Тема 2 определители Определитель матрицы Определители второго порядка

Тема 2. определители Определитель матрицы. Определители второго порядка Определители третьего порядка Разложение определителя Свойства определителей Обратная матрица 1

Определитель матрицы. Для каждой квадратной матрицы n - ного порядка существует определитель n - ного порядка, элементы которого равны соответствующим элементам матрицы. Определитель любой единичной матрицы равен единице. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной, в противном случае матрица невырожденная. 2

Определителем n – ого порядка называется число: 3

Определители 2 порядка Определители широко применяются во многих разделах высшей математики, в теоретической механике, физике и т. д. для сокращения записей и удобства вычислений. Определитель 2 - го порядка это число, записанное в виде: ai j Номер строки Элементы определителя, Индексы Номер столбца из произведения элементов главной диагонали вычитается Главная диагональ произведение элементов побочной диагонали. определителя Побочная диагональ определителя 4

Определитель третьего порядка 1 Метод треугольника + _ Метод треугольника применим только для определителей 3 порядка 5

2 Метод Саррюса Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии: Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс» . Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус: 6

Разложение определителя Минором Mij элемента определителя aij называется определитель, полученный после вычеркивания из исходного строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Алгебраическое дополнение Aij элемента – это минор этого элемента, взятый со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца, на которых находится элемент – четная, и со знаком (-), если эта сумма – нечетная. 7

Величина определителя равна сумме произведений элементов какой – либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения: Разложение определителя по элементам i – ой строки Разложение определителя по элементам j – ого столбца 8

Свойства определителей. Свойства определителя: Величина определителя равна нулю, если элементы какого - либо столбца или строки равны нулю: Величина определителя равна нулю, если соответствующие элементы двух строк (столбцов) равны 9

Определитель меняет знак, если поменять местами строки (столбцы): Определитель увеличивается в k раз, если элементы какого - либо столбца (строки) увеличить в k раз: Определитель не меняется при замене строк соответствующими столбцами: 10

Определитель не меняется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель Если определитель имеет так называемый треугольный вид, то он вычисляется как произведение чисел, стоящих на главной диагонали: 11

Пример вычисления определителя при помощи свойств Выберем 1 К элементам 2 Разложим столбец и К элементам 3 строки прибавим определитель по превратим второй строки прибавим элементы столбца элементам 11 строки, и третий элементы 1 строки умноженные на (-2) элементы в нули Также, используя свойства, можно привести определитель к треугольному виду и вычислить по последнему свойству. 12

Обратная матрица Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной квадратной матрице A n - ного порядка, называется матрица, которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную матрицу, дает единичную матрицу. Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким образом, согласно определению: АА-1=А-1 А=Е. Транспонированная матрица Присоединенная матрица получается из матрицы А Если определитель матрицы получается путем замены каждого путем замены строк т равен нулю, то обратная элемента матрицы А на его соответствующими матрица не существует алгебраическое дополнение столбцами 13

Пример вычисления обратной матрицы. Из второй -2 2 -1 Разложим определитель строки вычтем 2 -2 2 по элементам 3 столбца первую строку -4 6 -6 14