ТЕМА 2 • Математическое описание объектов (линейные, нелинейные). • Объекты и их характеристики (статические и динамические, определение и вид)) • Определение вида собственных движений объекта по корням характеристического уравнения. 1
ОБЪЕКТЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТЫ Линейные нелинейные Поведение линейных объектов описывается линейными дифференциальными уравнениями (реакция на воздействие предсказуемая), нелинейных - нелинейными (реакция непредсказуемая, если не все координаты Y, d. Y/dt, …известны). aod 2 y/dt 2 + a 1 dy/dt + y = k 1 x + k 2 dx/dt - уравнение динамики линейного объекта y = k 1 x - уравнение статики (нет изменения координат во времени, d…/dt = 0) aod 2 y/dt 2 + a 1 dy/dt + y 2 = k 1 x уравнение элемента с нелинейной статикой y 2 = k 1 x (? ) aod 2 y/dt 2 + a 1(dy/dt)2 + y = k 1 уравнение элемента с нелинейной динамикой. y = k 1 Поведение линейных объектов (динамика) – определяется только собственными параметрами а 0, а 1, … к 1, к 2. и величиной и формой воздействия. На реакцию нелинейного элемента (на изменение входного сигнала) кроме указанных факторов влияют начальные условия y(0), dy(0)/dt, …. 2 Лекция 2
ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТОВ (или элементов системы) Статические (стационарное состояние) динамические Статическая характеристика показывает зависимость выходной координаты от входной, в установившемся режиме ( y=f(x) при t → ∞) y = k x y 2 = k 1 x k =∆y / ∆x – коэффициент передачи y y y = k 2 x y = k 1 x ∆y ∆x идеальная x x y/y/=kx y y х Х критич х 3 Лекция 2 Реальная – люфт, насыщение Три возможных состояния при х<хкритич.
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ – изменение выходной координаты с течением времени (переходный процесс и частотные характеристики ) Переходный процесс – реакция элемента (системы) на ступенчатое изменение входного сигнала. y(t) 3 Разные элементы 1 x(t), y(t) Один и тот же элемент X 2 4 t пп ∆y ∆x t t t nn - длительность переходного процесса (инерция элемента ), соотношение между ∆y и ∆x определяется коэффициентом усиления k Стацион. сост. - постоянство чего-либо, напр. , расстояния или скорости 4
ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА характеризует изменение амплитуды (R) и искажение фазы (∆φ) на выходе элемента (или системы) при передаче гармонического сигнала, частотой ω. R = f (ω) , ∆φ = f (ω ) X = sin ωt x, y y Aх Ay t ∆φ t t ω = 0 ω = ω1 → R 1, ∆φ1, R 1 = Ay/Ax X = sin ωt y Aх ∆φ1 Ay t t R 1 ∆φ ω = ω2 → R 2, ∆φ2, R 2 = Ay/Ax Лекция 2 Какой переходный процесс можно ожидать у элемента ? 5
АЧХ И ФЧХ В ЛОГАРИФМИЧЕСКОМ МАСШТАБЕ (амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики) n (20· Lg 10 R), децибел 20*2 = 40 R = 100 ξ = 0. 5 R>1 - усиление, R<1 – ослабление 20*1 = 20 R=10 ξ=1 n = (20· Lg 10 R), n > 0 - усиление, n<0 - затухание 20*0 = 0 R = 1 ω 0. 1 10 100 0 20*(-1) = -20 R=0, 1 -1 1 2 ω среза Lg 10 ω ω резонанс φ - Lg 10 ω 450 - 900 ξ =1 ξ =0. 5 Лекция 2 ( размерность децибел – безразмерная величина) R=1 Lg = 0 n = 0 дб (нет затухания при передаче гармонического воздействия R = 100 Lg = 2 n = 40 дб при подаче на вход сигнала частоты ω резонанс коэффициент передачи возрастает c 10 до 100 (при К = 10, К = R(0)) Какой тип переходного процесса у элемента с ξ = 0, 5 и ξ = 1 6
Децибе л — логарифмическая единица уровней, затуханий и усилений. Величина, выраженная в децибелах, численно равна десятичному логарифму безразмерного отношения физической величины к одноимённой физической величине, принимаемой за исходную, умноженному на десять: где Ad. B — величина в децибелах, A — измеренная физическая величина, A 0 — величина, принятая за базис. В автоматике n=20 lg. R R=Ay/Ax 7
ω = 2 π f - круговая частота, f = 1/T , f - линейная, Т – период колебаний, ( совпадает с обозначением постоянной времени элемента - Т) T 12 d 2 y/dt 2 +T 2 dy/dt + y =kx T 12 p 2 + 2 · ξ · T 1 p + 1 =0 T 2 = 2 · ξ · T 1 D= (T 22 – 4 T 12) D>0 D<0 D= (4 T 12 ξ 2 – 4 T 12) D = ( ξ 2 – 1) T 2 > 2 T 1 - нет колебаний, T 2 < 2 T 1 - есть колебания, (минус перед слагаемым dy/dt - колебания расходятся). ξ – коэффициент затухания Существуют ситуации : ξ >1 нет колебаний в переходном процессе (затухание большое), 0 < ξ <1 колебания есть и затухают, ξ<0 колебания есть и расходятся. Лекция 2 8
СОБСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ (ЭЛЕМЕНТА) T 12 d 2 y/dt 2 +T 2 dy/dt + y = kx – УРАВНЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ │ y(t), dy/dt любые значения при t=0 T 12 d 2 y/dt 2 +T 2 dy/dt +1 y = 0 – УРАВНЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ │ y(t), dy/dt ≠ 0 при t=0 характеристическое уравнение собственных T 12 λ 2 +T 2 λ + 1 = 0 движений (а 0 λ 2 + а 1 λ + 1 = 0) λ 1, 2 = (- Т 2 ± D) / 2 Т 12 λ = Re + j Im (либо λ = Re 1, Re 2) Y (t) = c 1 e. Re 1* t + c 2 e. Re 2* t , если корни характеристического уравнения – действительные числа Y (t) = c 1 e. Re*t sin(Im*t + C 2) , если корни – мнимые числа ( дискриминант D < 0 , D – частота собственных колебаний) 9
ПРИМЕР a 0 d 3 y/dt 3 + a 1 d 2 y/dt 2 + a 2 dy/dt + y =0 λ 1 = - 1 λ 2, 3 = - 1. 5 ± 6 j ωсобств= 6 → f = ω/2π → T = 2π/ω ≈ 1 (период собственных колебаний) Y(t) = c 1 e-1 t + c 2 e-1. 5 t sin 6 t Y(t) y 1 y 2 t t λ 1 = +1 λ 2, 3 = - 1. 5 ± 6 j ωсобств =6 рад/сек Y(t) = c 1 e+1 t + c 2 e-1. 5 t sin 6 t Y(t) t t 10
Скачать презентацию ТЕМА 2 Математическое описание объектов линейные нелинейные
ТАУ_лекции2_12-13.ppt