Тема 3 Комплексные числа Комплексным числом называется

Тема 3. Комплексные числа

Комплексным числом называется число вида а + bi, где а и b — действительные числа, а i — символ, называемый мнимой единицей. Множество комплексных чисел обозначают буквой С. Действительное число a отождествляют с комплексным числом a + 0⋅ i. Тем самым мы расширяем цепочку включений различных числовых множеств: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Каждое комплексное число z — это некоторый символ вида а + bi. Число а называется действительной частью числа z, а число b — его мнимой частью.

Правила сложения (вычитания), умножения (деления) комплексных чисел. Комплексные числа складывают (вычитают) по следующему правилу: (a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2 )+ (b 1 + b 2)i. (a 1 + b 1 i) - (a 2 + b 2 i) = (a 1 - a 2 )+ (b 1 - b 2)i.

По правилу умножения i ⋅ i = (0 + i) ⋅ (0 + i) = − 1, т. е. квадрат мнимой единицы равен действительному числу − 1. При умножении комплексных чисел просто раскрывают скобки по обычным правилам и заменяют i 2 на − 1: (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = a 1 a 2 – b 1 b 2 + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i. Обратим внимание на то, что не только i 2 = − 1, но и (−i)2 = − 1.

Деление Сопряженные комплексные числа. Комплексные числа a + bi и a − bi называют сопряженными друг с другом. Их произведение равно действительному положительному числу a 2 + b 2.

Изображение комплексных чисел. Число z = а + bi можно изобразить точкой плоскости с координатами (а, b) (например, М(a, b)). Сопряженные числа z = а + bi и -z= а − bi изображаются точками, симметричными относительно оси абсцисс. Число a 2 + b 2 , являющееся расстоянием от точки, изображающей число z (говорят просто — от точки z), до начала координат, называется модулем комплексного числа и обозначается |z|.

Пример № 1. Вычислить (2 -i)² = Решение. (а-b)²=a²-2 ab+b² (2 -i)² = 4 -4 i+i² = 4 -4 i-1 = 3 -4 i Пример № 2.