Тема 2. Система сходящихся сил – когда линии действия сил пересекаются в одной точке. План исследования любой системы сил соответствует последовательному решению двух вопросов : 1. Приведение данной системы сил к простейшему виду 2. Каковы условия равновесия системы 1. Перенесем все силы по линии их действия в точку пересечения (кинематическое состояние тела при этом не изменится – следствие из аксиомы присоединения). Сложим первые две силы F 1 и F 2 (аксиома параллелограмма). Количество сил уменьшилось на единицу. Сложим полученную равнодействующую R 12 со следующей силой F 3. Количество сил вновь уменьшилось на единицу. Повторим эту же операцию со следующей силой F 4. Осталась всего одна сила, эквивалентная исходной системе сил.
Сложение сил построением параллелограммов можно заменить построением силового треугольника – выбирается одна из сил или изображается параллельно самой себе с началом в любой произвольной точке, все другие силы изображаются параллельными самим себе с началом, совпадающим с концом предыдущей силы. Результатом такого сложения является вектор, направленный из начала первой силы к концу последней из сил. Простейший вид системы – сила, приложенная в точке пересечения исходных сил. Таким образом, сходящаяся система сил приводится к одной силе – равнодействующей (силе, эквивалентной исходной системе сил), равной геометрической сумме сил системы. 2. Если равнодействующая системы оказывается не равной нулю, тело под действием такой системы сил будет двигаться в направлении равнодействующей (система сил не уравновешена). Для того, чтобы уравновесить систему, достаточно приложить силу, равную полученной равнодействующей и направленной в противоположную сторону (аксиома о двух силах). Таким образом, условием равновесия системы сходящихся сил является обращение равнодействующей в ноль.
- это условие эквивалентно замкнутости силового треугольника определенным образом, а именно, направление всех сил при обходе по контуру не изменяется по направлению: Теорема о трех силах Если тело, под равновесная действием трех непараллельных сил неравновесн находится в равновесии, то линии действия ая этих сил пересекаются в одной точке. 1. Перенесем две силы по линии их действия в точку их пересечения (кинематическое состояние тела при этом не изменится – следствие из аксиомы присоединения). 2. Сложим эти силы (аксиома параллелограмма). Теперь система состоит всего из двух сил. А такая система находится в равновесии, если эти силы равны между собой и направлены по одной линии в противоположные стороны. Таким образом, все три силы пересекаются в одной точке.
Теорема о трех силах может эффективно применяться для определения направления одной из двух реакций тел: Реакция подвижного шарнира RB направлена вертикально (перпендикулярно опорной плоскости). Направление (угол наклона к горизонту) реакции неподвижного шарнира RA пока не определено. Если тело под действием трех сил F, RA и RB находится в равновесии, то все три силы должны пересекаться в одной точке ( в точке С). Действительные направления и величины реакций легко определяются построением силового треугольника и использованием подобия треугольников.
Аналитическое определение равнодействующей Каждая из сил, геометрическая сумма которых дает равнодействующую, может быть представлена через ее проекции на координатные оси и единичные векторы (орты) Тогда равнодействующая выражается через проекции сил в виде Группировка по ортам дает выражения для проекций равнодействующей Отсюда проекции равнодействующей : Модуль равнодействующей: Направляющие косинусы равнодействующей: Уравнения равновесия сходящейся системы сил Из условия равновесия следуют уравнения равновесия
В решении задач по теоретической механике принимаем следующие допущения: 1. Основные элементы плоских сооружений: стержни и пластинки. Стержнем называют элемент, у которого размеры поперечного сечения малы по сравнению с длиной. Пластинкой называют элемент, ограниченный двумя плоскостями, один размер (толщина) которого мал по сравнению с двумя другими. Оболочка – конструкция, ограниченная двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами. Другими словами, оболочка – это искривленная пластинка. 2. Под идеальным шарниром будем понимать узловое соединение стержней, в котором не возникает сил трения и усилия на стержни передаются строго через центр шарнира. 3. Расчетной схемой называют идеализированную, упрощенную схему действительного сооружения, но в которой отражаются его основные свойства. 4. Стержневым сооружением называется система соединенных между собой стержней, которая неподвижно прикреплена к земле и предназначена для восприятия заданной нагрузки.
Проекция силы на ось Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси: Тригонометрические формулы SIN 2 α + COS 2 α =1 tg α *ctg α =1, tg 2 α + 1=1/ COS 2 α ctg 2 α+1=1/ SIN 2 α Формулы сложения углов: COS(α-β)=COSα*COSβ + SINα* SINβ COS(α+β)=COSα*COSβ - SINα* SINβ SIN(α -β)= SINα* COSβ - COSα*SINβ SIN(α+β)= SINα* COSβ + COSα*SINβ Формулы сложения функций: SINα+SINβ=2* SIN *COS SINα-SINβ=2* SIN *COS COSα + COSβ= 2*COS * COSα + COSβ= - 2* SIN
Задача на равновесие тела под действием сходящихся сил № 2. 6 (2. 7), Мещерский И. В. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила Р=1000 Н. Определить реакции этих стержней на шарнирный болт С, если углы, составляемые стержнями со стеной, равны: α=30 и β=60 Ответ: 866 Н, 500 Н А α β В С Р 2 метода решения задачи: 1. Геометрический, если общее число действующих на тело сил равно 3, с использованием силового треугольника. Силы задаются как векторы. 2. Аналитический, при любом числе приложенных сил, с использованием условий равновесия тела. Силы задаются проекциями на оси.
1. Сходящейся системой сил называется совокупность сил: А. Линии действия которых пересекаются в одной точке; B. Лежащих в одной плоскости; C. Произвольно расположенных в пространстве; D. Параллельных между собой. 3. Определить направление реакции шарнира А однородной балки АB весом P: 2. Теорему о трех непараллельных силах, действующих на тело и расположенных в одной плоскости, можно применить: A. В любом состоянии тела; B. Когда, тело находится во вращательном движении; C. Когда тело движется произвольно; D. Когда тело находится в равновесии. 4. Невесомый изогнутый стержень ABC закреплен шарниром A и опирается на гладкую поверхность в точке C. Определить направление реакции в точке A.
5. Укажите правильное направление реакций связей в точке A и тросе BD удерживающем балку весом P. А С Р О В 6. Укажите верное направление реакций опор: АВ – криволинейный брус. 7. Абсолютно гладкая поверхность АОВС, стержень АВ. Указать направление реакций NA, NB
Вопрос 7. Укажите реакцию связи неподвижного шарнира. Вопрос 9. Укажите направления реакций невесомых стержней 1, 2, 3. Вопрос 8. Укажите правильную схему с указанием направления реакций связи в опорах A и B.
Вопрос 10. Состояние твердого тела не изменится, если: • добавить пару сил; • добавить уравновешивающую силу; • одну из сил параллельно перенести в другую точку тела; • добавить уравновешенную систему сил; • добавить любую систему сил. Вопрос 11. Какое тело называется несвободным ? • A. Тело, которое может перемещаться по всем направлениям; • B. Тело, движение которого ограничено связью; • C. Тело, которое может двигаться по вертикали; • D. Тело, которое может двигаться по горизонтали; • E. Тело, которое может вращаться. Вопрос 12. Какое тело считается свободным? • A. Имеющее одну точку опоры; • B. Находящееся в равновесии; • C. На которое не наложены связи; • D. Если равнодействующая всех сил равна нулю.
Вопрос 13. Что называется связью? • A. Тело, которое не может перемещаться; • B. Тело, которое может свободно перемещаться ; • C. Сила, действующая на тело, которое не может перемещаться; • D. Сила, действующая на тело, которое может перемещаться; Вопрос 14. Как направлена реакция нити, шнура, троса: • A. Реакция образует произвольный угол с направлением связи; • B. Вдоль нити, шнура, троса от рассматриваемого тела; • C. Вдоль нити, шнура, троса к рассматриваемому телу; • D. Перпендикулярно нити, шнуру, тросу? • E. Под углом 45 o к нити, шнуру, тросу? • E. Тело, ограничивающее перемещение данного тела. Вопрос 15. Что называется реакцией связи? • A. Сила, с которой рассматриваемое тело действует на связь; • B. Тело, ограничивающее свободное движение другого тела; • C. Сила, с которой связь действует на тело; • D. Взаимодействие между телом и связью; • E. Любая неизвестная сила.
Вопрос 16. Укажите направление реакций связи, если связь - подвижный цилиндрический шарнир. 17. Какая сила является равнодействующей сил F 1 и F 2:
18. Чему равен модуль равнодействующей сил F 1 и F 2: 19. Укажите направления реакций связей невесомых стержней AB и BC?
20. Укажите схему с правильным изображением направления реакций связей гладкой опоры в точках A, B и C. 21. Укажите правильное направление реакций связей в опорах A, B и веревке CD.
22. Укажите правильно направление реакций связей в точке A и невесомых стержнях 1 и 2. 23. Укажите направление реакций связей в опорах А, В, С.
24. Укажите правильное направление реакций в жесткой заделке А. 25. Укажите направления реакций связи в опоре А и невесомом стержне ВС.
Задачи на сходящуюся систему сил на плоскости. Определение опорных реакций на основе теоремы о трех силах. 1. Демонстрация решения задач 2. 10(2. 11)v, 2. 26(2. 26)v 2. Самостоятельное решение задач: 2. 6(2. 7)v, 2. 7(2. 8)v, 2. 8(2. 9)v, 2. 9(2. 10)-, 2. 11(2. 12)-, 2. 15(2. 16)-, 2. 16(2. 17)-, 2. 20(2. 20)-, 2. 22(2. 22)-, 2. 33(2. 33)v по Мещерскому И. В. «Задачи по теоретической механике»
№ 2. 6 (2. 7) Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила Р=1000 Н. Определить реакции этих стержней на шарнирный болт С, если углы, составляемые стержнями со стеной, равны: α=30 и β=60 Ответ: 866 Н, 500 Н № 2. 7 (2. 8) На рис. схематически изображены стержни, соединенные между собой, с потолком и стенами посредством шарниров. К шарнирным болтам B, F и K подвешены грузы Q=1000 Н. Определить усилия (S) в стержнях для случаев: a) α= β=45, б) α=30 β=60 , в) α=60 β=30 Ответ: а) S 1=S 2=707 Н, б) S 1=577 Н S 2= -1154 Н, в) S 1= -577 Н S 2=1154 Н Знак минус показывает, что стержень сжат D А А α 1 β α 1 В С Q α а 2 α 1 К E Р β 2 В β M Q 2 С F β Q б в N
№ 2. 8 (2. 9) № 2. 33 (2. 33) Уличный фонарь подвешен в точке В к середине троса АВС, прикрепленного концами к крюкам А и С, находящимся на одной горизонтали. Определить натяжения Т 1 и Т 2 в частях троса АВ и ВС, если вес фонаря равен 150 Н, длина всего троса АВС равна 20 м и отклонение точки его подвеса от горизонтали BD=0, 1 м. Весом троса пренебречь. Для рамы, изображенной на рисунке, определить опорные реакции RA и RD, возникающие при действии горизонтальной силы P, приложенной в точке B. Весом рамы пренебречь. Ответ: RA=P /2, RD=P/2 Ответ: Т 1=Т 2=7, 5 к. Н D C В Р С В А 2 а а A
2. 9 (2. 10) Уличный фонарь весом 300 Н подвешен к вертикальному столбу с помощью горизонтальной поперечины АС=1, 2 м и подкоса ВС=1, 5 м. Найти усилия S 1 и S 2 в стержнях АС и ВС, считая крепления в точках А, В, С шарнирными. Ответ: S 1=400 Н, S 2=-500 Н 2. 11 (2. 12) Мачтовый кран состоит из стрелы АВ, прикрепленный шарниром А к мачте, и цепи СВ. К концу В стрелы подвешен груз Р=2 к. Н; углы ВАС=15 , АСВ=135 . Определить натяжение Т цепи CB и усилие Q в стреле АВ. Ответ: Т=1, 04 к. Н, Q=2, 83 к. Н 2. 15. (2. 16) К веревке АВ, один конец которой закреплен в точке А, привязаны в точке В груз Р и веревка ВСD, перекинутая через блок; к концу её D привязана гиря Q веса 100 Н. Определить, пренебрегая трением на блоке, натяжение Т веревки АВ и величину груза Р, если в положении равновесия углы, образуемые веревками с вертикалью ВЕ, равны: =45 , =60 . Ответ: Т=122 Н, Р=137 Н B A C E C B A C P B P A Q D
2. 16 (2. 17) Груз Р=20 к. Н поднимается магазинным краном ВАС посредством цепи, перекинутой через блок А и через блок D, который укреплен на стене так, что угол САD=30 . Углы между стержнями крана: АВС=60 , АСВ=30 . Определить усилия Q 1 и Q 2 в стержнях АВ и АС. Ответ: Q 1=0, Q 2= -34, 6 к. Н 2. 20 (2. 20) Однородный шар веса 20 Н удерживается на гладкой наклонной плоскости тросом, который привязан к пружинным весам, укрепленным над плоскостью; показание пружинных весов 10 Н. Угол наклона плоскости к горизонту равен 30 . Определить угол , составляемый направлением троса с вертикалью, и давление Q шара на плоскость Весом пружинных весов пренебречь. Ответ: =60 , Q=17, 3 Н 2. 22 (2. 22) Однородный шар веса 10 Н удерживается в равновесии двумя тросами АВ и СD, расположенными в одной вертикальной плоскости и составляющими один с другим угол 150 . Трос АВ наклонен к горизонту под углом 45 Определить натяжение тросов. Ответ: ТВ=19, 3 Н, ТС=14, 1 Н В B А D 150 60 30 30 С A D P C 30 45