ТЕМА 2 Нечёткие множества 1 Введение 2 Способы

ТЕМА 2. Нечёткие множества 1. Введение 2. Способы задания. Понятие лингвистической переменной 3. Операции над нечёткими множествами 4. Параметры нечётких множеств 5. Методы дефаззификации нечётких множеств 6. Нечеткий логический вывод

1 Введение Теория нечётких множеств ведёт своё начало с 1965 года. Основоположником теории нечётких множеств «Fuzzy Sets» является американский учёный Лотфи Заде, который ввёл понятие о нечётких множествах, как обобщение обычных (чётких) множеств. Прилагательное «fuzzy» переводится на русский язык как нечёткий, размытый. Введение нечётких множеств – это попытка описать математически некоторую нечёткую информацию для создания математической модели. В нечётких множествах объекты, обладающие общим свойством, могут обладать им в различной степени.

2 Способы задания. Понятие лингвистической переменной Нечёткое или фази-множество (ФМ) характеризуется двумя показателями: - фактом принадлежности объектов к множеству; - степенью принадлежности объектов к данному множеству. Для представления элемента x нечёткого множества используется функция принадлежности , которая равна 1, если этот элемент принадлежит к множеству или равна 0, если элемент не принадлежит множеству. Значения функции принадлежности рациональными числами из интервала [0, 1]. являются

Конкретное значение функции принадлежности называется коэффициентом или степенью принадлежности. Эта степень может быть определена явным образом в виде функциональной зависимости, либо дискретно для конечной последовательности значений. Нечётким множеством называется совокупность пар ( ), где - степень принадлежности элемента к нечёткому множеству. Так, например, нечёткое множество целых чисел, определённое понятием «около 10» , можно задать следующим образом

Другой способ задания нечеткого множества – задание его с помощью функции принадлежности. Наибольшей популярностью пользуются функции принадлежности гауссовского типа, а также треугольной и трапецеидальной формы. Гауссовская функция принадлежности переменной x с центром в C и вариацией σ для множества , описывается формулой

Треугольная симметричная функция принадлежности описывается выражением

Обобщением треугольной функции принадлежности является трапецеидальная функция, которая описывается зависимостью

Применительно к техническим системам объектами нечётких множеств являются значения некоторых физических переменных, например, значения температуры, скорости перемещения, электрического напряжения, тока и т. д. Физическую переменную можно описать словесно (лингвистически), выделив некоторую качественную оценку в лингвистической форме. Так же как обычная переменная может принимать различные значения, лингвистическая переменная, например, « температура» , может принимать различные значения такие как: • отрицательная малая ОМ, • нулевая • положительная средняя PS, • положительная высокая PW и т. п. Лингвистические переменные называются термами.

Терм-множеством называется множество всех значений лингвистической переменной. Лингвистические переменные (термы) количественно оцениваются не числами, а числовыми множествами, перекрывающими друга. Для примера рассмотрим представление термами переменную «температура помещения» - положительная низкая PN для - положительная средняя PS для - положительная высокая PW для На участках перекрытия термов нарушается однозначность принадлежности значений переменной x только одному терму.

- наиболее комфортная для самочувствия человека принимается за среднюю.

3 Операции над нечёткими множествами Дополнением нечёткого множества заданного на X называется нечёткое множество с функцией принадлежности )

Пересечением нечётких множеств и , заданных на X, называется нечёткое множество с функцией принадлежности Объединение нечётких множеств и , заданных на X, называется нечёткое множество с функцией принадлежности

Приведём результат операций фаззи-множеств и

4 Параметры нечётких множеств Высотой нечёткого множества называется верхняя граница его функции принадлежности Нечёткое множество называется нормальным, если его высота равна единице, в противном случае множества называются субнормальными. Нормализация – преобразование нечёткого множества в нормальное субнормального

Ядром нечёткого множества называется чёткое подмножество универсального множества X, элементы которого имеют степени принадлежности, равные 1. α−сечением нечёткого множества, называется чёткое подмножество универсального множества X, элементы которого имеют степени принадлежности большие или равные α Носителем нечёткого множества, называется чёткое подмножество универсального множества X, элементы которого имеют ненулевые степени принадлежности. (англ: support – носитель).

Кардинальное число M (или мощность) нечёткого множества равно сумме степеней принадлежности всех элементов к этому множеству

5 Методы дефаззификации нечётких множеств Дефаззификация – процедура преобразования нечёткого множества в чёткое число. Простейший способ, пригодный только для одноэкстремальных функций принадлежности, заключается в выборе чёткого числа ξ, соответствующего максимуму функции принадлежности. Метод центра тяжести.

Пример: Провести дефаззификации нечёткого множества «мужчина среднего роста» , заданного следующим образом Результат дефаззификации имеет вид

Метод медианы. Метод центра максимумов. где G - множество всех элементов из интервала [a, b], имеющих максимальную степень принадлежности нечёткому множеству. Таким образом, находится среднее арифметическое значение элементов множества X , имеющих максимальные степени принадлежностей. Если множество X конечно, то формула приводится к виду

6 Нечеткий логический вывод Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме "Если-то" и функции принадлежности для соответствующих лингвистических термов. При этом должны соблюдаться следующие условия: • Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной. • Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила). • В противном случае имеет место неполная база нечетких правил.

Пусть в базе правил имеется m правил вида: R 1: ЕСЛИ x 1 это A 11 … И … xn это A 1 n, ТО y это B 1 … Ri: ЕСЛИ x 1 это Ai 1 … И … xn это Ain, ТО y это Bi … Rm: ЕСЛИ x 1 это Ai 1 … И … xn это Amn, ТО y это Bm, где xk , k=1. . n – входные переменные; y – выходная переменная; Aik – заданные нечеткие множества с функциями принадлежности. Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной y* на основе заданных четких значений xk , k=1. . n.

В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: - введение нечеткости (фазификация), - нечеткий вывод, - композиция - дефазификация

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.

Например, в случае управления мобильным роботом можно ввести две лингвистические переменные: - <дистанция> (расстояние до помехи), - <направление> (угол между продольной осью робота и направлением на помеху). Рассмотрим лингвистическую переменную <дистанция>. Значениями ее можно определить термы <далеко>, <средняя>, <близко> и <очень близко>.

Переменной <направление>, которая может принимать значения в диапазоне от 0 до 360 градусов, зададим термы <левое>, <прямо> и <правое>. Теперь необходимо задать выходные переменные. Достаточно одной, которая будет называться <рулевой угол>. Она может содержать термы: <резко влево>, <прямо>, <вправо>, <резко вправо>. Связь между входом и выходом запоминается в таблице нечетких правил. Каждая запись в данной таблице соответствует своему нечеткому правилу, например: Если <ДИСТАНЦИЯ БЛИЗКО> и <НАПРАВЛЕНИЕ ПРАВОЕ>, тогда <РУЛЕВОЙ УГОЛ РЕЗКО ВЛЕВО>.

Таким образом, мобильный робот с нечеткой логикой будет работать по следующему принципу: Данные с сенсоров о расстоянии до помехи и направлении на нее будут фаззифицированы, обработаны согласно табличным правилам, дефаззифицированые и полученные данные в виде управляющих сигналов поступят на привода робота.

Преимущества нечетких систем Ø Возможность оперировать нечеткими входными данными: например, непрерывно изменяющиеся во времени значения (динамические задачи), значения, которые невозможно задать однозначно (результаты статистических опросов, рекламные компании и т. д. ); Ø Возможность нечеткой формализации критериев оценки и сравнения: оперирование критериями "большинство", "возможно", преимущественно" и т. д. ; Ø возможность проведения качественных оценок как входных данных, так и выходных результатов: вы оперируете не только значениями данных, но и их степенью достоверности (не путать с вероятностью!) и ее распределением;

Ø Возможность проведения быстрого моделирования сложных динамических систем и их сравнительный анализ с заданной степенью точности: оперируя принципами поведения системы, описанными fuzzy-методами, вы во-первых, не тратите много времени на выяснение точных значений переменных и составление описывающих уравнений, во-вторых, можете оценить разные варианты выходных значений.

Применение нечетких систем Популярными являются следующие пакеты: v Cubi. Calc 2. 0 RTC - одна из мощных коммерческих экспертных систем на основе нечеткой логики, позволяющая создавать собственные прикладные экспертные системы ; v Cubi. Quick - дешевая "университетская" версия пакета Cubi. Calc ; v Rule. Maker - программа автоматического извлечения нечетких правил из входных данных ; v Fuzi. Calc - электронная таблица с нечеткими полями, позволяющая делать быстрые оценки при неточных данных без накопления погрешности; v OWL - пакет, содержащий исходные тексты всех известных видов нейронных сетей, нечеткой ассоциативной памяти и т. д.

Основными потребителями нечеткой логики на рынке СНГ являются банкиры и финансисты, а также специалисты в области политического и экономического анализа. Они используют Cubi. Calc для создания моделей разных экономических, политических, биржевых ситуаций. Элементы нечеткой логики можно найти в десятках промышленных изделий - от систем управления электропоездами и боевыми вертолетами до пылесосов и стиральных машин. На принципах нечеткой логики создан и один из российских программных продуктов - известный пакет "Бизнес -прогноз". Назначение этого пакета - оценка рисков и потенциальной прибыльности разных бизнес-планов, инвестиционных проектов и просто идей относительно развития бизнеса.