Тема 2 Элементы комбинаторики Предыдущая Лекция

Тема 2 Элементы комбинаторики

Предыдущая Лекция • ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ

• Раздел дискретной математики, занимающийся подсчетом и перечислением элементов в конечных множествах – комбинаторика или комбинаторный анализ.

С. 44 -54

С. 20 -28

• Вычисления на дискретных конечных математических структурах часто называют комбинаторными вычислениями. «Проклятие размерности»

• Основополагающие правила комбинаторики – суммы и произведения • Понятие выборки (комбинации)

Размещения с повторениями

Размещения без повторений

Перестановки без повторений

Перестановки с повторениями данного состава

Сочетания без повторений из n элементов по k

Пример сочетаний без повторений • Определить число двухэлементных подмножества, состоящего из трех элементов.

• Лекция 8 -9 Бином Ньютона

1. Сочетания с повторениями • В ряде комбинаторных задач требуется подсчитывать число различных составов векторов длины k из n элементного множества. • Такие векторы-составы называются сочетаниями с повторениями из n элементов по k. • Например, требуется составить бригады ССО из 3 студентов 2 специальностей (каменщики и плотники) и определить количество таких бригад.

• Каждая бригада задается вектором длины 3 из 2 элементов, порядок компонент которого роли не играет. • (m 1, m 1), (m 1, m 2), • (m 1, m 2), (m 2, m 2) • Состав • (3, 0); (1, 2); (2, 1); (0, 3)

СП из n по k вектор длины n+k-1=2+3 -1=4, состоящий из k= 3 нулей и n-1=1 единицы: Количество студентов 1 -й специальн ости Разд елите ль Количество студентов 2 -й специальн ости 000 1 0 (m 1, m 2) (2, 1) 0 1 00 (m 1, m 2) (1, 2) 1 000 (m , m ) (0, 3) Состав вектора бригады Состав S (m 1, m 1) (3, 0)

• Число сочетаний с повторениями, обозначается

Формула числа сочетаний с повторениями • Это перестановки с повторениями данного состава (вектор имеет одну единицу и три нуля):

• В общем случае:

• Пример: определить количество ударных войсковых группировок из 6 бригад 4 типов; • Это сочетания с повторениями из 4 -х элементов по 6:

2. Треугольник Паскаля. • Сочетаниями без повторений занимался еще великий Паскаль. • Он предложил специальную таблицу значений сочетаний без повторений. • Значения представлены в таблице, которая называется треугольником Паскаля.

• Блез Паскаль (фр. Blaise Pascal, 19 июня 1623— 19 августа 1662) — французский математик, физик, литератор и философ. • Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники.

Треугольник Паскаля k 0 1 2 n 3 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 5 6 7 8 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 6 10 15 21 28 1 6 1 21 7 1 56 28 8 1

• Заметим, что • Этот треугольник удивительно красив своей математической красотой, и в его числах можно при желании отыскать различные закономерности.

Равнобедренный треугольник Паскаля

• Докажем соотношение

3. Бином Ньютона

Сэр Исаак Ньютон (англ. Sir Isaac Newton, 4 января 1643 — 31 марта 1727 по григорианскому календарю)

Докажем формулу бинома Ньютона по индукции. 1) базис индукции – доказательство того, что формула верна для конкретного n, например, для n=1.

2) индукционный шаг. • Предполагая, что формула верна для некоторого n, убеждаются, что тогда она верна и для n+1. • 3) при истинности шагов 1 и 2 заключают, что формула верна для любого n.

Приступим к индукционному шагу. • Возьмем выражение и получим из него выражение для n+1.

• Преобразуем полученное выражение:

• Для выполнения индукционного шага необходимо показать, что это выражение равно выражению: • Рассмотрим подвыражение и заменим i на i-1.

• Получим • т. е. одинаковые коэффициенты • перед выражениями

• Это позволит вынести • за скобку • Но тогда в • не учтен n-й член подвыражения

• учитывая n-й член подвыражения • получаем

• Нетрудно видеть, что • можно заменить на • кроме того, мы уже доказали, что • поэтому: • что, очевидно, равно выражению

По индукции получаем, что формула бинома Ньютона верна для любого n. Следствие № 1

Следствие № 2

Производящие функции u На использовании бинома Ньютона основано понятие производящей функции – функции, позволяющей получать комбинаторные числа без вычисления факториала: u Здесь функция, производящая биномиальные коэффициенты.

Функция, производящая биномиальные коэффициенты. При n=1 получаем 1+x, т. е (коэффициент перед 1), (коэффициент перед x). u При n=2 получаем т. е u

Решение комбинаторных уравнений В комбинаторике тоже могут решаться уравнения, особенностью которых является то, что неизвестная принадлежит множеству натуральных чисел u Например, уравнения вида u x N, где N – множество натуральных чисел.