Тема 2 Элементы математической логики Высшее назначение математики

Тема. 2. Элементы математической логики Высшее назначение математики - находить порядок в хаосе, который нас окружает. Н. Винер НАЧАЛО НАУКИ О ЗАКОНАХ И ФОРМАХ МЫШЛЕНИЯ СВЯЗЫВАЮТ С ИМЕНЕМ АРИСТОТЕЛЯ. ПРОШЛО ДВА ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ, ПРЕЖДЕ ЧЕМ Г. ЛЕЙБНИЦ ПРЕДЛОЖИЛ ВВЕСТИ В ЛОГИКУ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ СИМВОЛИКУ И ИСПОЛЬЗОВАТЬ ЕЁ ДЛЯ ОБЩИХ ЛОГИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ. ЭТУ ИДЕЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО РЕАЛИЗОВАЛ В ПРОШЛОМ СТОЛЕТИИ ДЖ. БУЛЬ И ТЕМ САМЫМ ЗАЛОЖИЛ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ (СИМВОЛИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ).

2. 1. Сущность математической логики 2. 2. Особенности математической логики 2. 3. Элементы математической логики 2. 4. Законы булевой алгебры 2. 5. Преобразование логических выражений 2. 6. Парадоксы математической логики

2. 1. Сущность математической логики Логика (от древнегреческого logos - слово, выражающее мысль) является началом любой научной теории. Даже в Библии было сказано, что "сначала было слово". Логика как наука о способах мышления, приводящих к истине, возникла в глубокой древности. Её основы были заложены древнегреческими философами Перменидом, Зеноном, Протагором, Сократом, сведения о которых дошли до нас благодаря Платону (427 -347 гг. до н. э. ). Им были также выявлены некоторые принципы и схемы рассуждений.

Но только Аристотель (384 -322 гг. до н. э. ) решительно отделил их от содержания рассуждений и создал чистую систему силлогизмов — правил вывода, что привело к возникновению теории логики. Правила вывода позволяют преобразовывать исходные утверждения подобно тому, как тождественные преобразования в математике дают возможность решать различные системы уравнений. Последующим шагом формализации логики является появление специальной символики для точной и компактной записи утверждений и определения операций над ними. Идея перенесения тех методов, которые обычно применяются в математике, на логику постепенно реализуется Б. Паскалем (1646 -1716),

Г. Лейбницем (1646 -1716), Дж. Булем (1815 -1864), О. де Морганом (1806 -1871),

Г. Фреге (1848 -1925), Б. Расселом (1872 -1970),

Д. Гильбертом (1862 -1943), А. Марковым (1903 -1979) и др. Так появился язык математической логики как логическое продолжение языка математики.

Языковыми формами этого языка являются математические понятия — абстрактные объекты. В отличие от объектов реального мира чисто лишены материальной сущности. Из таких математических объектов можно строить объекты, процессы и явления реального мира. Получаемые при этом подобия называют математическими моделями. Компьютер "оживляет" эти подобия. С появлением языка математической логики стало возможным составлять алгоритмы логического вывода. Заговорили о создании "искусственного интеллекта", и возник вопрос: «Нельзя ли создать универсальный алгоритм логического вывода (суперинтеллект), позволяющий доказать или опровергнуть любое утверждение? »

В свое время такой суперинтеллект пытались создать Б. Паскаль, Г. Лейбниц. Программа Д. Гильберта была последней попыткой реализации этого универсального алгоритма, но и она закончилась неудачей. Оказалось, что создание такого суперинтеллекта невозможно даже теоретически. В 1931 г. австрийский математик Курт Гедель доказал, что всякая достаточно богатая формальная система не полна, то есть в ней найдутся содержательно истинные утверждения, не доказуемые в этой системе. В последние десятилетия логика находит все более широкое применение в технике при исследовании и её методы используются: в теории преобразования и передачи информации, теории вероятностей и комбинаторном анализе. Математическая логика внедрилась в такие нематические области, как экономика, биология, медицина, психология, языкознание, право.

Интенсивно развиваются специальные разделы математической логики, призванные обслуживать конкретные области науки и техники. Устоявшееся представление о математической логике как науке, изучающей законы мышления с применением аппарата математики, главным образом, для нужд самой математики, в современных условиях становится слишком узким. С расширением областей применения и дальнейшим развитием математической логики изменяется и взгляд на нее. Объектами математической логики являются любые дискретные конечные системы, а ее главная задача — структурное моделирование таких систем

2. 2. Особенности математической логики Математическая логика сделала возможным усовершенствование аксиоматического метода и сама усовершенствовалась с помощью этого метода. Как видно из предыдущего, название ≪математическая логика≫ может истолковываться двояко. С одной стороны, эта отрасль науки строится как математическая теория, в ней используются математические методы, так что в этом смысле она представляет собой ≪математику логики≫. С другой стороны, разрабатывая точный логический язык математики, она служит ≪логикой математики≫.

2. 3. Элементы математической логики Определение 1. Предложение, относительного которого имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно, называется ВЫСКАЗЫВАНИЕМ Если высказывание ИСТИННО, то говорят, что ИСТИННО оно принимает значение «И» или « 1» , а если ЛОЖНО, то – «Л» или « 0» . Определение 2. Высказывание является ПРОСТЫМ, если никакую его часть нельзя рассматривать как отдельное высказывание.

Например. Произвольные высказывания будем обозначать буквами латинского алфавита: A, B, C и т. д.

Определение 3. Высказывания, образованные из простых высказываний с помощью логических связок «НЕ» , «ИЛИ» , «ЕСЛИ …, ТО …» , «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА …» называются СОСТАВНЫМИ или БУЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ. Определение 4. Построение новых высказываний их данных называется ЛОГИЧЕСКИМИ ОПЕРЕЦИЯМИ.

Основные логические операции над высказываниями 1. Отрицание. 2. Конъюнкция. 3. Дизъюнкция. 4. Импликация. 5. Эквивалентность.

Определение 5. Отрицанием высказывания А называется высказывание ( «неверно, что А» , (не А)), которое считается истинным, если А – ложно, и ложным, если А – истинно. Определение 6. Конъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание ( «А которое В» ), и является истинным, если А и В – истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.

Определение 7. Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание ( «А В» ), или которое является истинным, если хотя бы одно из них, и ложным, если оба ложны. Определение 8. Импликацией двух высказываний А и В называется высказывание ( «если. А, то. В» ), которое считается ложным, если А истинно и В ложно, и истинным при всех других значениях А и В.

здесь А – условие (посылка), В – заключение (следствие). Определение 9. Эквиваленцией двух высказываний А и В называется высказывание ( «Аэквивалентно В» ), которое является истинным, если оба высказывания А и В одновременно– истинны, либо ложны, и ложным в остальных случаях. Введенные операции можно описать с помощью таблиц. Эти таблицы называются истинностными таблицами

КОНЪЮНКЦИЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ А В А В И И И И Л Л И Л И Л Л И И Л Л Л

ИМПЛИКАЦИЯ ЭКВИВАЛЕНЦИЯ А В А В И И И И Л Л Л И

ОТРИЦАНИЕ А И Л Л И В этих таблицах буквы А и В можно рассматривать как переменные по двухэлементному множеству {И, Л}. Тогда сами таблицы задают двуместные функции следующего типа: {И, Л}2 {И, Л}. Последняя таблица одноместную функцию типа: {И, Л}. Эти функции являются операциями на множестве {И, Л}

Определение 10. Формулой называется высказывание, образованное из некоторых высказываний с помощью логических операций Ф(А 1, А 2, А 3, . . . , Аn ). Определение 11. Формулу принимающую значение «истина» при всех наборах входящих в неё высказываний, называют тождественно-истинной или тавтологией Ф(А 1, А 2, А 3, . . . , Аn ) = 1.

Порядок действий в формулах Отрицание предшествует всем остальным действиям. 2. Конъюнкция ( ) предшествует дизъюнкции, которая в свою очередь дизъюнкции предшествует импликации и эквиваленции. 3. Импликация и эквиваленция выполняются в порядке следования. 4. При необходимости изменить данную последовательность действий применяются скобки 1.

ЗАКОНЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ 1. 2. 3. 4. 5.

Формулы преобразования 1. 2. 3. 4. 5. 6.

2. 6. Парадоксы. Согласно одному из самых распространенных определений, логика есть анализ методов рассуждений. Изучая эти методы, логика интересуется в первую очередь формой, а не содержанием доводов в том или ином рассуждении. Хотя логика и является основой всех остальных наук, тем не менее присущее ей, наряду с фундаментальностью, свойство самоочевидности действовало расхолаживающе на стремление к сколько-нибудь глубоким логическим исследованиям вплоть до девятнадцатого столетия, когда интерес к логике оживился под влиянием открытия неевклидовых геометрий (геометрии Лобачевского), а также необходимости строгого обоснования математического анализа. .

Но особый всплеск внимания к логике был на исходе девятнадцатого века, когда мир был поражен открытием парадоксов, то есть рассуждений, приводящих к противоречиям. Эти парадоксы обычно называют семантическими. 1. Парадокс лжеца. Некто утверждает: «Я лгу» . лжеца Если утверждение истинно, то это в точности означает, что он лжет, т. е. утверждение ложно. Но если утверждение ложно, то это означает, что он говорит правду, то есть его утверждение истинно. В любом случае оно истинно и ложно одновременно.

2. Парадокс брадобрея. Командир полка назначает одного из солдат брадобреем, приказывая при этом брить тех и только тех солдат, которые не бреются сами. Что же делать брадобрею с самим собою? Если он будет брить себя, то он бреет того, кто бреется сам. Но если он не будет брить себя, то он должен себя побрить. В обоих случаях он должен брить и не брить себя одновременно. Основная цель математической логики – обеспечить символизм (систему формальных обозначений) для рассуждений, встречающихся не только в математике, но и в повседневной жизни.