ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Математическое моделирование. Понятия и определения Научное исследование есть процесс познания определенной предметной области, объекта или явления с определенной целью. Процесс исследования осуществляется субъектом и заключается в наблюдении свойств объектов и выполнении действий с целью выявления и оценки важных с точки зрения субъекта-исследователя закономерных отношений между показателями данных свойств. Моделирование является одним из наиболее эффективных методов исследования. Оно заключается в построении и изучении специальных объектов (моделей), свойства которых подобны наиболее важным, с точки зрения исследователя, свойствам исследуемых объектов (оригиналов). В широком смысле моделирование представляет собой научную дисциплину, в которой изучаются методы построения и использования моделей для познания реального мира. Философскую концепцию моделирования составляют теория отражения и теория познания, а формально-методическую основу моделирования составляют теория подобия, теория эксперимента, математическая статистика, математическая логика и научные дисциплины, изучающие те предметные области, которые подлежат исследованию методами моделирования.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Математическое моделирование. Понятия и определения Предметная область - это мысленно ограниченная область реальной действительности или область идеальных представлений, подлежащая описанию (моделированию) и исследованию. Предметная область состоит из объектов, различаемых по каким-либо признакам (свойствам) и находящихся в определенных отношениях между собой, или взаимодействующих каким-либо образом. Объект - это все что мы различаем как нечто целое, реально существующее, или возникающее в нашем сознании и обладающее свойствами, значения которых позволяют нам однозначно распознавать это нечто. Объект, на котором сосредоточивается внимание субъекта с целью исследования, называется объектом исследования. Объекты воспринимаются и различаются субъектами лишь постольку, поскольку они обладают характерными свойствами или способностями. "Свойство" и "способность" также являются весьма важными понятиями в рассуждениях человека. Свойством называется характерная особенность объекта, которая может быть замечена и оценена субъектом, например, вес, цвет, длина, плотность и тому подобное. Для оценки исследуемого свойства объекта субъект устанавливает определенную меру называемую показателем свойства. Для каждого показателя определяется множество значений (уровней, или градаций меры свойства), которые присваиваются ему в результате оценивания свойства. Следовательно, свойство объекта является реальностью, а показатель - субъективной мерой этой реальности, если, конечно, речь идет о реальных объектах.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Математическое моделирование. Понятия и определения Показатели всеобщих свойств материальных объектов, таких как пространство и время называются основными показателями. Подавляющее большинство показателей других свойств выражаются через показатели этих основных свойств. Поэтому единицы измерения основных показателей служат основой для построения стандартной системы единиц измерения физических величин и называются основными единицами измерения. Выражение показателя некоторого свойства через основные единицы измерения, принятые в определенной стандартной системе единиц (мер), называется размерностью данного показателя. С точки зрения субъекта свойства делятся на внутренние (собственные) свойства объектов, показатели этих свойств называются параметрами, и внешние, представляющие собой свойства среды, связанные некоторыми отношениями с параметрами данного объекта. Показатели свойств внешней среды, влияющих на параметры исследуемого объекта, называются факторами. Свойства объектов выявляются только при их взаимодействии, или при сопоставлении объектов друг с другом. Сопоставление (комбинация) значений показателей, наблюдаемых свойств определенных объектов называется отношением.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Математическое моделирование. Понятия и определения Говорят, что отношение истинно, если оно подтверждается практическим экспериментом, или логическим выводом. Отношение считается ложным, если оно опровергается практической проверкой, или логическим выводом. Иначе отношение считается неопределенным. Понятия "истинно", "ложно", "неопределенно" являются логическими значениями любого отношения, результатами субъективной его оценки. Отношение называется функциональным (функцией F), если оно представляет собой однозначное отображение множества X значений показателя некоторого свойства в множество Y значений показателя того же, или иного свойства. Формально это записывают как F: = X Y, или как F(X)=Y, или F = X*Y, где “? ” декартово произведение множеств.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Математическое моделирование. Понятия и определения Взаимодействие объектов определяется по результатам изменения значений показателей наблюдаемых свойств этих объектов! Поэтому каждому действию, или взаимодействию, присваивается определенный результат. Результат - это может быть значение, или определенная комбинация значений, показателей свойств взаимодействующих объектов. Действия над значениями показателей свойств объектов, выполняемые по определенным правилам и приводящие к предполагаемому результату, называются операцией или процедурой. Значения показателей свойств объектов обозначаются символами из некоторого заранее определенного множества А, называемого алфавитом. Множество объектов, взаимосвязанных между собой определенными отношениями, и выполняющих определенную общую для них целевую функцию или имеющих общее предназначение, называется системой. Система, состоящая из алфавита А, строго определенных множеств отношений (G), операций (Q) и предназначенная для символического описания объектов и систем определенного класса, называется формальной системой. Такие системы используются в качестве языков математического моделирования.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Математическое моделирование. Понятия и определения Так как все свойства объектов изменяются во времени, то любой набор значений показателей этих свойств относится к определенному значению показателя времени (к моменту времени). Это отношение называется состоянием объекта. Значения показателей свойств меняются с течением времени. В результате этого происходит смена состояний объектов. Акт смены состояний объекта, отнесенный к определенному промежутку времени, называется событием, а последовательность взаимосвязанных событий, происходящих на некотором интервале времени, называется процессом. Способность материальных объектов сохранять вещественные и энергетические результаты (следы) взаимодействия материальных объектов называется отражением Часть материально-энергетической системы, предназначенная для восприятия и хранения результатов отражения, с целью воспроизведения и использования их в интересах системы в целом, называется памятью. Результаты отражения объектов внешнего мира и внутренних ощущений в памяти человека называются образами.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Математическое моделирование. Понятия и определения Как правило, чувственные органы человека воспринимают не полный образ наблюдаемого объекта, а только те его свойства, которые данный человек считает наиболее существенными по каким-то причинам. Человек способен присваивать образам символические имена из некоторого языка и связывать эти имена определенными логическими (мысленными) отношениями. Сформированная в памяти человека логическая система имен (идентификаторов образов) называется понятием. С другой стороны, понятие можно определить и как некоторую языковую конструкцию, имеющую определенный смысл, т. е. образное содержание. Система понятий и логических отношений между ними, отражающая какую-нибудь сторону реальной действительности, называется знаниями. Каждый субъект обладает памятью и механизмом целенаправленной манипуляции понятиями и знаниями. В целом эта система называется сознанием. Процесс целенаправленной манипуляции знаниями в сознании субъекта называется мышлением. Сознание субъекта присваивает каждому понятию, как и образу, символическое имя, определенное на языке, которым владеет данный субъект. Из имен понятий и образов формируется текст, представляющий собой знания субъекта о некоторой предметной области, закодированные на данном языке.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Математическое моделирование. Понятия и определения Таким образом, основным элементом любого знания является понятие, представленное на определенном языке. Понятие в процессе приобретения знаний и в процессе мышления субъекта имеет три значения: Ø семантическое, отражающее значения свойств объектов, замечаемых субъектом; Ø синтаксическое, связывающее понятия в выражения, предложения и тексты, имеющие определенный семантический смысл и поэтому представляющие знания субъекта о предметной области на определенном языке; Ø символическое, представляющее понятия, как слова и формальные выражения, составленное из символов алфавита языка данного субъекта. Выражения, предложения и фразы со своими значениями образуются при помощи грамматики языка, используемого субъектом для представления знаний. Грамматика представляет собой систему правил, определяющих логические отношения между понятиями с учетом их семантических, синтаксических и символических значений.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Математическое моделирование. Понятия и определения Сущность процесса исследования заключается в отыскании достоверных ответов на поставленные вопросы. Общеизвестно, что какой вопрос, такой и ответ… Научные исследования предполагают отыскание ответов на корректно поставленные вопросы. В таких вопросах, как правило, требуется выбрать одно из возможных (альтернативных) решений некоторой проблемы (задачи) по определенным условиям. Критерием называется условие, по которому осуществляется выбор искомого решения. Как правило, критерий формулируется в виде некоторого отношения на множестве значений определенного показателя, который будем называть аргументом критерия. Целью исследования обычно является определение значений параметров исследуемого объекта удовлетворяющих определенному критерию Это означает, что в процессе исследования необходимо изменять значения параметров исследуемого объекта и таким образом измерять значения показателя, служащего аргументом критерия.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Математическое моделирование. Понятия и определения Процесс исследования заканчивается, когда исследователь находит совокупность значений параметров объекта, удовлетворяющую заданному критерию с заданной достоверностью. Проведение таких исследований называется экспериментом. Объект, с целью изучения которого проводятся исследования, называется оригиналом Объект, исследуемый вместо оригинала для изучения определенных свойств, называется моделью Моделирование есть метод (или процесс) изучения свойств объектов-оригиналов посредством исследования соответствующих свойств их моделей Модели, представляющие собой материальные объекты, называются натурными или материальными При исследовании сложных систем, как правило, создать адекватную физическую модель не представляется возможным. В этих случаях ограничиваются созданием и исследованием математических описаний закономерных отношений между значениями параметров оригиналов. Такие описания называются математическими моделями. Математическая модель - это образ исследуемого объекта, создаваемый в уме субъектаисследователя с помощью определенных формальных (математических) систем с целью изучения (оценки) определенных свойств данного объекта.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Моделирование в процессе научного исследования Пусть некоторый объект Q обладает некоторым интересующим нас свойством C 0. Для получения математической модели, описывающей данное свойство необходимо: 1. Определить показатель данного свойства (т. е. определить меру свойства в некоторой системе измерения). 2. Установить перечень свойств С 1, . . . , Сm, , с которыми свойство С 0 связано некоторыми отношениями (это могут быть внутренние свойства объекта и свойства внешней среды, влияющие на объект). 3. Описать в избранной форматной системе свойства внешней среды, как внешние факторы х1, . . . , хn, влияющие на искомый показатель Y, внутренние свойства объекта, как параметры z 1, . . . , zr, а неучтенные свойства отнести к группе неучитываемых факторов (w 1, . . . , ws). 4. Выяснить, если это возможно, закономерные отношения между Y и всеми учитываемыми факторами и параметрами, и составить математическое описание (модель).
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Моделирование, как субъективное отражение объективной реальности Y=f(x 1, . . . , xn, z 1, . . . , zr, w 1, . . . , ws). (1. 1) Ø в модели отображаются только те факторы и параметры оригинального объекта, которые имеют существенное значение для решения исследуемой проблемы Ø измерения существенных факторов и параметров практически всегда содержат ошибки, вызываемые неточностью измерительных приборов и незнанием некоторых факторов В силу этого математическая модель является только приближенным описанием свойств изучаемого объекта. А математическую модель можно определить еще и как абстракцию изучаемой реальной сущности
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Моделирование, как субъективное отражение объективной реальности Модели обычно отличаются от оригиналов по природе своих внутренних параметров. Подобие заключается в адекватности реакции Y модели и оригинала на изменение внешних факторов x 1, . . . xn. Поэтому в общем случае математическая модель представляет собой функцию Y' = f(x'1, . . . , x'n, p 1, . . . , pm), (1. 2) где p 1, . . . , pm внутренние параметры модели, адекватные параметрам оригинала В зависимости от применяемых методов математического описания изучаемых объектов (процессов) математические модели бывают аналитические, имитационные, логические, графические, автоматные и т. д. Главным вопросом математического моделирования является вопрос о том, как точно составленная математическая модель отражает отношения между учитываемыми факторами, параметрами и показателем Y оцениваемого свойства реального объекта, т. е. на сколько точно уравнение (1. 2) соответствует уравнению (1. 1).
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Моделирование, как субъективное отражение объективной реальности Y' = f(x'1, . . . , x'n, p 1, . . . , pm), (1. 2) В более сложных случаях вид уравнения (1. 2) неизвестен и задача исследователя состоит, прежде всего, в том, чтобы найти это уравнение. При этом к числу варьируемых параметров х'1, . . . , х'n, относят все учитываемые внешние факторы и параметры исследуемого объекта, а к числу искомых параметров относят внутренние параметры модели p 1, . . . , pm, связывающие факторы х'1, . . . , х'n, с показателем Y' наиболее правдоподобным отношением. Решением этой проблемы занимается теория эксперимента. Суть этой теории состоит в том, чтобы, основываясь на выборочных измерениях значений параметров х'1, . . . , х'n, и показателя Y', найти параметры p 1, . . . , pm, при которых функция (1. 2) наиболее точно отражает реальную закономерность (1. 1).
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Понятие о подобии объектов Подобие есть определенное отношение между значениями показателей свойств различных объектов, наблюдаемое и измеряемое исследователем в процессе познания. Под подобием понимается такое взаимно однозначное соответствие (отношение) между свойствами объектов, при котором существует функция или правило приведения значений показателей данных свойств одного объекта к значениям тех же показателей другого объекта. Математические (формальные) описания подобных объектов допускают приведение их к тождественному виду Другими словами, подобие есть отношение взаимно однозначного соответствия между значениями показателей однородных свойств различных объектов. Однородными называются свойства, имеющие одинаковую размерность показателей.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Классификация подобий 1. В зависимости от полноты учета параметров различают: абсолютное (теоретическое) подобие, которое предполагает пропорциональное соответствие значений всех параметров данных объектов, т. е. pj(t) / rj(t) = mj(t), где j=1, n; практическое подобие - определенное функциональное взаимно однозначное соответствие параметров и показателей определенного подмножества свойств, существенных для данного исследования; практическое полное подобие - соответствие показателей и параметров выделенных свойств во времени и пространстве; практически не полное подобие - соответствие параметров и выделенных свойств показателей только во времени, или только в пространстве; практическое приближенное подобие - соответствие выделенных параметров и показателей с определенными допущениями и приближениями.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Классификация подобий 2. По адекватности природы объектов различают: физическое подобие, предполагающее адекватность физической природы объектов (частными случаями физического подобия являются механическое, электрическое и химическое подобия объектов); математическое подобие, предполагающее адекватность формального описания свойств объектов (частными случаями математического подобия являются статистическое, алгоритмическое, структурное и графическое подобие показателей свойств объектов). Проблема определения подобных объектов состоит в выборе научно обоснованных критериев подобия и в разработке методов расчета этих критериев. Изучению проблемы подобия объектов посвящена теория подобия. В рамках этой теории установлены три основных теоремы о подобии объектов, определяющие необходимые и достаточные условия подобия (критерии подобия).
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Классификация подобий Теорема I. /Ньютона-Бертрана/ Подобные объекты имеют числено равные коэффициенты подобия (в теории подобия они называются критериями подобия), образованные из определенных сочетаний размерностей соответствующих параметров. Чаще всего коэффициенты подобия представляют собой степенные комплексы размерностей, полученных из отношений (размерностей) параметров, учитываемых при описании объектов. Например. Переходный процесс в электрическом контуре может быть описан следующим дифференциальным уравнением: duс /dt + u. R - E = 0. Электрический контур с параметрами R, C, E, t, uс.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Классификация подобий Параметрами этого процесса являются: R, C, E, uс, t. . Из данного уравнения путем определенных преобразований получают следующие коэффициенты подобия: p 1 = RC/ t= R 1 C 1 t-1 uc 0 E 0, p 2 = E/uc = E 1 uc-1 R 0 C 0 t 0. Коэффициенты подобия являются безразмерными величинами. Их значения одинаковы для любых наборов значений параметров электрического контура данного вида, т. е. для всех подобных электрических контуров с заданной схемой и номенклатурой параметров, взаимосвязанных приведенным выше дифференциальным уравнением.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Классификация подобий Теорема II. /p-теорема/ Всякое уравнение физического процесса F(p 1, . . . , pn)= 0, записанное в определенной системе единиц измерений, может быть представлено в виде соответствующего уравнения F`(p 1, . . . , pm) = 0 между коэффициентами подобия p 1, . . . , pm, полученными из параметров p 1 , . . . , pn , задействованных в исходном уравнении F(p 1, . . . , pn-k)= 0. Для примера с электрическим контуром это уравнение имеет вид: 1+ p 1 - p 2 = 0. Теорема говорит о том, что множество описаний подобных объектов можно привести к единому уравнению соответствующих коэффициентов подобия. Все подобные объекты имеют единый математический образ!
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Классификация подобий Теорема III. Необходимыми и достаточными условиями подобия объектов (оригинала и модели), описываемых однородными уравнениями F(P 1, . . . , Pm)= 0 и F(R 1, . . . , Rm)= 0 , являются: § пропорциональность значений параметров Pi / Ri = mi, § равенство ( m = k - 1 ) коэффициентов подобия, составленных из данных уравнений, где m - число всех параметров в уравнении, k - число независимых параметров в уравнении, § соблюдение однозначности начальных условий и не учитываемых, неизменяемых параметров, т. е. соблюдение однозначности условий эксперимента. Известны также дополнительные условия подобия для сложных объектов. Смысл этих дополнительных условий в следующем. Два сложных объекта подобны, если подобны все соответствующие элементы этих объектов и подобны функции (или отношения) связывающие данные элементы.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Определения подобий По мере развития науки о моделировании, подобие приобретает все более широкое содержание. Возникли особые виды подобия: квазиподобие, основанное на использовании переменных масштабных коэффициентов; эквивалентное подобие, основанное на сравнении эквивалентных в том или ином смысле описаний, например на взаимно однозначном соответствии функций на некотором интервале; алгоритмическое подобие, основанное на сопоставлении выполняемых алгоритмов; кибернетическое подобие, основанное на подобии функций управления, реализуемых различными объектами.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Математическое подобие объектов. Обзор способов определения коэффициентов подобия Определение: математическое подобие есть подобие математических выражений (описаний), характеризующих одинаковые свойства объектов, необязательно адекватных по своей материальной природе Говоря о математическом подобии двух объектов, всегда имеем в виду тождественность математических описаний однородных свойств данных объектов. Доказательство адекватности оригинала и модели сводится к доказательству вышеизложенных теорем о подобии объектов. Пусть исследуемый процесс может быть описан однородным дифференциальным уравнением вида: или интегральным уравнением вида: где х - параметр процесса, то коэффициенты подобия получают непосредственно из этих уравнений.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Обзор способов определения коэффициентов подобия Метод 1: Для этого данное уравнение приводят к безразмерному виду путем деления всех членов уравнения на один из этих членов и избавляются от знаков дифференцирования (интегрирования), считая, что отношения бесконечно малых величин равно отношению обычных значений параметров. Затем, члены уравнения преобразуют к виду где j = 1, . . . , (n-1), Cj, a j, . . . , wj - безразмерные числа. Полученное при этом уравнение исследуемого процесса, представленное через коэффициенты подобия имеют вид: где n - число функций (членов) в исходном уравнении, m - число параметров исследуемого процесса.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Обзор способов определения коэффициентов подобия Метод 2: В том случае, когда невозможно составить дифференциальное (интегральное) уравнение процесса, коэффициенты подобия можно определить из анализа любой функциональной зависимости, представляющей собой описание исследуемого процесса. Пусть процесс описывается функцией F(p 1, . . . , pm) = 0, где - pj - размерные физические величины, характеризующие исследуемый процесс. Как было показано ранее, любая такая функция может быть представлена в виде Fp (p 1, p 2, . . . , p m-k) = 0, где p 1, . . . , p m-k - коэффициенты подобия, k - число независимых параметров pj в множестве p 1, . . . , pm.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Обзор способов определения коэффициентов подобия Метод 3: Если же математическое (функциональное) описание процесса в явном виде не известно, то коэффициенты подобия можно получить из словесного описания данного процесса методом анализа размерностей. Суть этого метода заключается в следующем. 1. Всякий процесс, объект или явление при моделировании или математическом описании представляется как уравнение или система уравнений. 2. Каждое уравнение отражает взаимосвязь параметров p 1, . . . , pm. (Параметр pi есть показатель определенного свойства Si). 3. Каждый параметр имеет условную меру - единицу измерения [Pi]. Единицы измерения бывают основными {a, b, . . . , q} и производными. В общем случае [Pi] = f (a, b, . . . , q), обычно [P] = [a]a [b]b. . . [q]z , (1. 3) где a, b, . . . , z - целые числа. Выражение (1. 3) называется формулой размерности параметра (физической величины) или просто размерностью.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Обзор способов определения коэффициентов подобия Показатели свойств (параметры или физические величины) бывают однородными (характеризующими одно и то же свойство и имеющими одинаковую размерность), одноименными (имеющими одинаковую размерность, но характеризующими различные свойства, т. е. имеющими различный физический смысл), и безразмерными. 4. Группа параметров (показателей свойств) называется группой независимых параметров, если размерность ни одного из параметров не может быть образована из размерностей других параметров из той же группы. Например, группа (l, m, v) есть группа независимых параметров, так как размерность пути [l] определяется как [L], размерность массы [m] определяется как [M] и размерность скорости [v] - как [V]=[L 1 T-1] и [V] не равно f([l], [m]). 5. Признаком независимости параметров p 1, . . . , pm является существование хотя бы одного отличного от нуля определителя (D? 0) порядка k, образованного из элементов матрицы, составленной из показателей степеней при основных единицах измерения в формулах размерностей этих параметров.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Обзор способов определения коэффициентов подобия Пример. Даны параметры p 1, p 2, p 3 с размерностями [P 1]=[Ll 1 Mm 1 Tt 1], [P 2]=[Ll 2 Mm 2 Tt 2], [P 3]=[Ll 3 Mm 3 Tt 3]. Эти параметры независимы, если система уравнений: имеет единственное решение, а именно, когда 6. Для физического процесса, полностью характеризуемого m параметрами p 1, . . . , pm, среди которых k параметров p 1, . . . , pk являются независимыми, существует m-k критериев подобия p 1, . . . , p m-k. Число k равно рангу матрицы, образованной показателями степеней при основных единицах измерения параметров p 1, . . , pm.
ТЕМА 3. ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Обзор способов определения коэффициентов подобия 7. В общем виде формулы для определения коэффициентов подобия имеют вид: где xi , . . . , zi - показатели степеней, получаемые из системы уравнений: (1. 4) решением которой является выражение: xi = D 1 / D, . . . , zi = Dk/ D, где D - определитель системы (1. 4), D 1, . . . , Dk - определители, составленные из D заменой соответствующего столбца 1, . . . , k столбцом свободных членов. Таким образом, коэффициенты подобия для параметров исследуемого процесса могут быть получены и при отсутствии уравнений, описывающих данный процесс в явном виде. Достаточно иметь набор всех параметров и их размерности.
Скачать презентацию ТЕМА 3 ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Математическое
Т1 Л3 - Теория подобия.pptx