеем выборку: xi 0 1 2 3 4 5 7 8 9 ni 1 1 1 3 3 3 1 1/15 3/15 1/15 ni / n 1. 2. 3. Наименьшая варианта хmin = 0, следовательно, F*(x) = 0 при х<0 Значение Х < 1, а именно х=0 наблюдалось 1 раз, следовательно, F*(x) = 1/15 при 0<x ≤ 1. Значения Х < 2, а именно х1=0 и х2=1 наблюдались 1+1=2 раза, следовательно, F*(x) = 2/15 при 1<x ≤ 2

Решение 4. Значения Х < 3, а именно х1 = 0, х2 = 1 и х3 = 2, наблюдались 1+1+1=3 раза, следовательно, F*(x) = 3/15 при 2<x≤ 3

Решение 4. 5. Значения Х < 3, а именно х1=0, х2=1 и х3=2, наблюдались 1+1+1=3 раза, следовательно, F*(x) = 3/15 при 2<x≤ 3 Значения Х < 4, а именно х1=0, х2=1, х3=2 и х4=3, наблюдались 1+1+1+3=6 раз, следовательно, F*(x) = 6/15 при 3<x≤ 4

Решение 4. 5. 6. Значения Х < 3, а именно х1=0, х2=1 и х3=2, наблюдались 1+1+1=3 раза, следовательно, F*(x) = 3/15 при 2<x≤ 3 Значения Х < 4, а именно х1=0, х2=1, х3=2 и х4=3, наблюдались 1+1+1+3=6 раз, следовательно, F*(x) = 6/15 при 3<x≤ 4 Значения Х < 5, а именно х1=0, х2=1, х3=2, х4=3, х5=4 наблюдались 1+1+1+3+3=9 раз, следовательно, F*(x) = 9/15 при 4<x≤ 5

Решение 4. 5. 6. 7. Значения Х < 3, а именно х1=0, х2=1 и х3=2, наблюдались 1+1+1=3 раза, следовательно, F*(x) = 3/15 при 2<x≤ 3 Значения Х < 4, а именно х1=0, х2=1, х3=2 и х4=3, наблюдались 1+1+1+3=6 раз, следовательно, F*(x) = 6/15 при 3<x≤ 4 Значения Х < 5, а именно х1=0, х2=1, х3=2, х4=3, х5=4 наблюдались 1+1+1+3+3=9 раз, следовательно, F*(x) = 9/15 при 4<x≤ 5 Значения Х < 7, а именно х1=0, х2=1, х3=2, х4=3, х5=4, х6=5 наблюдались 1+1+1+3+3+3=12 раз, следовательно, F*(x) = 12/15 при 5<x≤ 7

Решение 8. Значения Х < 8, а именно х1=0, х2=1, х3=2, х4=3, х5=4, х6=5, х7=7 наблюдались 1+1+1+3+3+3+1=13 раз, следовательно, F*(x) = 13/15 при 7<x≤ 8

Решение 8. 9. Значения Х < 8, а именно х1=0, х2=1, х3=2, х4=3, х5=4, х6=5, х7=7 наблюдались 1+1+1+3+3+3+1=13 раз, следовательно, F*(x) = 13/15 при 7<x≤ 8 Значения Х < 9, а именно х1=0, х2=1, х3=2, х4=3, х5=4, х6=5, х7=7, х8=8 наблюдались 1+1+1+3+3+3+1+1=14 раз, следовательно, F*(x) = 14/15 при 8<x≤ 9

Решение 8. 9. 10. Значения Х < 8, а именно х1=0, х2=1, х3=2, х4=3, х5=4, х6=5, х7=7 наблюдались 1+1+1+3+3+3+1=13 раз, следовательно, F*(x) = 13/15 при 7<x≤ 8 Значения Х < 9, а именно х1=0, х2=1, х3=2, х4=3, х5=4, х6=5, х7=7, х8=8 наблюдались 1+1+1+3+3+3+1+1=14 раз, следовательно, F*(x) = 14/15 при 8<x≤ 9 Так как х = 9 – наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при х>9

Решение эмпирическая функция

Решение график эмпирической функции