Тема 2. Система сходящихся сил – когда линии

Тема 2. Система сходящихся сил – когда линии действия сил пересекаются в одной точке. План исследования любой системы сил соответствует последовательному решению двух вопросов : 1. Приведение данной системы сил к простейшему виду 2. Каковы условия равновесия системы 1. Перенесем все силы по линии их действия в точку пересечения (кинематическое состояние тела при этом не изменится – следствие из аксиомы присоединения). Сложим первые две силы F 1 и F 2 (аксиома параллелограмма). Количество сил уменьшилось на единицу. Сложим полученную равнодействующую R 12 со следующей силой F 3. Количество сил вновь уменьшилось на единицу. Повторим эту же операцию со следующей силой F 4. Осталась всего одна сила, эквивалентная исходной системе сил.

Сложение сил построением параллелограммов можно заменить построением силового треугольника – выбирается одна из сил или изображается параллельно самой себе с началом в любой произвольной точке, все другие силы изображаются параллельными самим себе с началом, совпадающим с концом предыдущей силы. Результатом такого сложения является вектор, направленный из начала первой силы к концу последней из сил. Простейший вид системы – сила, приложенная в точке пересечения исходных сил. Таким образом, сходящаяся система сил приводится к одной силе – равнодействующей (силе, эквивалентной исходной системе сил), равной геометрической сумме сил системы. 2. Если равнодействующая системы оказывается не равной нулю, тело под действием такой системы сил будет двигаться в направлении равнодействующей (система сил не уравновешена). Для того, чтобы уравновесить систему, достаточно приложить силу, равную полученной равнодействующей и направленной в противоположную сторону (аксиома о двух силах). Таким образом, условием равновесия системы сходящихся сил является обращение равнодействующей в ноль.

- это условие эквивалентно замкнутости силового треугольника определенным образом, а именно, направление всех сил при обходе по контуру не изменяется по направлению: Теорема о трех силах Если тело, под равновесная действием трех непараллельных сил неравновесн находится в равновесии, то линии действия ая этих сил пересекаются в одной точке. 1. Перенесем две силы по линии их действия в точку их пересечения (кинематическое состояние тела при этом не изменится – следствие из аксиомы присоединения). 2. Сложим эти силы (аксиома параллелограмма). Теперь система состоит всего из двух сил. А такая система находится в равновесии, если эти силы равны между собой и направлены по одной линии в противоположные стороны. Таким образом, все три силы пересекаются в одной точке.

Теорема о трех силах может эффективно применяться для определения направления одной из двух реакций тел: Реакция подвижного шарнира RB направлена вертикально (перпендикулярно опорной плоскости). Направление (угол наклона к горизонту) реакции неподвижного шарнира RA пока не определено. Если тело под действием трех сил F, RA и RB находится в равновесии, то все три силы должны пересекаться в одной точке ( в точке С). Действительные направления и величины реакций легко определяются построением силового треугольника и использованием подобия треугольников.

Аналитическое определение равнодействующей Каждая из сил, геометрическая сумма которых дает равнодействующую, может быть представлена через ее проекции на координатные оси и единичные векторы (орты) Тогда равнодействующая выражается через проекции сил в виде Группировка по ортам дает выражения для проекций равнодействующей Отсюда проекции равнодействующей : Модуль равнодействующей: Направляющие косинусы равнодействующей: Уравнения равновесия плоской сходящейся системы сил Из условия равновесия следуют уравнения равновесия

В решении задач по теоретической механике принимаем следующие допущения: 1. Основные элементы плоских сооружений: стержни и пластинки. Стержнем называют элемент, у которого размеры поперечного сечения малы по сравнению с длиной. Пластинкой называют элемент, ограниченный двумя плоскостями, один размер (толщина) которого мал по сравнению с двумя другими. Оболочка – конструкция, ограниченная двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами. Другими словами, оболочка – это искривленная пластинка. 2. Под идеальным шарниром будем понимать узловое соединение стержней, в котором не возникает сил трения и усилия на стержни передаются строго через центр шарнира. 3. Расчетной схемой называют идеализированную, упрощенную схему действительного сооружения, но в которой отражаются его основные свойства. 4. Стержневым сооружением называется система соединенных между собой стержней, которая неподвижно прикреплена к земле и предназначена для восприятия заданной нагрузки.

Проекция силы на ось Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси: Тригонометрические формулы SIN 2 α + COS 2 α =1 tg α *ctg α =1, tg 2 α + 1=1/ COS 2 α ctg 2 α+1=1/ SIN 2 α Формулы сложения углов: COS(α-β)=COSα*COSβ + SINα* SINβ COS(α+β)=COSα*COSβ - SINα* SINβ SIN(α -β)= SINα* COSβ - COSα*SINβ SIN(α+β)= SINα* COSβ + COSα*SINβ Формулы сложения функций: SINα+SINβ=2* SIN *COS SINα-SINβ=2* SIN *COS COSα + COSβ= 2*COS * COSα + COSβ= - 2* SIN

Задача на равновесие тела под действием сходящихся сил № 2. 6 (2. 7), Мещерский И. В. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила Р=1000 Н. Определить реакции этих стержней на шарнирный болт С, если углы, составляемые стержнями со стеной, равны: α=30 и β=60 Ответ: 866 Н, - 500 Н А α β В С Р 2 метода решения задачи: 1. Геометрический, если общее число действующих на тело сил равно 3, с использованием силового треугольника. Силы задаются как векторы. 2. Аналитический, при любом числе приложенных сил, с использованием условий равновесия тела. Силы задаются проекциями на оси.

Задачи на сходящуюся систему сил на плоскости. Определение опорных реакций на основе теоремы о трех силах. 1. Демонстрация решения задач 2. 10(2. 11)v, 2. 26(2. 26)v 2. Самостоятельное решение задач: 2. 6(2. 7)v, 2. 7(2. 8), 2. 8(2. 9), 2. 9(2. 10)-, 2. 11(2. 12)-, 2. 15(2. 16)-, 2. 16(2. 17)-, 2. 20(2. 20)-, 2. 22(2. 22)-, 2. 33(2. 33) по Мещерскому И. В. «Задачи по теоретической механике» Решить и оформить 12 задач. Требования к оформлению решенных задач: 1. Формат А 4 2. Титульный лист 3. Сопровождающие рисунки и схемы выполнены четко, аккуратно (возможно, с помощью чертежных инструментов) 4. Указан метод решения 5. Расписан алгоритм решения 6. Решение выполнено по пунктам, с пояснениями

№ 2. 6 (2. 7) Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила Р=1000 Н. Определить реакции этих стержней на шарнирный болт С, если углы, составляемые стержнями со стеной, равны: α=30 и β=60 Ответ: 866 Н, - 500 Н № 2. 7 (2. 8) На рис. схематически изображены стержни, соединенные между собой, с потолком и стенами посредством шарниров. К шарнирным болтам B, F и K подвешены грузы Q=1000 Н. Определить усилия (S) в стержнях для случаев: a) α= β=45, б) α=30 β=60 , в) α=60 β=30 Ответ: а) S 1=S 2=707 Н, б) S 1=577 Н S 2= -1154 Н, в) S 1= -577 Н S 2=1154 Н Знак минус показывает, что стержень сжат D А А α 1 β α 1 В С Q α а 2 α 1 К E Р β 2 В β M Q 2 С F β Q б в N

№ 2. 8 (2. 9) № 2. 33 (2. 33) Уличный фонарь подвешен в точке В к середине троса АВС, прикрепленного концами к крюкам А и С, находящимся на одной горизонтали. Определить натяжения Т 1 и Т 2 в частях троса АВ и ВС, если вес фонаря равен 150 Н, длина всего троса АВС равна 20 м и отклонение точки его подвеса от горизонтали BD=0, 1 м. Весом троса пренебречь. Для рамы, изображенной на рисунке, определить опорные реакции RA и RD, возникающие при действии горизонтальной силы P, приложенной в точке B. Весом рамы пренебречь. Ответ: RA=P /2, RD=P/2 Ответ: Т 1=Т 2=7, 5 к. Н D C В Р С В А 2 а а A

2. 9 (2. 10) Уличный фонарь весом 300 Н подвешен к вертикальному столбу с помощью горизонтальной поперечины АС=1, 2 м и подкоса ВС=1, 5 м. Найти усилия S 1 и S 2 в стержнях АС и ВС, считая крепления в точках А, В, С шарнирными. Ответ: S 1=400 Н, S 2=-500 Н 2. 11 (2. 12) Мачтовый кран состоит из стрелы АВ, прикрепленный шарниром А к мачте, и цепи СВ. К концу В стрелы подвешен груз Р=2 к. Н; углы ВАС=15 , АСВ=135 . Определить натяжение Т цепи CB и усилие Q в стреле АВ. Ответ: Т=1, 04 к. Н, Q=2, 83 к. Н 2. 15. (2. 16) К веревке АВ, один конец которой закреплен в точке А, привязаны в точке В груз Р и веревка ВСD, перекинутая через блок; к концу её D привязана гиря Q веса 100 Н. Определить, пренебрегая трением на блоке, натяжение Т веревки АВ и величину груза Р, если в положении равновесия углы, образуемые веревками с вертикалью ВЕ, равны: =45 , =60 . Ответ: Т=122 Н, Р=137 Н B A C E C B A C P B P A Q D

2. 16 (2. 17) Груз Р=20 к. Н поднимается магазинным краном ВАС посредством цепи, перекинутой через блок А и через блок D, который укреплен на стене так, что угол САD=30 . Углы между стержнями крана: АВС=60 , АСВ=30 . Определить усилия Q 1 и Q 2 в стержнях АВ и АС. Ответ: Q 1=0, Q 2= -34, 6 к. Н 2. 20 (2. 20) Однородный шар веса 20 Н удерживается на гладкой наклонной плоскости тросом, который привязан к пружинным весам, укрепленным над плоскостью; показание пружинных весов 10 Н. Угол наклона плоскости к горизонту равен 30 . Определить угол , составляемый направлением троса с вертикалью, и давление Q шара на плоскость Весом пружинных весов пренебречь. Ответ: =60 , Q=17, 3 Н 2. 22 (2. 22) Однородный шар веса 10 Н удерживается в равновесии двумя тросами АВ и СD, расположенными в одной вертикальной плоскости и составляющими один с другим угол 150 . Трос АВ наклонен к горизонту под углом 45 Определить натяжение тросов. Ответ: ТВ=19, 3 Н, ТС=14, 1 Н В B А D 150 60 30 30 С A D P C 30 45

1. Сходящейся системой сил называется совокупность сил: А. Линии действия которых пересекаются в одной точке; B. Лежащих в одной плоскости; C. Произвольно расположенных в пространстве; D. Параллельных между собой. 3. Определить направление реакции шарнира А однородной балки АB весом P: 2. Теорему о трех непараллельных силах, действующих на тело и расположенных в одной плоскости, можно применить: A. В любом состоянии тела; B. Когда, тело находится во вращательном движении; C. Когда тело движется произвольно; D. Когда тело находится в равновесии. 4. Невесомый изогнутый стержень ABC закреплен шарниром A и опирается на гладкую поверхность в точке C. Определить направление реакции в точке A.

5. Укажите правильное направление реакций связей в точке A и тросе BD удерживающем балку весом P. А С Р О В 6. Укажите верное направление реакций опор: АВ – криволинейный брус. 7. Абсолютно гладкая поверхность АОВС, стержень АВ. Указать направление реакций NA, NB

Вопрос 7 а. Укажите реакцию связи неподвижного шарнира. Вопрос 9. Укажите направления реакций невесомых стержней 1, 2, 3. Вопрос 8. Укажите правильную схему с указанием направления реакций связи в опорах A и B.

Вопрос 10. Состояние твердого тела не изменится, если: • добавить пару сил; • добавить уравновешивающую силу; • одну из сил параллельно перенести в другую точку тела; • добавить уравновешенную систему сил; • добавить любую систему сил. Вопрос 11. Какое тело называется несвободным ? • A. Тело, которое может перемещаться по всем направлениям; • B. Тело, движение которого ограничено связью; • C. Тело, которое может двигаться по вертикали; • D. Тело, которое может двигаться по горизонтали; • E. Тело, которое может вращаться. Вопрос 12. Какое тело считается свободным? • A. Имеющее одну точку опоры; • B. Находящееся в равновесии; • C. На которое не наложены связи; • D. Если равнодействующая всех сил равна нулю.

Вопрос 13. Что называется связью? • A. Тело, которое не может перемещаться; • B. Тело, которое может свободно перемещаться ; • C. Тело, ограничивающее перемещение объекта; • D. Сила, действующая на объект, который может перемещаться; Вопрос 14. Как направлена реакция нити, шнура, троса: • A. Реакция образует произвольный угол с направлением связи; • B. Вдоль нити, шнура, троса от рассматриваемого тела; • C. Вдоль нити, шнура, троса к рассматриваемому телу; • D. Перпендикулярно нити, шнуру, тросу? • E. Под углом 45 o к нити, шнуру, тросу? Вопрос 15. Что называется реакцией связи? • A. Сила, с которой рассматриваемое тело действует на связь; • B. Тело, ограничивающее свободное движение другого тела; • C. Сила, с которой связь действует на тело; • D. Взаимодействие между телом и связью; • E. Любая неизвестная сила.

Вопрос 16. Укажите направление реакций связи, если связь - подвижный цилиндрический шарнир. 17. Какая сила является равнодействующей сил F 1 и F 2:

18. Чему равен модуль равнодействующей сил F 1 и F 2: 19. Укажите направления реакций связей невесомых стержней AB и BC?

20. Укажите схему с правильным изображением направления реакций связей гладкой опоры в точках A, B и C. 21. Укажите правильное направление реакций связей в опорах A, B и веревке CD.

22. Укажите правильно направление реакций связей в точке A и невесомых стержнях 1 и 2. 23. Укажите направление реакций связей в опорах А, В, С.

24. Укажите правильное направление реакций в жесткой заделке А. 25. Укажите направления реакций связи в опоре А и невесомом стержне ВС.