Тема 2 Применение закономерностей рассеяния непрерывных с

Тема № 2 Применение закономерностей рассеяния непрерывных с. в. Для исследования эксплуатационной надежности автотранспортных средств и других показателей их работы

• 2. 1 Случайные величины и возможности обработки экспериментальных данных • Опр. : Случайной величиной (С. В. ) называется величина, которая при реализации определенного комплекса условий может принимать то или иное значение какое именно не известно. • Опр. : Дискретные С. В. – это такие величины, которые могут принимать конечное или бесконечное счетное множество значений. (количество отказов за время обкатки автомобиля)

• Опр. : Непрерывные С. В. - это такие величины, которые могут принимать бесконечное, несчетное множество значений в заданных интервалах (время безотказной работы автомобилей или его агрегатов)

2. 2 Обработка С. В. , связанная с рассеянием изучаемого показателя на примере изучения долговечности автомобильных деталей

• Согласно стандартным рекомендациям наиболее обоснованным подходом при оценке долговечности деталей является, организация системных наблюдений за работой достаточно представительной группы автомобилей объемом более 50 единиц. • За начало испытаний принимается или момент их начальной эксплуатации или момент постановки на автомобиль новых деталей.

• Концом испытаний считается момент наступления отказов обследуемых элементов выборочной партии. Такие испытания называются полными и дают в результате наиболее точные оценки показателей надежности и долговечности.

• В результате полных испытаний обычно фиксируются отличающиеся друг от друга выборочные значения (обозн. Xiнепрерывная случайная величина). • В результате обработки находят основные характеристики: числовые характеристики случайной величины; закон распределения случайной величины; • При обработке в первую очередь производится оценка числовых характеристик случайной величины.

• Мода – значение случайной величины, которому соответствует наибольшая вероятность для дискретной случайной величины, или наибольшее значение плотности вероятности для непрерывной случайной величины. (Мо ) • Медиана – значение непрерывной случайной величины относительно которой равновероятно получить как большее так и меньшее значение. (Ме) • Математическое ожидание – это число, относительно которого при неограниченном увеличении числа опытов устойчиво стабилизируется среднее арифметическое значение.

• Размах – разность между max и min значениями ΔX=Xmax Xmin • Дисперсия – D(x), математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Статистическое значение дисперсии для экспериментальных данных

• Стандартное отклонение • Статистическое (выборочное) отклонение

• Коэффициент вариации • Коэффициент асимметрии – характеризует асимметрию кривой распределения

• Коэффициент эксцесса – является показателем островершинности кривой закона распределения

Графическая интерпритация случайной величины и построение гистограмм • Алгоритм построения гистограмм: 1. Определяем Xmax, Xmin мах и минимальное значения случайной величины; 2. Определяем размах ΔX; 3. Определяем количество интервалов, которое должно стремиться к числу к=1+3, 3 lg. N; 4. Определяем значение интервала:

5. Считаем количество наблюдений, находящихся в каждом из интервалов: 6. Вычисляется частота попадания наблюдений в каждый интервал: 7. Рассчитываем среднее значение

8. Находим дисперсию случайной величины: 9. Строим гистограмму по Гистограммы в 1 ом приближении позволяют получить представление о законе распределения случайной величины являющейся ее наиболее полной характеристикой.

Законы распределения случайной величины 1. Экспоненциальный где λ параметр распределения При оценке показателей надежности, коэффициент вариации для принятия этого закона 0, 8≤Vx≤ 1, 2

• Нормальный закон распределения Закон применяется при оценке показателей надежности, если 0, 1≤Vx≤ 0, 35, Аx→ 0, Er → 0

• Логарифмический закон распределения 0, 4 ≤ Vx ≤ 0, 8 ,

• Закон распределения Вейбула 0, 4 ≤ Vx ≤ 0, 8 где а – параметр масштаба; в – параметр формы

• Проверка соответствия закона распределения по империческим данным с помощью критерия Пирсена Имперические данные – это данные, основанные на результатах эксперимента. где теоретическая вероятность попадания с. в. в заданный интервал

Исследование изнашивания деталей и ресурса автомобилей Центральная предельная теорема теории вероятности A. M. Ляпунова Количественный износ деталей агрегатов, двигателей вызывает снижение мощностных и экономических показателей автомобиля, его производительности. На изнашивание деталей машин влияют: • неоднородность материала деталей и смазывающих масел, • изменение зазоров и нагрузок в сопряженных парах. Следовательно, при трении тел износ является функцией большого числа переменных факторов:

И=f(ρ; υ; μ; F; τ; S) где ρ – нагрузка (удельное давление); υ – скорость относительного движения поверхностей трения; μ – коэффициент трения; τ – продолжительность работы; F – площадь трущихся поверхностей; S – зазор в сопряжении деталей.

• Необходимо применить такие методы исследования, которые позволили бы изучить суммарное воздействие всех факторов (или существенных) на величину износа. • Теорема Ляпунва: Если действующие причины b 1, b 2, …bn взаимно независимы, число которых очень велико, а действие каждой из этих причин по сравнению с суммарным их действием мало, то функция суммы лишь незначительно может отличаться от нормального закона распределения.

• В аналитическом виде эта теорема может быть представлена: где Иn –суммарная величина износа; Случайная величина Иn подчиняется закону Гаусса, если ее рассматривать как сумму бесконечно большого числа независимых величин или мало зависимых друг от друга. Чем меньше факторов влияют на износ детали имеется недостаточная выборка, тем значительнее размеры деталей отклоняются от нормального закона распределения.

Размер детали зависит от воздействия различных факторов: • деформации детали; • жесткости крепления детали; • износа режущего инструмента; • неоднородности структуры материала и др. Следовательно, рассеивание размеров деталей является функцией независимых случайных величин:

Статистикo - микрометрический метод исследования изнашивания деталей машин • Изучение изнашивания деталей машин, работающих в реальных условиях эксплуатации проводится методом микрометража, то есть измерением размеров деталей. • Недостатком метода микрометража является неизбежная разборка и сборка машин до и после работы с целью измерения деталей. Процессы разборки и сборки машин в эксплуатации сложны и трудоемки, что позволяет проводить исследования на очень ограниченном количестве машин, при этом нарушаются взаимное расположение деталей и исходные условия эксплуатации.

• Статистико микрометрический метод исследования деталей предусматривает накопление опытных данных по новым деталям на заводе изготовителе, а по изношенным на ремонтном заводе или в мастерских. • Используя теорему A. M. Ляпунова, износ детали И рассчитывается по формуле:

• Скорость изнашивания детали определяется отношением величины износа И к пробегу L:

Виды износа и разрушения деталей • В вышедших из строя деталях машин наблюдается абразивный износ, усталостное разрушение поверхностного слоя, контактное схватывание, смятие и коррозия. • В числе дефектов встречаются трещины, скалывание и выкрашивание зубьев, поломка зубьев, скручивание шлицев и валов. • Абразивный износ в чистом виде составляет 40 % от остальных видов износа. Усталость металла описывается кривой усталости Велера. Предел прочности σ1 уступает место пределу выносливости σ при числе циклов колебания более N = 107. 1

• Расчет числа наблюдаемых объектов. Анализ рассеивания опытных данных Число наблюдаемых объектов исследования должно быть представительным, т. е. отражать максимально закономерности явления. Так, например, опыт работы автомобилей в эксплуатации должен отражать реальные процессы изнашивания деталей. • Из центральной теоремы A. M. Ляпунова следует, что вероятность Р события имеет надежность γ:

• где а математическое ожидание; γ- надёжность оценки (принимают γ=0, 95) • Смысл полученного соотношения: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал: покрывает неизвестный параметр а, с точностью • Точность оценки, определяемую этим способом, называют классической, при возрастании объема выборки точность оценки увеличивается.

• Надежность γ = 0, 95 указывает, что если произведено достаточно большое количество выборок, то 95 % из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен: лишь в 5 % случаев он может выйти за границы доверительного интервала. • Если требуется оценить математическое ожидание с заданной точностью Δ и надежностью γ, то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность находят по формуле:

Проверка гипотезы о законе распределения измеряемой величины объекта исследования распределения выполняется по критериям: • Критерий А. Н. Колмогорова. • Критерий X 2 Пирсона. • Критерий от Мизеса. Методика проверки гипотезы заключается в сопоставлении кривой наблюдаемого распределения с теоретической кривой.

Статистический метод исследования ресурса машин На общее техническое состояние автомобиля, а, следовательно, и на ресурс влияет ряд факторов: • периодичность ТО; • качество горюче смазочных материалов; • непостоянство механических свойств автомобиля; • состояние дорог; • климатические условия.

Исследование ресурса машин проводят по данным эксплуатации в автомобильных хозяйствах. Для выполнения исследования проводят следующие работы (3 этапа): • Выбор плана сбора данных эксплуатации; • Сбор необходимой информации; • Статистическая обработка информации.

• • План сбора данных эксплуатации предусматривает вид испытаний, согласно которому испытывают N объектов. Отказавшие во время испытаний объекты не восстанавливают и не заменяют, испытание прекращают, когда число отказавших объектов достигло N. Исходными данными для расчета объема информации служит: доверительная вероятность q = 0, 95; предельная относительная ошибка Е = 0, 05; коэффициент вариации V= 0, 20;

• Оценка параметров распределения пробега автомобиля выполняется по следующим формулам: среднее арифметическое значение : среднее квадратическое отклонение σ:

• коэффициент вариации V: • доверительный интервал:

• Проверка гипотезы о нормальном распределении выполняется по критерию Пирсона. • В качестве критерия проверки гипотезы принимают случайную величину χ2 ( «хи» в квадрате): • Область принятия гипотезы определяется неравенством:

Уровень значимости α в расчетах принимают α = 0, 05. Число степеней свободы k находят по равенству: k = s – l – r • Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить гипотезу о распределении совокупности по нормальному закону, следует вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия X 2. По таблице критических точек распределения X 2 по заданному уровню значимости α и по числу степеней свободы k= S – 3 найти критическую точку X 2 (α; k).

• Пример. Выполнить расчет ресурса автомобилей МАЗ-5549 при отправке в капитальный ремонт по данным эксплуатации. • План сбора данных эксплуатации предусматриваем по типу [NUN], согласно которому испытывают N объектов. Отказавшие во время испытания объекты не восстанавливают и не заменяют, испытания прекращают, когда число отказавших объектов достигло N. Устанавливаем исходные данные: • доверительная вероятность q = 0, 95; • предельная относительная ошибка Е = 0, 05; • коэффициент вариации V=0, 20.

• Рассчитаем необходимое число наблюдений по плану [ NUN ]. Для q = 0, 95; Е= 0, 05; V= 0, 20 находим N = 45. Принимаем N = 55 по данным АТП. По лицевым картам выписываем пробеги автомобилей до капитального ремонта (в тыс. км):

№ п/п 1 xi ni Д 1 n i Д 12 130 183 2 2 4 8 2 183 236 6 1 6 6 3 236 289 20 0 4 289 342 15 15 5 342 395 8 2 16 32 6 395 448 3 3 9 27 7 448 501 1 4 4 16 Σ ni. Д 1=34 Σ ni. Д 12=104 Σ ni=55

• Среднее арифметическое значение находим по формуле: Среднее значение интервала в нулевой строчке =262, 5, δ= 53

• Среднее квадратическое отклонение находим по формуле:

• Коэффициент вариации: • Строим гистограмму (вертикальная ось откладываем ni горизонтальная ось Xi ) определяем моду, куммуляту (вертикальная ось откладываем niнак горизонтальная ось Xi ) определяем медиану

№ гр Хi cр ni Xi ср φ(ui) 1 156. 5 2 138. 5 2. 13 0. 0413 1. 84~2 0 2 209. 5 6 85. 5 1. 32 0. 1669 7. 44~8 0. 17 3 262. 5 20 32. 5 0. 3521 15. 69~16 0. 8 4 315. 5 15 20. 5 0. 32 0. 379 16. 89~17 0. 27 5 368. 5 8 73. 5 1. 13 0. 2107 9. 39~9 0. 13 6 421. 5 3 126. 5 1. 95 0. 0596 2. 66~3 0 7 474. 5 1 176. 5 2. 76 0. 0086 0. 38~1 0

• Суммируем значение критерия «χ²» (последний столбец) по строкам и получаем наблюдаемую величину критерия χ²набл =3, 22 • Строим график распределения пробегов автомобилей по средним значениям интервалов групп: