Тема 18 Методы условной

Тема 18 Методы условной оптимизации 2 ØПонятие функции Лагранжа ØЗадача линейного программирования ØЗадача квадратичного программирования 1/22/2018 1

Постановка задач Ø Найти минимум функции Ø При ограничениях 1/22/2018 2

Понятие функции Лагранжа Ø Вначале на простом примере функции двух переменных рассмотрим какие условия в точке минимума имеют место и как их проще получить Ø Целевая функция g(x, y)=0 Ø Ограничение y Ø Условный минимум лежит Ø на кривой, описываемой Ø уравнением , Ø которое неявно определяет Ø зависимость y=y(x) x 1/22/2018 3

Получение Условия минимума Ø Вдоль кривой Ø имеет место очевидное соотношение 1/22/2018 4

Получение Условия минимума Ø Запишем условие минимума для функции Вдоль кривой y=y(x) имеем 1/22/2018 5

Условия минимума ØПолучаем Преобразуем обозначим – множитель Лагранжа 1/22/2018 6

Необходимые Условия минимума Ø Таким образом в точке Ø минимума f(x, y) Ø на кривой g(x, y)=0 Ø выполняются Ø три условия: 1/22/2018 7

введем функцию Лагранжа Ø Для нее условия экстремума которые мы выше вывели получаются естественным образом 1/22/2018 8

Рассмотрим простой пример Ø Функция Лагранжа Ø Условия экстремума Ø Решение x=2; y=2; =4. 1/22/2018 9

анализ, вблизи точки экстремума • точка экстремума функции Лагранжа представляет седловую точку , в которой достигается минимум по переменным xy и максимум по переменной x Сечение функции Лагранжа при y=2 1/22/2018 10

функция Лагранжа для нескольких ограничений в виде неравенств Условие регулярности: Существует точка в которой все ограничения обращаются в строгие неравенства 1/22/2018 11

Теорема о седловой точке Куна-Таккера • В точке минимума при указанных ограничениях существует такой набор • при котором для всех выполняется • Точка является седловой 1/22/2018 12

Графическое представление седловой точки 1/22/2018 13

Условия дополнительности Ø Если пара является седловой точкой функции Лагранжа, то выполняются условия дополнительности: Ø Это значит, что для тех ограничений, на которых не лежит точка минимума, соответствующий множитель лагранжа равен нулю Ø При этом 1/22/2018 14

Понятие двойственности • Допустим, что у функции Лагранжа седловая точка существует • Положим • Аналогично • Из свойства седловой точки • Или • Т. е можно вместо минимума находить максимум 1/22/2018 15

Рассмотрим простой пример y 4 x+y-4=0 4 x Из условия дополнительности 1/22/2018 16

Двойственная задача 1/22/2018 17

Задача линейного программирования 1/22/2018 18

Пример: Имеются три продукта П 1, П 2, П 3 разной цены, каждый из которых содержит определенное количество питательных ингридиентов И 1, И 2, И 3, И 4. Известно, что в день требуется употребить : И 1 – не менее 250, И 2 60, И 3 100, И 4 200. цена: П 1=44, П 2=35, П 3=100. Требуется минимизировать затраты на приобретение П Затраты: xj - количество Питательность, или содержание Иi в Пj 1/22/2018 19

• function Lin. Progr 1; Решение в Мат. Лаб • %Задание цены продуктов • c=[44; 35; 100]; • % Матрица ограничений • A=[4 6 15 • 220 • 534 • 7 3 12]; • A=-A; Результат • b=[250; 60; 100; 220]; x= • b=-b; 13. 2143 • xm=[0; 0; 0]; 16. 7857 • % Обращение к стандартной 6. 4286 программе p= • [x, p]=linprog(c, A, b, [], xm) 1. 8118 e+003 • return 1/22/2018 20

Задача квадратичного программирования 1/22/2018 21

Задача о рисках • Нужно вложить некоторую сумму в различные предприятия А 1, А 2, А 3, А 4 с целью получить желаемую доходность с минимальным риском. • Доли вкладов : x 1+x 2+x 3+x 4=1; xi 0 • Доходности Аi: y 1 y 2 y 3 y 4 и матрица ковариации V • Тогда доходность и риски вычисляются по формулам: Задача: 1/22/2018 22

Решение Мат. Лаб • function quadrogr 1; • % матрица квадратичной формы • C=[102 27 -52 66 • 27 148 42 -66 • -52 42 246 57 • 66 -66 57 272]; • % матрицы ограничений Результат: Optimization • Ae=[11 13 16 17. 5; terminated. • 1 1 ]; x= 0. 0413 • be=[15; 1]; 0. 4511 • xm=[0; 0; 0]; 0. 1341 0. 3734 • % Обращение к стандартной пр-ме p= • [x, p]=quadprog(C, [], [], Ae, be, xm) 31. 8349 • return 1/22/2018 23

Конец 1/22/2018 24