Тема 3 Проекции

Тема 3 Проекции плоскости Цель: обобщить понятие линейных геометрических образов, определить общие закономерности проецировании плоскостей, сформировать понимание о точечном соответствии

Кинематический способ образования плоскости B C A D АВ - CD - образующая направляющая Плоскость может быть образована параллельным перемещением прямой АВ (образующей) по неподвижной прямой СD (направляющей). Плоскость безгранична и бесконечна, делит пространство на две части

Проекции плоскости Пространственная картина Способы определения П 2 С 2 (А, В, С) А 2 В 2 C B x A С 1 B 1 А 1 П 1 При проецировании необходимо установить однозначное соответствие между точками данной плоскости и плоскости проекций. Плоскость однозначно определяется тремя произвольными точками А, В и С, не лежащими на одной прямой

Проекции плоскости Пространственная картина Способы определения П 2 m 2 (А, В, С) В 2 (m, В) C B x A O m 1 B 1 П 1 Плоскость однозначно может быть определена прямой, проходящей через две произвольные точки плоскости, и точкой вне этой прямой

Проекции плоскости Пространственная картина Способы определения П 2 m 2 (А, В, С) n 2 В 2 (m, В) Cn B (m n ) x A m m 1 B n 1 1 П 1 Плоскость однозначно может быть определена с помощью двух пересекающихся прямых

Проекции плоскости Пространственная картина Способы определения П 2 m 2 (А, В, С) n 2 В 2 (m, В) C B (m n ) x A n (m n) m m 1 1 B n 1 1 П 1 Плоскость однозначно может быть определена с помощью двух параллельных прямых

Способы задания плоскости 1 2 3 4 n 2 С 2 m 2 m В 2 2 2 А 2 2 В 2 n 2 С 1 n 1 1 А 1 В 1 Вm 1 1 m n 1 1 m 1 (А, В, С) (В, m) (n m) На комплексном чертеже плоскость можно задать: 1) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; 2) проекциями прямой и точки, взятой вне этой прямой; 3) проекциями двух пересекающихся прямых; 4) проекциями двух параллельных прямых;

Способы задания плоскости След плоскости – это линия ее пересечения с 5 6 соответствующей плоскостью проекций С 2 z П 2 2 А 2 2 В 2 z 2 х x х П 3 x С 1 3 1 1 В 1 А 1 П 1 y 1 - горизонтальный след ( АВС) 2 - фронтальный след ( 1 , 2 ) 3 - профильный след x , y , z - точки схода следов 5) проекциями плоской фигурой; 6) следами плоскости. Все способы позволяют выделить из множества точек пространства точки, принадле- жащие данной плоскости. Способ задания плоскости указывают в круглых скобках

Положение плоскости относительно плоскостей проекций Плоскость общего положения наклонена ко всем плоскостям проекций Плоскость частного положения перпендикулярна или параллельна одной из плоскостей проекций Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей плоскостью: Горизонтально проецирующая плоскость П 1 Фронтально проецирующая плоскость П 2 Профильно проецирующая плоскость П Плоскость, параллельная плоскости проекций, назы- 3 вается плоскостью уровня (дважды проецирующей): Горизонтальная плоскость П 1 Фронтальная плоскость П 2 Профильная плоскость П 3

Горизонтально проецирующая плоскость ( П 1) Пространственная картина Комплексный чертеж z П 2 А 2 В 2 2 П C 2 x 3 х x х 1 3 А 1 y В 1 C П 1 1 y Горизонтальная проекция плоскости вырождается в прямую (след), на П 1 проекции трех произвольных точек плоскости лежат на горизонталь- ном следе плоскости 1. Углы наклона данной плоскости к фронталь-ной ( ) и профильной ( ) плоскостям проекций на П 1 не

Фронтально проецирующая плоскость ( П 2) Пространственная картина Комплексный чертеж z П 2 C В 2 2 z А 2 П х x х 3 x 3 C 1 1 А 1 В 1 П 1 y Фронтальная проекция плоскости вырождается в прямую (след). На П 2 проекции трех произвольных точек плоскости лежат на фронтальном следе плоскости 2. Углы наклона данной плоскости к горизонталь- ной ( ) и профильной ( ) плоскостям проекций на П 2 не искажаются

Профильно проецирующая плоскость ( П 3) Пространственная картина Комплексный чертеж z П 2 z А 3 А 2 2 z В 3 П В 2 C 3 x 3 x C 2 3 y y 3 А 1 y В 1 C 1 П 1 y 1 y y 1 Профильная проекция плоскости вырождается в прямую (след). На П 3 проекции трех произвольных точек плоскости лежат на профильном следе плоскости 3. Углы наклона данной плоскости к горизонталь- ной ( ) и фронтальной ( ) плоскостям проекций на П 3 не искажаются

Горизонтальная плоскость уровня ( П 1) Пространственная картина Комплексный чертеж z П 2 2 А 2 В 2 C 2 2 z x П н. в. 3 x В 1 3 А 1 C 1 н. в. П 1 y В силу параллельности следы (фронтальный 2 и профильный 3 ) плоскости будут параллельны соответствующим осям координат. Фигура, задающая плоскость , проецируется в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекций

Фронтальная плоскость уровня ( П 2) Пространственная картина Комплексный чертеж z П 2 н. в. А 2 C 2 x П 3 В 2 н. в. 3 x 1 y 1 А 1 В 1 C 1 П 1 y В силу параллельности следы (горизонтальный 1 и профильный 3 ) плоскости будут параллельны соответствующим осям координат. Фигура, задающая плоскость , изображается в натуральную величину на фронтальной плоскости проекций

Профильная плоскость уровня ( П 3) Пространственная картина Комплексный чертеж z П 2 2 z 2 В 3 В 2 н. в. П C 2 C x y 3 x А 2 А 3 А 1 y 3 В 1 П 1 1 C 1 y 1 y 1 В силу параллельности следы (горизонтальный 1 и фронтальный 2 ) плоскости будут параллельны соответствующим осям координат. Фигура, задающая плоскость , проецируется в натуральную величину на профильную плоскость проекций

Принадлежность прямой плоскости 1 а 2 12 m 2 2 12 b 2 2 n 2 m 2 21 n 1 m 1 1 а 1 11 m 11 1 (n m) (n m) b 1 (1 m) ; (2 n) (1 m) ; 1 b а (1 И 2) а b n b Прямая принадлежит плоскости, если она проходит: 1) через две точки этой плоскости; 2) через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости

Принадлежность точки плоскости С 2 1 1, 2 - ? 12 32 D 2 (1 АС) А 2 В 2 22 С 2 1 1 D 1 2 D 2 - ? , если D 31 11 1 П 1: (D 1 ИA 1) С 1 В 1 = 3 1 3 2 C 2 B 2 П 2: А 1 А 2 И 32 ( АВС) D 2 А 23 2 Точка будет лежать в плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости. Воспользуемся этим положением: 1) при чтении чертежа; 2) при построении точки, лежащей в данной плоскости

Принадлежность прямой и точки плоскости N N 2 А П 1 12 А 2 A 1 1 А 2 M 2 x х N 1 M 1 A А 1 11 N 2 MN 1 М M 1 MN 1 ( 1 , 2 ) 1 MN Точка, лежащая в плоскости проекций, принадлежит данной плоскости, если одна из ее проекций лежит на соответствующем следе плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними следах плоскости

Принадлежность прямой и точки плоскости К 2 2 А 2 М 2 2 N 2 В 2 x х А 1 x х М 1 N 1 К 1 А 1 В 1 П 1 П 2 A 1 1 А К 2 2 К N 1 M 1 1 MN А 2 В 2 2 АВ Если плоскость занимает проецирующее положение, то соответствующие проекции всех точек и прямых данной плоскости совпадают с ее следом. Это собирательное свойство проецирующих плоскостей

Главные линии плоскости Горизонталей плоскости бесчисленной множество, все они параллельны между собой Горизонтальный след – это горизонталь нулевого уровня z С 2 П 2 y 12 h 2 В 2 А 2 x х h П 3 x С 1 hh o 3 11 h 1 В 1 z П 1 А 1 y Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси x. Положение горизонтали в плоскости определяют две точки (например, В и 1 )

Главные линии плоскости Фронталей плоскости бесчисленное множество, все они параллельны между собой Фронтальный след – это фронталь нулевого уровня z С 2 П 2 22 f 2 z 12 h 2 В 2 А 2 П 3 С 1 x х fo x f 21 f 1 f 3 11 h 1 В 1 y П 1 А 1 y Фронталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x. Положение фронтали в плоскости определяют две точки (например, В и 2 )

Главные линии плоскости 2 h 2 2 h 2 12 h 2 z х z z x 11 x х h 1 x х h 1 1 ( 1 , 2 ) П 1 2 П Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси x. Горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости или ему принадлежит. Координата z показывает высоту положения горизонтали данной плоскости над горизонтальной плоскостью проекций

Главные линии плоскости В проецирующих плоскостях одна из линий уровня является проецирующей прямой 2 h 2 2 h 2 12 h 2 f 2 х 22 f 2 x 11 x х h 1 y x y х 21 h 1 f 1 h 1 f 1 1 ( 1 , 2 ) П 1 2 Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x. Фронтальная П проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости или ему принадлежит. Координата y показывает расстояние от фронтали данной плоскости до фронтальной плоскости проекций

Следы плоскости М Задача: Построить следы 2 С 2 плоскости f 2 В 2 ( АВС) h 2 А 2 N 2 x x М 1 С 1 f 1 В 1 h 1 1 N 1 А 1 Найдем горизонтальный – N и фронтальный – М следы прямой СВ (СВ ). Горизонтальный след 1 плоскости проходит через точку N парал-лельно горизонтали. Фронтальный след 2 плоскости проходит через точку M параллельно фронтали. x – точка схода следов

Вопросы для самопроверки 1. Сколько точек, не лежащих на одной прямой, однозначно определяют положение плоскости? а) три б) две в) бесчисленное множество 2. Определить соответствие номеров рисунков способам задания плоскости 1 m 2 m 3 4 m 2 2 n 2 2 n 2 А 2 х n 1 x m 1 n 1 m 1 А 1 а) параллельными прямыми – рис. ? б) следами плоскости – рис. ? в) пересекающимися прямыми – рис. ? г) прямой и точкой вне ее – рис. ?

Вопросы для самопроверки 3. Какая проекция плоскости общего положения изображается в натуральную величину? а) фронтальная б) везде искажается в) профильная 4. Если плоскость перпендикулярна плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость в виде… а) следа б) двух параллельных прямых в) окружности 5. Если плоскость параллельна плоскости проекций, то ее проекция на эту плоскость есть … а) натуральная величина плоской фигуры б) прямая 6. Какие плоскости обладают собирательным свойством? а) общего положения б) проецирующие в) плоскости проекций

Вопросы для самопроверки 7. Определить соответствие номера рисунка названию плоскости и ее положению в пространстве: C 2 1 В 2 3 2 В 2 А 2 2 2 А 2 C В x х А В 1 1 А 1 1 C 1 О 21 В 4 5 В В 6 А 2 C 3 2 2 2 C О C В 3 1 А 2 2 А 3 А 1 1 C 1 а) рис. ? – горизонтально проецирующая ж) рис. ? – П 1 б) рис. ? – фронтально проецирующая з) рис. ? – П 2 в) рис. ? – профильно проецирующая и) рис. ? – П 3 г) рис. ? – горизонтальная уровня к) рис. ? – П 1 д) рис. ? – фронтальная уровня л) рис. ? – П 2 е) рис. ? – профильная уровня м) рис. ? – П

Вопросы для самопроверки 8. На данном рисунке определить принадлежность точек ( или ) плоскости (AB CD) ? N 2 M 2 A 2 L 2 (D 2 ) K 2 а) М ? B 2 K ? C 2 б) N 1 в) N ? A 1 D 1 г) L ? M 1 (C 1 ) L 1 K 1 B 1

Вопросы для самопроверки 9. На рисунках определить принадлежность прямой АВ ( или ) плоскости ? F 2 В 2 k 2 l 2 В 2 B 2 A 2 E 2 n 2 A 2 В 2 m А 2 D 2 m n 2 B 1 2 k 1 m 1 F 1 l 1 n 1 m D 1 А A 1 1 E A 1 n 1 В 1 В 1 a)АВ? (k l) б)АВ? (m в)АВ? ( DEFг)АВ? (m АВ n)

Вопросы для самопроверки 10. Как можно назвать горизонтальный след плоскости? а) прямая общего положения б) горизонталь нулевого уровня в) проецирующая прямая 11. Как на чертеже проходит фронтальный след плоскости общего положения? а) параллельно фронтальной проекции фронтали плоскости б) перпендикулярно оси x в) параллельно горизонтальному следу плоскости 12. Горизонталь, принадлежащая фронтально проецирующей плоскости занимает положение… а) фронтально проецирующее б) общее в) горизонтально проецирующее 13. Можно ли в плоскости общего положения провести проецирующую прямую? а) да б) нет