Тема 2. Упругие волны. 2. 1. Образование волн. Принцип Гюйгенса.
Процесс распространения колебаний в пространстве, сопровождающийся переносом энергии, называется волной. Волна называется продольной, если направление колебаний частиц среды совпадает с направлением распространения волны. Волна называется поперечной, если направление колебаний частиц среды перпендикулярно направлению распространения волны.
Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (волновым фронтом). Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Плоская волна: Сферическая волна:
Цилиндрическая волна: Принцип Гюйгенса: Каждая точка среды, до которой дошло колебание, сама становится источником вторичных полусферических волн, а огибающая всех этих вторичных волн дает положение волнового фронта в последующий момент времени.
2. 2. Уравнение бегущей волны. Уравнением волны называется выражение, которое определяет зависимость смещения колеблющейся частицы от координат ее положения равновесия x, y, z и времени t: (2. 1)
(2. 2) (2. 3)
(2. 4) Длина волны – это расстояние, проходимое волной за один период колебания. Величина k=ω/v называется волновым числом, а вектор k=k·n, где n – единичный вектор нормали к волновой поверхности, называется волновым вектором. (2. 5) Задача 2. 1 Волна распространяется по прямой со скоростью 20 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии 12 м и 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз
0, 75π. Определить длину волны и период колебания. Дано: v = 20 м/с x 1 = 12 м x 2 = 15 м Δφ = 0, 75π λ-? Т-?
Волна, распространяющаяся в произвольном направлении: (2. 6) (2. 7) (2. 8)
Поглощающая среда: γ – коэффициент поглощения среды. (2. 9) Сферическая волна: (2. 10) Цилиндрическая волна: (2. 11)
Задача 2. 2 Точечный источник испускает гармонические упругие волны. Найти коэффициент затухания γ волны, если амплитуда колебаний частиц среды на расстоянии r от источника в η раз меньше, чем на расстоянии r 0. Решение. Так как волна сферическая:
2. 3. Волновое уравнение – это дифференциальное уравнение движения в частных производных, решением которого является уравнение волны. (2. 12)
Одномерное волновое уравнение: (2. 13) Многомерное волновое уравнение: (2. 14) 2. 4. Скорость упругих волн. (2. 15)
(2. 16) (2. 17) Для малых δ: (2. 18)
(2. 19) (2. 20) (2. 21)
(2. 22) Продольная волна: (2. 23) Поперечная волна: (2. 24) Волна в струне: (2. 25) Звук в газах: (2. 26)
2. 5. Энергия упругой волны. (2. 27) (2. 28) (2. 29) (2. 30)
(2. 31) (2. 32) (2. 33)
Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. (2. 34) Плотностью потока энергии называется вектор, численно равный потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия, и направленный в направлении распространения волны. (2. 35) Единицы системы СИ: Поток энергии – 1 Вт Плотность потока энергии – 1 Вт/м 2
(2. 36) Вектор Умова: (2. 37) 2. 6. Стоячие волны. (2. 38) Амплитуда стоячей волны:
Пучности: (2. 39) Узлы: (2. 40)
(2. 41) (2. 42) Волна в струне: (2. 43) (2. 44) (2. 45)
- основная частота - собственные нормальные колебания, или гармоники
Задача 2. 3 Стержень длины l из материала, модуль Юнга которого Е и плотность ρ, закреплен на одном конце, другой – свободен. Найти число N продольных собственных колебаний этого стержня в диапазоне от ν 1 до ν 2. Решение.
2. 7. Звуковые волны (звук) – это упругие волны в диапазоне частот от 16 Гц до 20 к. Гц, воспринимаемые ухом человека. ν < 16 Гц – инфразвук ν > 20 к. Гц - ультразвук Звук человек различает по высоте, тембру и громкости. Высота звука определяется частотой ν. Тембр звука определяется характером колебаний.
Громкость звука определяется интенсивностью волны. Порог слышимости: Порог болевого ощущения: Iбол ≈ 1 ÷ 10 Вт/м 2 (2. 46)
20 д. Б = 100 раз
Звук Уровень громкости, L, д. Б Тиканье часов 20 Тихий шепот 30 Нормальный разговор 60 Громкая речь 70 Крик 80 Оркестр фортиссимо 100 Шум самолетного мотора на расстоянии 5 м 120 на расстоянии 3 м 130
2. 8. Эффект Доплера. Эффектом Доплера называется изменение воспринимаемой приемником частоты волн при относительном движении приемника и источника волн.
1. Приемник неподвижен: (2. 47) 2. Приемник движется навстречу источнику: - скорость импульсов относительно приемника (2. 48)
(2. 49) Задача 2. 4 Неподвижный источник испускает звук частоты ν 0. Найти частоту звука, отраженного от стенки, которая удаляется от источника с постоянной скоростью u. Скорость звука v. Считать, что u<<v. Решение. Стенка - приемник (2. 50) Стенка - источник (2. 51)
Подставим (2. 50) в (2. 51):
