Тема 2. Математические основы информатики Системы счисления

Тема 2. Математические основы информатики

Системы счисления

Позиционная система счисления способ записи чисел цифровыми знаками, где значение каждой входящей в число цифры зависит от ее положения (позиции=разряда). Позиционная Непозиционная 005 = 5*1 (пять) IX = 10 -1 = 9 050 = 5*10 (пятьдесят) XI = 10+1 = 11 500 = 5*100 (пятьсот) XX = 10+10 = 20

Для позиционной системы счисления справедливо следующее выражение: …a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 = … + a 4*x 4 + a 3*x 3 + a 2*x 2 + a 1*x 1 + a 0*x 0 где x – основание системы счисления ai – цифры числа i – номер позиции (разряда), начиная с 0

Десятичная система счисления например, 1062 – число в десятичной системе счисления a 3 a 2 a 1 a 0 = a 3*x 3 + a 2*x 2 + a 1*x 1 + a 0*x 0 i 3 2 1 0 ai 1 0 6 2 имя тысячи сотни десятки единицы x=10 103 102 101 100 xi 1000 10 1 1062 = 1*1000 + 0*100 + 6*10 + 2*1 1062 = 1000 + 0 + 60 + 2

Двоичная система счисления например, &1010 – число в двоичной системе счисления a 3 a 2 a 1 a 0 = a 3*x 3 + a 2*x 2 + a 1*x 1 + a 0*x 0 i 3 2 1 0 ai 1 0 x=2 23 22 21 20 xi 8 4 2 1 &1010 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 &1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10

Перевод 2 10 3 2 1 0 & 1 1 0 1 =13 x 2+ x 2 x + 2 x 8 + 4+ 1

Двоичная система счисления способ записи чисел с помощью цифр 1 и 0, которые являются коэффициентами при степени числа 2. Например, &101. & - амперсант указывает на то, что число записано в двоичной системе.

• «Вычисление с помощью двоек…, сведение чисел к простейшим началам (0 и 1)» было предложено еще в XVII веке знаменитым немецким ученым Г. В. Лейбницем.

Двоичная система счисления &101 = 5 “Круглые” числа &110 = 6 &1 = 1 &111 = 7 &10 = 2 &1000 = 8 &100 = 4 &1001 = 9 &1000 = 8 &10000 = 16 &100000 = 32

Перевод 10 2 25 2 25 = &11001 24 12 2 Проверка 1* 24 + 1*23+ 0*22 + 0*21 + 1 12 6 2 1*20 = 0 6 3 2 1*16 + 1*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1 = 0 2 1 16 + 8 + 0 + 1 = 25

Перевод 10 2 18 2 18 = &10010 18 9 2 Проверка 1* 24 + 0*23+ 0*22 + 1*21 + 0 8 4 2 0*20 = 1 4 2 2 1*16 + 0*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 = 0 2 1 16 + 0 + 2 + 0 = 18

Перевод 10 2 Для перевода дробной части (или числа, у которого « 0» целых) надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т. д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной {периодической) двоичной. Например: 0, 73 • 2 = 1, 46 (целая часть 1), 0, 46 • 2 = 0, 92 (целая часть 0 ), 0, 92 • 2 = 1, 84 (целая часть 1), 0, 84 • 2 = 1, 68 (целая часть 1) и т. д. В итоге 0, 73 (10) =0, 1011. . . (2)

Таблицы сложения и умножения в двоичной системе + 0 1 0 0 1 1 1 10 × 0 1 0 0 0 1 0 1

Сравнительная таблица Основание Цифры системы Пример записи системы 2 0 1 &101011111 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 351 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f #15 f 10 11 12 13 14 15 255 = &1111 = #ff

Перевод 16 10 1 0 # 4 b =75 16 + x 16 x x 16 + 11 x 1 4

Перевод 10 16 180 16 180 = #b 4 176 11 = b Проверка 4 11* 161 + 4*160 = 11*16 + 4*1 = 176 + 4 = 180

Запись чисел в различных системах счисления 10 -я 2 -я 8 -я 16 -я 0 0 10 1010 12 A 1 1 11 1011 13 B 2 10 2 2 12 1100 14 C 3 11 3 3 13 1101 15 D 4 100 4 4 14 1110 16 E 5 101 5 5 15 1111 17 F 6 110 6 6 16 10000 20 10 7 111 7 7 17 10001 21 11 8 1000 10 8 18 10010 22 12 9 1001 11 9 19 10011 23 13

Вавилонская система счисления Вавилонская система (шестидесятеричная) одна из первых известных систем счисления мира, основанная на позиционном принципе появилась в Древнем Вавилоне за 2000 лет до н. э. Мы делим один час на 60 минут, а минуту делим на 60 секунд. Также окружность мы делим на 360 частей. Оказывается мы следуем примеру Вавилона!

Кодирование информации Информация может накапливаться и передаваться физическими средствами лишь с помощью кода

Примеры систем кодирования ? !, ; “”…() — • — — — • ♪♫♮♯ ﺷﺼﻀﺰﺜﺞ А Б В Г Д Е… +7(3912)44 -92 -18 Yes Да Ja 5 -3531/1 -1

Любой способ кодирования характеризуется наличием основы (алфавит, спектр цветности, система координат, основание системы счисления…) и правил конструирования информационных образов на этой основе.

Кодирование текстовой информации Компьютер - всего лишь синтаксическое приспособление, не различающее семантических категорий

Для кодирования текстовой информации используется таблица символов ASCII (American Standard Code of Information Interchange). код символ код символ 32 Пробел 48 . 64 @ 80 P 96 ' 112 p 33 ! 49 0 65 A 81 Q 97 a 113 q 34 " 50 1 66 B 82 R 98 b 114 r 35 # 51 2 67 C 83 S 99 c 115 s 36 $ 52 3 68 D 84 T 100 d 116 t 37 % 53 4 69 E 85 U 101 e 117 u 38 & 54 5 70 F 86 V 102 f 118 v 39 ' 55 6 71 G 87 W 103 g 119 w 40 ( 56 7 72 H 88 X 104 h 120 x 41 ) 57 8 73 I 89 Y 105 i 121 y 42 * 58 9 74 J 90 Z 106 j 122 z 43 + 59 : 75 K 91 [ 107 k 123 { 44 , 60 ; 76 L 92 108 l 124 | 45 - 61 < 77 M 93 ] 109 m 125 } 46 . 62 > 78 N 94 ^ 110 n 126 ~ 47 / 63 ? 79 O 95 _ 111 o 127 DEL

Национальные кодировки Под национальные кодировки отданы коды с 128 -го по 255 -й. код Windows-1251 КОИ-8 ISO … 192 А ю Р 193 Б а С 194 В б Т … Windows-1251 Компьютерные вирусы КОИ-8 л. ПНРШАФЕТОШЕ ЧЙТХУЩ

КОИ-8 Win-1251

UNICODE – универсальная система кодирования. Для кодирования каждого символа используется 2 байта, т. е. 16 бит. А – 1040 я – 1103

Представление чисел в памяти ЭВМ

Все числовые данные хранятся в памяти компьютера в двоичном виде, т. е. в виде последовательностей нулей и единиц, однако формы хранения целых и вещественных чисел различны. Необходимость различного представления целых и вещественных чисел вызвана тем, что скорость выполнения операций над целыми числами существенно выше, чем над вещественными числами. Текстовая, графическая, звуковая информация, количество деталей, акций, сотрудников – эти и многие другие данные выражаются целыми числами. Для решения математических и физических задач, в которых невозможно обойтись только целыми числами, используются вещественные числа.

Границы представления целых чисел Целые числа могут быть представлены как беззнаковые - только неотрицательные, и как знаковые – положительные и отрицательные. В зависимости от количества разрядов ячейки памяти границы представления целых чисел будут различными. Разрядность 8 16 32 Минимум (без знака) 0 0 Максимум (без знака) 255 65 535 4 294 967 295 Минимум (со знаком) - 128 - 32 768 - 2 147 483 648 Максимум (со знаком) 127 32 767 2 147 483 647

Представление целых чисел Целые числа, как знаковые, так и беззнаковые, хранятся в формате с фиксированной точкой. При таком представлении чисел все разряды ячейки, кроме знакового, если он есть, служат для изображения разрядов числа. Причем каждому разряду ячейки соответствует один и тот же разряд числа. Именно поэтому такое представление называется с фиксированной точкой, так как фиксируется место десятичной точки перед определенным разрядом. Для целых чисел десятичная точка находится после младшего разряда, то есть вне разрядной сетки.

Форматы представления целых чисел При представлении беззнаковых чисел все разряды ячейки отводятся под представление разрядов самого числа. Минимальное 0 0 0 0 Максимальное 255 1 1 В случае представления знаковых целых чисел старший (левый) разряд ячейки отводится под хранение знака числа. В этот разряд заносится 0, если число положительное и 1 – если число отрицательное. Поскольку для хранения разрядов самого числа количество разрядов ячейки уменьшается на единицу, границы представления уменьшаются в два раза.

Прямой код числа Представление в форме «знак» - «величина» , когда старший разряд ячейки отводится под знак, называется прямым кодом двоичного числа. Число 10012 0 0 1 Число -10012 1 0 0 0 1 Положительные числа в ЭВМ всегда представляются с помощью прямого кода. Прямой код числа полностью совпадает с записью самого числа в ячейке памяти машины. Прямые коды соответствующих положительных и отрицательных чисел отличаются только значением старшего разряда ячейки. Но отрицательные целые числа представляются в ЭВМ с помощью совсем другого кода, который называется дополнительным кодом.

Почему используется дополнительный код числа? Например, запись числа 243 в одном байте будет выглядеть так: Число 243 1 1 0 0 1 1 Но если эту запись рассматривать как запись числа со знаком, значением записи будет число - 115 Число -115 1 1 0 0 1 1 Подобное обстоятельство в значительной мере осложняет алгоритмы действий с целыми числами, имеющими разные знаки.

Дополнительный код числа Дополнительный код положительного числа равен прямому коду этого числа. Например, прямой и дополнительный коды двоичного числа 10012 для 8 - разрядной ячейки равны 00001001. Дополнительный код отрицательного числа m равен 2 k-|m|, где k – количество разрядов в ячейке, а |m|< 2 k. Другими словами, дополнительный код отрицательного числа – это дополнение |m| до 2 k. Если k=8, |m|=011001012, то дополнительный код можно получить как разность 100002 – 011001012 = 000110112. Или 011001012 + 000110112 = 100002 (155+101=256)

Алгоритм получения дополнительного кода отрицательного числа Для получения дополнительного k-разрядного кода отрицательного числа необходимо: 1) модуль числа представить прямым кодом в k двоичных разрядах; 2) значения всех битов инвертировать: все нули заменить на единицы, а единицы – на нули (таким образом получается k-разрядный обратный код исходного числа); 3) к полученному обратному коду, трактуемому как k- разрядное неотрицательное двоичное число, прибавить единицу. Пример. Получение восьмиразрядного дополнительного кода числа – 52: 00110100 – число |-52|=52 в прямом коде; 11001011 – число – 52 в обратном коде; 1100 – число – 52 в дополнительном коде.

Нормализованная запись чисел Для представления вещественных чисел принят способ представления с плавающей точкой. Этот способ опирается на нормализованную запись действительного числа. Определение. Нормализованной называется запись отличного от нуля действительного числа в виде m • Pq, где q – целое число (положительное, отрицательное или ноль), а m – правильная P-ричная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю, т. е. 1/P m<1. При этом m называется мантиссой числа, q – порядком числа. Примеры нормализации чисел. 1) 3. 1415926=0. 31415926 • 101 2) 1000=0. 1 • 104 3) – 0. 123456789= – 0. 123456789 • 100 4) 0. 00001078=0. 1078 • 8 -4 5) 1000. 00012=0. 100000012 • 24 6) – 0. 00011012= – 0. 11012 • 2 -3 Запись нуля считается нормализованной, если и мантисса, и порядок равны нулю, т. е. 0 = 0. 0 • 100

Компьютерное представление вещественных чисел Как и для целых чисел, при представлении вещественных чисел используется двоичная система счисления, поэтому предварительно число должно быть переведено в двоичную систему. При представлении чисел с плавающей точкой в разрядах ячейки отводится место для знака числа, знака порядка, абсолютной величины мантиссы. знак числа (-) абсолютная величина порядка (13) 1 0 00001101 1011011000010111100110 знак порядка абсолютная величина мантиссы (+) (5826486) В ячейке записано отрицательное двоичное число – 1011011000010. 111100110 В десятичном представлении это будет число – 5826. 486

Особенности арифметических операций над числами с плавающей точкой Предположим для простоты, что в ячейке памяти один десятичный разряд порядка и пять десятичных разрядов мантиссы. Сложение. Пусть необходимо найти сумму 102 • 0. 23619 + 10 -2 • 0. 71824 Перед сложением (и вычитанием) производится выравнивание порядков. При этом число с меньшим порядком преобразуется. 102 • 0. 23619 + 102 • 0. 0071824 = 102 • 0. 23690824 Но для записи мантиссы имеются только пять ячеек, поэтому полученная восьмиразрядная сумма округляется до пяти разрядов - 102 • 0. 23691, при этом точность результата теряется. Вычитание производится аналогично.

Особенности арифметических операций над числами с плавающей точкой Умножение. При умножении двух чисел с плавающей точкой их порядки надо просто сложить, а мантиссы – перемножить без выравнивания порядков. Результат при необходимости округляется. Деление. При делении из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. При этом может произойти и переполнение порядка, и потеря точности мантиссы частного.

Кодирование графической информации

Графика: понятие цвета

Графика: восприятие цвета • Лягушка видит только движущиеся предметы. Чтобы увидеть все остальное, она должна сама начать двигаться. • Сумеречные и ночные животные (волки и другие хищные звери), почти не различают цветов. • Стрекоза хорошо различает цвета, но только нижней половиной глаз. Верхняя половина смотрит в небо, на фоне которого добыча и так хорошо заметна. • Пчелы и другие насекомые не видят красного цвета, но различают ультрафиолетовые цвета, невидимые для человека, и у многих цветов есть узоры в ультрафиолетовом диапазоне спектра.

Графика: восприятие цвета • В человеческом глазе присутствуют два вида рецепторов: палочки и колбочки. • Палочки реагируют на оттенки серого, а колбочки воспринимают спектр цветов. • Существует три типа колбочек: первые реагируют на красно-оранжевый цвет, вторые - на зеленый, а третьи - на сине- фиолетовый.

Цветовые модели RGB/ CMYK излучающие отражающие аддитивные субтрактивные пиксель растр

Кодирование растровых изображений Для черно-белого изображения информационный объем одной 0 1 1 0 точки равен одному биту (либо 1 0 0 1 черная (0), либо белая (1)). 1 0 1 1 Для четырехцветного – 2 бита. 0 1 1 0 Для 8 цветов необходимо – 3 бита. 11 00 11 01 Для 16 цветов – 4 бита. 01 10 11 Для 256 цветов – 8 бит (1 байт). 11 10 11 01 11 00 11

Двоичное кодирование графики Изображение Основа кодирования Байт Бит Кол-во цветов В оттенках 256 градаций серого 1 8 256 серого (от черного до белого) Цветное RGB 3 24 16 777 216 излучающее (Red, Green, Blue) (True Color) Цветное CMYK 4 32 429 4967 296 отражающее (Cyan, Magenta, Yellow, (True Color) blac. K)

RGB (основные цвета) Red (255, 0, 0) Green (0, 255, 0) Blue (0, 0, 255) White (255, 255) (180, 138, 190)

CMYK (дополнительные цвета) Cyan (0, 255) Magenta (255, 0, 255) Yellow (255, 0) blac. K (0, 0, 0)

Цветовой куб Cyan Blue (0, 0, 255) (0, 255) синий голубой Magenta (255, 0, 255) White пурпурный (255, 255) белый Black Green (0, 0, 0) черный (0, 255, 0) зеленый Red Yellow (255, 0, 0) (255, 0) красный желтый

В вычислительной технике используется два состояния включено/выключено (0/1), поэтому кодирование команд, чисел, символов в компьютере осуществляется двоичным кодом (в двоичной системе счисления) <и> (Windows-1251) = 232 (десятичная система счисления) 232 = &11101000 (двоичная система счисления) 1 1 1 0 0 0