Тема 3: Соответствия
Соответствие – способ задания взаимосвязей, взаимодействий между элементами множества. Частными случаями соответствий являются: • функции • отображения • преобразования • операции и др.
3. 1. Соответствия и их свойства. Соответствие между множествами A и B – подмножество G прямого произведения множеств A и B: G ⊆ A B. Если (a, b) ∈ G, то говорят, что «b соответствует a при соответствии G» . Область определения соответствия G – - множество пр1 G={a: (a, b)∈G} Область значений соответствия G – - множество пр2 G={b: (a, b)∈G}
Свойства соответствий G⊆A B • Всюду (полностью) определенное соответствие – если пр1 G=A Частично определенное соответствие – в противном случае. • Сюръективное соответствие – если пр2 G=B Образ элемента, прообраз элемента Образ множества, прообраз множества • Функциональное (однозначное) соответствие – если образом любого элемента a из пр1 G является единственный элемент b из пр2 G.
• Взаимно однозначное соответствие – если оно: а) всюду определено; б) сюръективно; в) функционально; г) прообразом любого элемента b из пр2 G является единственный элемент a из пр1 G. Если между множествами A и B существует взаимно однозначное соответствие, то /A/=/B/. A и B – равномощны. Счетные множества. Континуальные множества.
3. 2. Функции и отображения. • Функция – функциональные соответствия f: A→B f(a)=b a – аргумент функции b – значение функции на a • Отображение – всюду определенная функция f: A→B • Отображение A→A – преобразование множества A
• Функции f и g равны, если: - их области определения – одно и то же множество A - ∀a∈A f(a)=g(a) • Функция f= A 1 A 2 … An→B называется nместной. f(a 1, …, an)=b, где a 1∈A 1, …, an∈An, b∈B • Пусть дано соответствие G⊆A B. Тогда соответствие H⊆B A называется обратным к G (обозначается G-1), если H такого, что (b, a)∈H тогда и только тогда, когда (a, b)∈G.
• Если соответствие, обратное к функции f: A→B является функциональным, то оно называется функцией, обратной к f (обозначается f-1). • Пусть даны функции f: A→B и g: B→C. Функция h: A→C называется композицией функции f и g (обозначается f∘g), если имеет место равенство h(x)=g(f(x)), где x∈A. Говорят, что h получена подстановкой f в g. • Функция, полученная из f 1, …, fn некоторой подстановкой их друг в друга называется суперпозицией f 1, …, fn.
Способы задания функций. 1) график 2) таблица 3) формула, описывающая функцию как суперпозицию других (исходных) функций 4) рекурсивная вычислительная процедура Пример: функция f(x)=1∙ 2∙ 3∙…∙x=x! Описывается процедурой, задаваемой правилами: 1. f(o)=1 2. f(x+1)=f(x)∙x+1
3. 3. Операции • Операция – функция, все аргументы и значения которой принадлежат одному и тому же множеству. • n-местная функция типа : M M … M→M ( →M) называется n: Mn арной операцией на множестве M. 1. Функция одного аргумента типа (x)=y : M→M называется унарной операцией 2. Функция двух аргументов типа (x, y)=z : M M→M называется бинарной операцией
Свойства бинарных операций: 1) – ассоциативна, если ∀ a, b, c ∈ M (a b) (b c=a c) 2) – коммутативна, если ∀ a, b ∈ M a a b=b 3) – дистрибутивна слева относительно операции ∀ a, b, c ∈ M a , если (b b) c)=(a c) (a 4) – дистрибутивна справа относительно операции ∀ a, b, c ∈ M , если (a b) c=(a c) (a
3. 4. Гомоморфизмы и изоморфизмы
Скачать презентацию Тема 3 Соответствия Соответствие способ задания
Тема 3 - Соответствия.pptx