ТЕМА 3 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ 1
ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ (БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ) № 1 2 3 4 Значения булевых функций в зависимости от значений аргументов x и y x Название функции 0 0 1 1 y Обозначение функции 0 1 F 0(x, y) 0 0 Константа ноль F 1(x, y) 0 0 0 1 Конъюнкция, логическое умножение, И, , AND F 2(x, y) 0 0 1 0 Запрет по x, отрицание импликации F 3(x, y) 0 0 1 1 Переменная x 5 F 4(x, y) 0 1 0 0 Запрет по y, отрицание импликации 6 F 5(x, y) 0 1 Переменная y 2
ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ (БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ) 7 F 6(x, y) 0 1 1 0 8 F 7(x, y) 0 1 1 1 Сумма по модулю 2, логическая неравнозначность, М 2, XOR Дизъюнкция, логическое сложение, ИЛИ, OR Стрелка Пирса, отрицание дизъюнкции, ИЛИ-НЕ , NOT OR 9 F 8(x, y) 1 0 0 0 10 F 9(x, y) 1 0 0 1 Эквивалентность 11 F 10(x, y) 1 0 Отрицание, инверсия y, НЕ, NOT 12 F 11(x, y) 1 0 1 1 Импликация от y к x 13 F 12(x, y) 1 1 0 0 Отрицание, инверсия x, НЕ, NOT 14 F 13(x, y) 1 1 0 1 Импликация от x к y 15 F 14(x, y) 1 1 1 0 Штрих Шеффера, отрицание конъюнкции, И-НЕ , NOT AND 16 F 15(x, y) 1 1 Константа единица 3
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ 1) Законы нулевого множества 0 a = 0 0 + a = a 0 a b c … z = 0 2) Законы универсального множества 1 a = a 1 + a = 1 1 + a + b + c + … + z = 1 3) Законы идемпотентности (повторения, тавтологии) a a … a = a a + … + a = a 4) Закон двойной инверсии ¬(¬a) = a 4
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ 5) Законы дополнительности : закон логического противоречия a ¬a = 0 закон исключенного третьего a + ¬a = 1 6) Коммутативные законы (перемещения) a b = b a a + b = b + a 7) Ассоциативные законы (сочетания) a (b c) = (a b) c = a b c a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c 8) Дистрибутивные законы (распределения) : конъюнкции относительно дизъюнкции a (b + c) = (a b) + (a c) дизъюнкции относительно конъюнкции a + (b c) = (a + b) (a + c) 5
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ 9) Законы поглощения a (a + b) = a a (¬a + b) = a b a + (a b) = a a + (¬a b) = a + b 10) Законы склеивания (распространения) (a b) + (a ¬b) = a (a + b) (a + ¬b) = a 11) Законы де Моргана (законы инверсии): для двух переменных ¬(a b) = (¬a) + (¬b) ¬(a + b) = (¬a) (¬b) в общем виде ¬f(x, +, ) = f(¬x, , +) или ¬f(x, , ) = f(¬x, , ) 6
ФОРМЫ ОПИСАНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1) Словесное 2) В виде таблиц истинности x 2 x 1 x 0 f(x 2, x 1, x 0) 7
ФОРМЫ ОПИСАНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 3) В виде последовательности десятичных чисел F(x 2, x 1, x 0) = (0, 1, 3, 7) F(x 2, x 1, x 0) = (2, 4, 5, 6) 4) В виде алгебраических выражений Элементарная конъюнкция Элементарная дизъюнкция 8
ФОРМЫ ОПИСАНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Дизъюнктивн нормальная форм ая а (ДНФ) Конъюнктивн нормальная форм ая а (КНФ) Совершенная дизъюнктивн нормальная форм ая а (СДНФ) Совершенная конъюнктивн нормальная форм ая а (СКНФ) 9
ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ СДНФ И СКНФ Значения аргументов Значения функции СДНФ СКНФ x 2 x 1 x 0 f(x 2, x 1, x 0) 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 10
ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ СДНФ И СКНФ СДНФ СКНФ 11
ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ x 0. . . & x 0. . . y = x 0 … xn– 1 1 y = x 0+…+xn– 1 y = x 0 … xn– 1 «И» x 1 «ИЛИ» _ x «НЕ» 12
ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ x 0 & … ___________ y = x 0 … xn– 1 «И-НЕ» x 0 1 … xn– 1 ______ y = x 0+…+xn– 1 ______ y = x 0 … xn– 1 «ИЛИ-НЕ» 13
МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ Метод непосредственных преобразований 14
МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ Метод непосредственных преобразований Для ранее построенной СДНФ (самостоятельно) Для ранее построенной СКНФ (самостоятельно) Обе функции являются равнозначными 15
МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ Метод непосредственных преобразований Для ранее построенной СДНФ 16
МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ Метод непосредственных преобразований Для ранее построенной СКНФ 17
МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ Метод Карно-Вейча x 2 x 1 x 0 y = f(x 2, x 1, x 0) 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 x 0 x 1 0 0 1 1 0 x 2 1 0 1 1 18
МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ Метод Карно-Вейча x 0 x 1 0 0 1 1 0 x 2 1 0 1 1 1 0 0 19
МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ y 1 Метод Карно-Вейча x 0 y 2 x 1 0 0 1 1 0 x 2 x 0 1 1 1 0 0 1 0 z 2 Минимальная ДНФ: x 1 z 1 1 0 1 0 0 0 x 2 0 1 1 0 1 0 0 Минимальная КНФ: 20
ПОСТРОЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ Минимальная ДНФ: x 2 1 x 1 1 Преобразуем ДНФ: y 1 x 0 & & x 2 1 & y x 1 x 0 & 21
ПОСТРОЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ Минимальная ДНФ: Преобразуем ДНФ: x 2 & & & x 1 x 0 & y & 22
ПОСТРОЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ Минимальная КНФ: Схема реализации x 2 1 1 & y x 1 1 x 0 1 23
ПОСТРОЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ Преобразуем КНФ: Схема реализации 24
ПОСТРОЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ Кроме того, применив к последнему выражению для КНФ закон идемпотентности: можно реализовать КНФ с использованием только одного типа логических элементов: x 2 1 1 1 y x 1 1 x 0 1 25
Скачать презентацию ТЕМА 3 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Основы логики.ppt