Тема 3. Методы обработки экспериментальных данных
Вопросы темы 1. 2. 3. 4. Метод наименьших квадратов. Постановка задачи. Решение в общем виде. Нахождение приближающей функции в виде линейной и квадратичной функций. Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций. Интерполирование функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Вопрос 1. Метод наименьших квадратов. Постановка задачи. Решение в общем виде. Постановка задачи. В результате опыта получена таблица зависимости f: Таблица 1 Необходимо найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически. Перефразируем. Найти функцию заданного вида: 1. 1 которая в точках x 1, x 2, …, xn принимает значения как можно близкие к табличным значениям y 1, y 2, …, yn. Практически вид приближающей функции можно определить построив по таблице 1 точечный график функции f, а затем плавно провести кривую, наилучшим образом отражающая характер расположения точек (рис. 1). Рис. 1
Решение. Предположим, что приближающая функция F в точках которая в точках x 1, x 2, …, xn имеет значения: 1. 2 Требование близости табличных значений y 1, y 2, …, yn и значений (1. 2) с учетом рассмотрения этих совокупностей как координаты точек n-мерного пространства и метрики евклидового пространства сводится к условию: 1. 3 Формулировка Метода наименьших квадратов. Для функции f, заданной таблицей 1, найти функцию F определенного вида, так , чтобы выполнялось условие (1. 3). В качестве приближающей функции в зависимости от характера точечного графика функции f используют: Здесь a, b, c, m – параметры. Когда вид функции установлен, задача сводится в нахождению их значений.
Решение задачи в общем виде. Рассмотрим метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере приближающей функции с тремя параметрами. 1. 4 Составим сумму квадратов разностей соответствующих значений f и F: Эта сумма является функцией Ф(a, b, c) и задача сводится к отысканию ее минимума. Используя необходимое условие экстремума: Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными a, b, c будет получен конкретный вид искомой функции F(x, a, b, c).
Вопрос 2. Нахождение приближающей функции в виде линейной и квадратичной функций. Линейная функция. Будем искать приближенную функцию в виде: 1. 5 Найдем частные производные по параметрам: Составим теперь систему уравнений вида (1. 4): 1. 6 Вводим обозначения и получаем 1. 7 После вычисления параметров a, b функция (1. 5) станет известной
БЛОК-СХЕМА. Нахождения приближающей функции в виде линейной (МНК) начало ввод n D = 0, E = 0, F = 0, G = 0 1 i = 1, n b = (E*G-D*F)/(E*n-F*F) ввод xi, yi a = (D*n-G*F)/(E*n-F*F) D = D + x i * yi вывод a, b E = E + x i * xi конец F = F + xi G = G + yi 1
Квадратичная функция. Будем искать приближенную функцию в виде: 1. 8 Найдем частные производные по параметрам: Составим теперь систему уравнений вида (1. 4): 1. 9 Вводим обозначения и получаем 1. 10 где После вычисления параметров a, b, с функция (1. 8) станет известной
БЛОК-СХЕМА. Нахождения приближающей функции в виде квадратичной (МНК) начало ввод n 1 l = M*E*n+2*H*E*F – E*E*E - H*H*n - F*F*M D=0, E=0, K=0, F=0, M=0, G=0, H=0 l 1 = … i = 1, n ввод xi, yi D = D + x i * yi E = E + x i * xi , K = K + x i * xi * yi F = F + xi , M = M + xi* xi* xi G = G + yi , H = H + xi* xi l 2 = … l 3 = … a = l 1 / l b = l 2 / l c = l 3 / l вывод a, b, c 1 конец
Вопрос 3. Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций. Степенная функция. Будем искать приближенную функцию в виде: 1. 11 Предполагая, что в исходной таблице 1 значения аргумента и значения функции положительны, прологарифмируем равенство (1. 11) при условии a > 0: 1. 12 Обозначим 1. 13 Равенство (1. 11) примет вид: 1. 14 т. е. задача свелась к отысканию приближенной функции в виде линейной. На практике решение такой задачи сводится к: 1). по данным таблицы 1 составляется новая таблица, прологарифмировав значения x и y; 2). находятся значения параметров А и В для новой функции; 3). по формулам (1. 13) находятся исходные параметры a и m.
Показательная функция. Будем искать приближенную функцию в виде: 1. 15 Прологарифмируя равенство (1. 15) и введя обозначения A = m и B = lna, получим: 1. 16 т. е. задача свелась к отысканию приближенной функции в виде линейной. На практике решение такой задачи сводится к: 1). по данным таблицы 1 составляется новая таблица, прологарифмировав значения y; 2). находятся значения параметров А и В для новой функции; 3). по формулам (1. 13) находятся исходные параметры a и m. Дробно-линейная функция. Будем искать приближенную функцию в виде: 1. 17 Равенство (1. 17) перепишем в виде: 1. 18 На практике решение такой задачи сводится к: 1). по данным таблицы 1 составляется новая таблица, значения y заменяются обратными числами 1/y; 2). находятся значения параметров а и b для новой функции.
Логарифмическая функция. Будем искать приближенную функцию в виде: 1. 19 После замены ln x = u имеем линейную функцию от u. На практике: 1). по данным таблицы 1 составляется новая таблица, прологарифмировав значения x; 2). находятся значения параметров а и b для новой функции. Гипербола функция. Будем искать приближенную функцию в виде: 1. 20 После замены 1/ x = u имеем линейную функцию от u. На практике : 1). по данным таблицы 1 составляется новая таблица, значения x заменяются обратными числами 1/x; 2). находятся значения параметров а и b для новой функции. Дробно-рациональная функция. Будем искать приближенную функцию в виде: 1. 21 Равенство (1. 21) перепишем в виде: 1. 22 После замены 1/x=u и 1/F=Ф имеем линейную функцию. На практике : 1). по данным таблицы 1 составляется новая таблица, значения x и у заменяются обратными числами; 2). находятся значения параметров а и b для новой функции.
Вопрос 4. Интерполирование функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Постановка задачи. Пусть известны значения некоторой функции f: Таблица 2 Необходимо найти значение функции f для любого x [x 0; xn], но не совпадающие ни с одним из значений xi (i=0, 1, …, n). Классический метод к решению данной задачи сводится к построению приближающей функции F, которая близка к заданной функции f и в точках xi (i=0, 1, …, n) соблюдается условие совпадения значений этих функций, т. е. 1. 23 Нахождение приближающей функции называется интерполяцией, точки xi (i=0, 1, …, n) – узлы интерполяции.
Решение задачи. Будем искать интерполирующую функцию F в виде полинома степени n: 1. 24 Для нахождения n + 1 неизвестных коэффициентов, используется условие (1. 23), что приводит к получению системы n + 1 уравнения с n + 1 неизвестными. 1. 25 Решение этой системы и даст аналитическое выражение полинома (1. 24). При этом система всегда имеет единственное Вандермонда), отличен от нуля. решение, так как определитель системы (определитель
Интерполяционный многочлен Лагранжа. Пусть функция f задана таблицей 1. Построим интерполяционный многочлен Ln(x) в виде: 1. 26 где li(x) – многочлен степени n, причем: 1. 27 Многочлен li(x) составим следующим образом: 1. 28 где ci – постоянные коэффициенты, значения которых находятся из первой части условия (1. 27) : 1. 29
Подставляя ci в (1. 28) и далее в (1. 26) окончательно получим многочлен Лагранжа в виде: 1. 30 Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблицей: Из таблицы видно, что n = 2, следовательно получаем:
Скачать презентацию Тема 3 Методы обработки экспериментальных данных Вопросы
Тема 3. МНК_Лагранжа.ppt