Лекция2(Нечеткая логика).ppt
- Количество слайдов: 31
ТЕМА 2. Нечёткие множества 1. Введение 2. Способы задания. Понятие лингвистической переменной 3. Операции над нечёткими множествами 4. Параметры нечётких множеств 5. Методы дефаззификации нечётких множеств 6. Нечеткий логический вывод
1 Введение Теория нечётких множеств ведёт своё начало с 1965 года. Основоположником теории нечётких множеств «Fuzzy Sets» является американский учёный Лотфи Заде, который ввёл понятие о нечётких множествах, как обобщение обычных (чётких) множеств. Прилагательное «fuzzy» переводится на русский язык как нечёткий, размытый. Введение нечётких множеств – это попытка описать математически некоторую нечёткую информацию для создания математической модели. В нечётких множествах объекты, обладающие общим свойством, могут обладать им в различной степени.
2 Способы задания. Понятие лингвистической переменной Нечёткое или фази-множество (ФМ) характеризуется двумя показателями: - фактом принадлежности объектов к множеству; - степенью принадлежности объектов к данному множеству. Для представления элемента x нечёткого множества используется функция принадлежности , которая равна 1, если этот элемент принадлежит к множеству или равна 0, если элемент не принадлежит множеству. Значения функции принадлежности рациональными числами из интервала [0, 1]. являются
Конкретное значение функции принадлежности называется коэффициентом или степенью принадлежности. Эта степень может быть определена явным образом в виде функциональной зависимости, либо дискретно для конечной последовательности значений. Нечётким множеством называется совокупность пар ( ), где - степень принадлежности элемента к нечёткому множеству. Так, например, нечёткое множество целых чисел, определённое понятием «около 10» , можно задать следующим образом
Другой способ задания нечеткого множества – задание его с помощью функции принадлежности. Наибольшей популярностью пользуются функции принадлежности гауссовского типа, а также треугольной и трапецеидальной формы. Гауссовская функция принадлежности переменной x с центром в C и вариацией σ для множества , описывается формулой
Треугольная симметричная функция принадлежности описывается выражением
Обобщением треугольной функции принадлежности является трапецеидальная функция, которая описывается зависимостью
Применительно к техническим системам объектами нечётких множеств являются значения некоторых физических переменных, например, значения температуры, скорости перемещения, электрического напряжения, тока и т. д. Физическую переменную можно описать словесно (лингвистически), выделив некоторую качественную оценку в лингвистической форме. Так же как обычная переменная может принимать различные значения, лингвистическая переменная, например, « температура» , может принимать различные значения такие как: • отрицательная малая ОМ, • нулевая • положительная средняя PS, • положительная высокая PW и т. п. Лингвистические переменные называются термами.
Терм-множеством называется множество всех значений лингвистической переменной. Лингвистические переменные (термы) количественно оцениваются не числами, а числовыми множествами, перекрывающими друга. Для примера рассмотрим представление термами переменную «температура помещения» - положительная низкая PN для - положительная средняя PS для - положительная высокая PW для На участках перекрытия термов нарушается однозначность принадлежности значений переменной x только одному терму.
- наиболее комфортная для самочувствия человека принимается за среднюю.
3 Операции над нечёткими множествами Дополнением нечёткого множества заданного на X называется нечёткое множество с функцией принадлежности )
Пересечением нечётких множеств и , заданных на X, называется нечёткое множество с функцией принадлежности Объединение нечётких множеств и , заданных на X, называется нечёткое множество с функцией принадлежности
Приведём результат операций фаззи-множеств и
4 Параметры нечётких множеств Высотой нечёткого множества называется верхняя граница его функции принадлежности Нечёткое множество называется нормальным, если его высота равна единице, в противном случае множества называются субнормальными. Нормализация – преобразование нечёткого множества в нормальное субнормального
Ядром нечёткого множества называется чёткое подмножество универсального множества X, элементы которого имеют степени принадлежности, равные 1. α−сечением нечёткого множества, называется чёткое подмножество универсального множества X, элементы которого имеют степени принадлежности большие или равные α Носителем нечёткого множества, называется чёткое подмножество универсального множества X, элементы которого имеют ненулевые степени принадлежности. (англ: support – носитель).
Кардинальное число M (или мощность) нечёткого множества равно сумме степеней принадлежности всех элементов к этому множеству
5 Методы дефаззификации нечётких множеств Дефаззификация – процедура преобразования нечёткого множества в чёткое число. Простейший способ, пригодный только для одноэкстремальных функций принадлежности, заключается в выборе чёткого числа ξ, соответствующего максимуму функции принадлежности. Метод центра тяжести.
Пример: Провести дефаззификации нечёткого множества «мужчина среднего роста» , заданного следующим образом Результат дефаззификации имеет вид
Метод медианы. Метод центра максимумов. где G - множество всех элементов из интервала [a, b], имеющих максимальную степень принадлежности нечёткому множеству. Таким образом, находится среднее арифметическое значение элементов множества X , имеющих максимальные степени принадлежностей. Если множество X конечно, то формула приводится к виду
6 Нечеткий логический вывод Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме "Если-то" и функции принадлежности для соответствующих лингвистических термов. При этом должны соблюдаться следующие условия: • Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной. • Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила). • В противном случае имеет место неполная база нечетких правил.
Пусть в базе правил имеется m правил вида: R 1: ЕСЛИ x 1 это A 11 … И … xn это A 1 n, ТО y это B 1 … Ri: ЕСЛИ x 1 это Ai 1 … И … xn это Ain, ТО y это Bi … Rm: ЕСЛИ x 1 это Ai 1 … И … xn это Amn, ТО y это Bm, где xk , k=1. . n – входные переменные; y – выходная переменная; Aik – заданные нечеткие множества с функциями принадлежности. Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной y* на основе заданных четких значений xk , k=1. . n.
В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: - введение нечеткости (фазификация), - нечеткий вывод, - композиция - дефазификация
Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.
Например, в случае управления мобильным роботом можно ввести две лингвистические переменные: - <дистанция> (расстояние до помехи), - <направление> (угол между продольной осью робота и направлением на помеху). Рассмотрим лингвистическую переменную <дистанция>. Значениями ее можно определить термы <далеко>, <средняя>, <близко> и <очень близко>.
Переменной <направление>, которая может принимать значения в диапазоне от 0 до 360 градусов, зададим термы <левое>, <прямо> и <правое>. Теперь необходимо задать выходные переменные. Достаточно одной, которая будет называться <рулевой угол>. Она может содержать термы: <резко влево>, <прямо>, <вправо>, <резко вправо>. Связь между входом и выходом запоминается в таблице нечетких правил. Каждая запись в данной таблице соответствует своему нечеткому правилу, например: Если <ДИСТАНЦИЯ БЛИЗКО> и <НАПРАВЛЕНИЕ ПРАВОЕ>, тогда <РУЛЕВОЙ УГОЛ РЕЗКО ВЛЕВО>.
Таким образом, мобильный робот с нечеткой логикой будет работать по следующему принципу: Данные с сенсоров о расстоянии до помехи и направлении на нее будут фаззифицированы, обработаны согласно табличным правилам, дефаззифицированые и полученные данные в виде управляющих сигналов поступят на привода робота.
Преимущества нечетких систем Ø Возможность оперировать нечеткими входными данными: например, непрерывно изменяющиеся во времени значения (динамические задачи), значения, которые невозможно задать однозначно (результаты статистических опросов, рекламные компании и т. д. ); Ø Возможность нечеткой формализации критериев оценки и сравнения: оперирование критериями "большинство", "возможно", преимущественно" и т. д. ; Ø возможность проведения качественных оценок как входных данных, так и выходных результатов: вы оперируете не только значениями данных, но и их степенью достоверности (не путать с вероятностью!) и ее распределением;
Ø Возможность проведения быстрого моделирования сложных динамических систем и их сравнительный анализ с заданной степенью точности: оперируя принципами поведения системы, описанными fuzzy-методами, вы во-первых, не тратите много времени на выяснение точных значений переменных и составление описывающих уравнений, во-вторых, можете оценить разные варианты выходных значений.
Применение нечетких систем Популярными являются следующие пакеты: v Cubi. Calc 2. 0 RTC - одна из мощных коммерческих экспертных систем на основе нечеткой логики, позволяющая создавать собственные прикладные экспертные системы ; v Cubi. Quick - дешевая "университетская" версия пакета Cubi. Calc ; v Rule. Maker - программа автоматического извлечения нечетких правил из входных данных ; v Fuzi. Calc - электронная таблица с нечеткими полями, позволяющая делать быстрые оценки при неточных данных без накопления погрешности; v OWL - пакет, содержащий исходные тексты всех известных видов нейронных сетей, нечеткой ассоциативной памяти и т. д.
Основными потребителями нечеткой логики на рынке СНГ являются банкиры и финансисты, а также специалисты в области политического и экономического анализа. Они используют Cubi. Calc для создания моделей разных экономических, политических, биржевых ситуаций. Элементы нечеткой логики можно найти в десятках промышленных изделий - от систем управления электропоездами и боевыми вертолетами до пылесосов и стиральных машин. На принципах нечеткой логики создан и один из российских программных продуктов - известный пакет "Бизнес -прогноз". Назначение этого пакета - оценка рисков и потенциальной прибыльности разных бизнес-планов, инвестиционных проектов и просто идей относительно развития бизнеса.
Лекция2(Нечеткая логика).ppt