Тема 3. Побудова лінійної багатофакторної регресії 1.

Тема 3. Побудова лінійної багатофакторної регресії

1. Класична лінійна багатофакторна регресія. Приклади застосування. 2. Основні припущення у багатофакторному регресійному аналізі. 3. Розрахунок параметрів моделі за допомогою МНК у матричній формі. 4. Матриця парних коефіцієнтів кореляції. 5. Коефіцієнт детермінації. 6. Дисперсійний аналіз. 7. Перевірка моделі на адекватність за критерієм Фішера. 8. Перевірка гіпотез щодо параметрів моделі, знаходження інтервалів довіри. 9. Прогнозування за багатофакторною моделлю. 10. Методи побудови багатофакторної регресійної моделі: вибір “найкращого” рівняння регресії, метод виключень, покрокова регресія.

1. Класична лінійна багатофакторна регресія. Приклади застосування . • На практиці на економічний процес впливає не один фактор, тобто будь-який процес змінюється під впливом багатьох різноманітних факторів, які слід виявити та оцінити їх загальний вплив. Отже, необхідно вивчати ефект сумісного впливу деякої групи чинників на досліджуваний показник.

До прикладу 1. • Безумовно на обсяги продаж впливає попит на товар серед населення, якість продукції, кількість витрачених ресурсів на сировину, а також частина ринку, яку утримує фірма, імідж марки продукції тощо.

З огляду на аналіз економічної діяльності підприємства та прогноз його подальшого розвитку, існує можливість зосередитись на дослідженні таких функцій: 1) виробничої функції як залежності між обсягом виробленої продукції та витраченими для цього ресурсами, наприклад основним капіталом і працею; 2) функції ціни як залежності ціни товару від обсягу поставок та ціни конкуруючих товарів;

3) функції попиту, споживання та пропозиції як залежності обсягу попиту, споживання та пропозиції на окремі товари від ціни товару, ціни товарів- конкурентів і доходів споживачів; 4) функції витрат як залежності середніх витрат на виробництві від ціни та кількості виробничих ресурсів;

5) функції чутливості ринку як залежності обсягу збуту продукції від витрат на рекламу та індексу "чистоти" виробленої продукції ("екологічного індикатора"); 6) обсягу чистого процентного доходу банківської установи від величини обсягу кредитів та величини депозитів, обсягу залучених коштів від валових витрат та валових доходів тощо;

7) рівняння стратегії підприємства, у якому відображається залежність рентабельності підприємства від питомої ваги на ринку товарів, подібних до тих, які виробляє підприємство, а також від якості товарів, витрат на маркетинг і наукові дослідження, від інвестиційних витрат тощо

• при аналізі та прогнозі консолідованого бюджету України необхідно дослідити вплив на його величину податків з населення, податків на додану вартість, податків на доходи підприємств, пенсійного фонду та інші фактори.

• Отже, за допомогою багатофакторної регресії можна здійснювати аналіз багатьох економічних, фінансово- кредитних, соціальних та інших проблем. • Саме багатофакторний регресійний аналіз допомагає знайти явний вигляд залежності досліджуваного показника від численних факторів, що впливають на його зміну, а також кількісно оцінити їхній вплив.

Класична лінійна багатофакторна модель Вплив багатьох чинників на результативну змінну може бути описаний лінійною моделлю

- невідомі параметри моделі; - випадкова величина (відхилення, похибка або залишок);

• Як у випадку простої лінійної регресії, істинні значення параметрів за вибіркою отримати неможливо, тому ми маємо можливість побудувати емпіричне рівняння регресії:

де - точкові оцінки невідомих параметрів - емпіричні коефіцієнти регресії

2. Основні припущення у багатофакторному регресійному аналізі. • 1. Відбір найбільш суттєвих факторів, що впливає на результативний фактор • 2. Етапи змістовного аналізу для побудови багатофакторної моделі • Перелік показників; • Збір статистичної інформації та попередній аналіз даних; • Порівняльна оцінка та відсів частини факторів.

• 3. Регресійний аналіз. • Передбачення лінійної незалежності пояснюючих змінних (тобто розв’язання задачі можливо лише тоді, коли стовпці та рядки матриці вихідних даних лінійно незалежні)

3. Розрахунок параметрів моделі за допомогою МНК у матричній формі. Лінійну багатофакторну модель, як і основні проблеми регресійного аналізу, зручно розглядати за допомогою теорії матриць. Тому дане рівняння є скороченим записом системи:

де - вектор n –ної розмірності залежної змінної

- вектор невідомих параметрів (розмір m + 1); Ці величини оціюються на основі вибіркових спостережень. Тому отримані розрахункові показники не є істинними, а є лише їх статистичними оцінками.

- матриця розмірності ( , де m – число незалежних змінних;

-вектор випадкових величин (залишків або помилок).

Матрична форма запису системи рівнянь Отже, можна записати або емпіричне

Застосовуючи метод найменших квадратів, отримаємо формулу для обчислення вектора параметрів моделі:

MS Excel: Сервис – Анализ данных – регрессия

4. Матриця парних коефіцієнтів кореляції. • Коефіцієнти парної кореляції використовуються для виміру сили лінійних зв’язків різних пар ознак з їх множини. Тому для множини ознак отримують матрицю коеф. парної регресії

Матриця парних коефіцієнтів кореляції •

MS Excel: Сервис – Анализ данных – Корреляция Явище мультиколінеарності !!!!

Мультиколінеарність • - це висока взаємна корельованість пояснюючих змінних, яка приводить до лінійної залежності нормальних рівнянь. • Економічна інтерпретація параметрів рівняння регресії утруднена…

5. Коефіцієнт детермінації. • Визначення щільності зв’язку однієї випадкової величини з сукупністю інших величин, що включені до аналізу. - визначник матриці К, К 11 – алгебраїчне доповнення елемента к 11 =1.

• Коефіцієнт множинної детермінації R 2 показує, яку долю варіації Y пояснює варіація змінних X 1, . . . , Xm • Або за формулою

Додавання факторів n – число спостережень, k – число незалежних змінних.

7. Перевірка моделі на адекватність за критерієм Фішера. • m – кількість незалежних змінних Fкрит- за таблицею критичних точок розподілу F Фішера-Снедекора за рівнем значущості α та степенями свободи ν 1= m та ν 2= n-m-1 (або FРАСПОБР).

6. Дисперсійний аналіз. • ДА –це вивчення впливу факторів на результатуючу змінну на підставі аналізу певних дисперсій • Фішер Рональд у 1920 р. • Використовують, коли елементи вибірки можна згрупувати за деякими ознаками залежно від рівня факторів.

Вивчення впливу факторної ознаки на результатуючу ознаку (форма власності на основні засоби у різних видах економічної діяльності) • Fемп < Fкрит, тому форма власності не впливає на основні засоби у різних видах економічної діяльності

8. Перевірка гіпотез щодо параметрів моделі, знаходження інтервалів довіри. • Див. Тема “Парна регресія”

9. Аналіз та прогнозування за багатофакторною моделлю. • Важлива роль коефіцієнтів моделі, але за їх допомогою неможливо співставити фактори по ступеню їх впливу на залежну змінну через різницю одиниць виміру та різного ступеню коливання. Тому коефіцієнт еластичності, бета- и дельта коефіцієнти…. .

Еластичність Y по відношенню до Xi визначається як процентну зміну Y, що відноситься до відповідної процентної зміни Х Безрозмірна, ненормована, змінюється від до Наприклад, Е=2 означає, що якщо середнє х зміниться на 1%, це приведе до зміни середнього у на 2 %. Але коефіцієнт еластичності не враховує ступінь коливання факторів.

Бета-коефіцієнт Де середньоквадратичне відхилення і -фактора Стандартні відхилення

Дельта-коефіцієнт Де ry, x – коефіцієнт парної кореляції між i-тим фактором (I =1, m) та залежною змінною Долю впливу кожного фактора у сумарному впливі всіх факторів можна оцінити за величиною дельта-коефіцієнтів

Прогнозування • Побудова оцінки залежної змінної – прогнозування в економетриці • Передбачення про зберігання в період прогнозування існуючих раніш взаємозв’язків змінних • Необхідно задати прогнозні значення всіх вхідних до неї факторів.

Два можливих джерела помилок: • Розсіювання спостережень відносно лінії регресії. Ці помилки вимірюються за допомогою характеристик точності, зокрема величиною • Помилки. Обумовлені математичним апаратом побудови самої лінії регресії.

Точковий прогноз • Де хi* - прогнозні величини

Інтервальний прогноз • Для індивідуального значення Де помилка прогнозу

для середнього значення Y* • де помилка прогнозу

10. Методи побудови багатофакторної регресійної моделі: вибір “найкращого” рівняння регресії, метод виключень, покрокова регресія Два протилежних критерії для вибору кінцевої моделі регресійного аналізу. • Метод усіх можливих регресій; • Метод виключень; • Кроковий регресійний аналіз; • Гребенева регресія; • тощо

Метод виключень 1. Розраховується регресійне рівняння зі всіма факторами 2. Обчислюється величина t –критерію для кожного фактору. 3. Найменше значення t –критерію порівнюється з tкр. 4. Якщо то відповідний фактор виключається з рівняння. Проводиться новий розрахунок регресійного рівняння. Так робимо до тих пір, доки Записуємо кінцеве рівняння.

Покрокова регресія (зворотній до методу виключень) • Фактори по черзі включаються до моделі, доки вона не стане задовільною. Порядок включення вибирається за допомогою коефіцієнта кореляції як міри важливості факторів. • Алгоритм: • 1. Обираємо фактор хі , який має найбільший коефіцієнт кореляції. Будується рівняння з однією незалежною змінною. Перевіряється на адекватність та статистичну значущість коефіцієнтів моделі. • …

Особливості багатофакторної регресійної моделі 1. Явище мультиколінеарності та його наслідки 2. Алгоритм Фаррара-Глобера 3. Явище автокореляції та його наслідки 4. Критерій Дарбіна-Уотсона 5. Явище гетероскедастичності 6. Тест Гольдфельдта-Квандта

3. Явище автокореляції та його наслідки

1. Явище мультиколінеарності та його наслідки

• Мультиколінеарністю називають лінійний взаємозв’язок між двома або декількома регресійними змінними.

Найбільш характерними ознаками мультиколінеарності є такі: • Параметри економетричної моделі стають чутливими до обсягів вибіркових спостережень. Незначна зміна об’єму вибірки може призвести до значних змін параметрів моделі. • Параметри моделі мають великі дисперсії, (як наслідок, за t –статистиками вони є незначущими) в той же час модель має високе значення коефіцієнта детермінації і в цілому є значимою за F-статистикою.

• Параметри економетричної моделі з теоретичних міркувань мають неправильні знаки або невиправдано великі значення.

• З огляду на перелічені наслідки мультиколінеарності при побудові економетричної моделі ми повинні мати інформацію про її існування чи відсутність.

Що робити? Найбільш повне дослідження мультиколінеарності можна здійснити на основі алгоритму Фаррара-Глобера. У цьому алгоритмі використовуються два види статистичних критеріїв, на основі яких перевіряється мультиколінеарність усіх пояснюючих факторів (критерій xi – квадрат), кожного фактора з усіма іншими (F-критерій).