Тема 3 Преобразование случайных величин «Всякий, кто питает слабость к арифметическим методам получения случайных чисел, грешен вне всяких сомнений» Джон фон Нейман
Процесс нахождения значения случайной величины путем преобразования стандартной случайной величины (БСВ) называют разыгрыванием или моделированием случайной величины . 2
Метод обратного преобразования (обратной функции) Пусть необходимо получать значения случайной величины , являющейся непрерывной и имеющей функцию распределения 0<F(x)<1 непрерывную и строго возрастающую. F-1 – обратная функция F. Алгоритм генерирования СВ с функцией распределения F: 1) генерируем ; 2) возвращаем = F-1( ). 3
Использование функции плотности вероятности • нужно получать значения случайной величины , распределенной в интервале (a, b) с плотностью f(х)>0. Достоинство: • точность метода. Недостатки: • ограничение на вид функции распределения или функции плотности; • затраты машинного времени. 4
Дискретная случайная величина 5
Метод отбора-отказа (метод Неймана, 1951) Разыгрывать можно следующим способом: 1) H(t 1, t 2) с координатами: t 1 = a+ 1(b-a); t 2 = 2 M 0; 2) если H(t 1, t 2) лежит под кривой f(x), то полагаем =t 1, иначе – пару ( 1, 2) отбрасываем и выбираем новую пару значений БСВ. 6
Метод ступенчатой аппроксимации вероятность попадания х в один из интервалов f(x) [a 0, a 1], [a 1, a 2], …, [an -1, an] равна 1/n. Тогда = ai + c; где ai – левая граница интервала; с – равномерно распределенная случайная величина на интервале [0, ai+1 – ai]. Алгоритм моделирования: 1) 1 и 2; 2) i=[n 1]; 3) сi = 2 (ai+1 – ai); 4) = ai + c. f(x) 7
Пример: Пусть задана функция плотности распределения непрерывной случайной величины f(х)=sin(x), на интервале [0, 90 ]. Составить алгоритм моделирования случайной величины методом ступенчатой аппроксимации для трех интервалов разбиения. Так как 3 интервала разбиения, то вероятность равна 1/3. а 0=0; а 3=90 ; а 1 находим из выражения отсюда a 1=arcos 2/3= 0. а 2 находим аналогично a 2=arcos 1/3 = 70. Далее применяем алгоритм моделирования. 8
Упрощенный метод ступенчатой аппроксимации Дискретизируем непрерывный закон распределения вероятности события. 0 0 р1 р1+р2+р3 … р1+…+рn-1 1 Недостаток упрощенного метода: огрубление постановки задачи. 9
Метод суперпозиции Функция распределения F может быть выражена как комбинация других функций F 1, F 2, … , и соответственно Общий алгоритм метода суперпозиции примет следующий вид: 1) генерируем положительное целое число i=1, 2, … 2) возвращаем с функцией распределения . Шаг 1 можно рассматривать как выбор функции распределения Fi с вероятностью pi. 10
Метод сверток Пример: нормальное (Гауссово) распределение Центральная предельная теорема Пусть СВ x подчинены одному и тому же закону распределения, с одним и тем же математическим ожиданием Mx и дисперсией Dx=σx 2. Тогда сумма n этих СВ будет подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием M=n∙Mx и дисперсией D=n∙σx 2. Пусть надо получить нормально распределенный ряд чисел X с заданным математическим ожиданием Mx и стандартным отклонением σx: при n=12 11
Табличный метод Таблица: функция распределения F(х) и соответствующее ему значение x случайной величины. Значение случайного числа, находящегося между узлами табуляции, обычно рассчитывается методом линейной интерполяции. Представленные в таблице значения соответствуют экспоненциальному распределению с математическим ожиданием, равным единице. 12
Метод композиций • Метод композиций основан на функциональных особенностях вероятностных распределений, таких как распределение Эрланга, гипоэкспоненциальное и гиперэкспоненциальное распределения. • Метод используется, как правило, в тех случаях, когда не удаётся получить аналитическим методом решение в явном виде. • Например, значения случайных величин, распределённых по закону Эрланга и гипоэкспоненциальному закону могут быть получены путём сложения нескольких экспоненциально распределённых случайных величин, а значения случайных величин, распределённых по гиперэкспоненциальному закону – путём вероятностного формирования смеси из нескольких экспоненциально распределённых случайных величин с разными математическими ожиданиями. 13
Моделирование событий Моделирования события А с вероятностью Р(А): P(A). Моделирование полной группы случайных событий Пусть независимые события А и В могут появляться одновременно и имеют вероятности Р(А) и Р(В) соответственно. Возможные исходы: АВ, (*) Моделирование таких испытаний может быть осуществлено 2 способами. 1. 1 и 2 и проверка: 1 P(A) и 2 Р(В). 2. Моделированию события с четырьмя возможными исходами с вероятностями (*). Интервал [0, 1] разбивается на четыре части в соответствии с выписанными вероятностями, генерируется одна случайная величина и проверяется, в какой из полученных интервалов она попадет. 14
Моделирование событий Моделирование появления зависимых событий Пусть заданы вероятности Р(А) и Р(В) зависимых событий А и В и условная вероятность Р(В|А). Возможны два подхода: 1. Генерируется СВ 1 и проверяется выполнение неравенства 1<=P(A). Вырабатывается СВ 2 и проверяется неравенство 2<=P(В|А). Проверка этих неравенств дает нам исходы АВ и А. Если оказалось что 1>P(A), то событие А не произошло и для моделирования события В нам нужна условная вероятность P(B| ). Формула полной вероятности (Формула Бейеса): 15
Моделирование событий 2. Генерируется одна случайная величина и проверяется, в какой из интервалов она попадает. Интервалы определяются в соответствии с вероятностями: 16
Моделирование случайных векторов 1. Независимые координаты вектора х1, х2, … хn; f(x 1, x 2, …xn) = f 1(x 1) f 2(x 2)… fn(хn) Значение каждой координаты с плотностью распределения fi(хi) определяется независимо друг от друга по любой из методик моделирования значений СВ. 2. Зависимые координаты вектора Тогда f(x 1, x 2, …xn) = f 1(x 1) f 2(x 2|x 1) f 3(x 3|x 1 x 2)…, где fi есть условная плотность распределения данной случайной величины xi при условии, что другие случайные координаты приняли определенные значения. Алгоритм моделирования значения случайного вектора с зависимыми координатами предусматривает: получение значения x 1, полученное значение берется в качестве параметра в условной плотности f 2(x 2|x 1), после чего определяется значение случайной координаты x 2 и полученные значения х1 и х2 берутся в качестве параметров в условной плотности f 3(x 3|x 1 x 2) и т. д. 17
Моделирование случайных векторов Пример: пусть случайный вектор W имеет две координаты х1 и х2, являющиеся СВ: f 1(x 1) = 2 x 1; 0<x 1<1. Определить алгоритм моделирования. Координата х2 распределена равномерно на участке длиной 2 с центром в точке х1, т. е. Решение: 18
Моделирование закона распределения Пуассона • Закон Пуассона описывает число событий, происходящих за одинаковые промежутки времени, при условии независимости этих событий. • Для генерирования чисел, соответствующих закону распределения Пуассона, вычисляется F(x) для х=0, 1, 2, …N, где N достаточно велико. – среднее (мат. ожидание) • Положим = х, если F(x) F(x+1), где – равномерно распределенная СВ. 19
Скачать презентацию Тема 3 Преобразование случайных величин Всякий кто питает
3 Преобразование случайных величин.ppt