Скачать презентацию Тема 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Неопределенный интеграл Скачать презентацию Тема 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Неопределенный интеграл

ЛК-3-(Неопр.инт).ppt

  • Количество слайдов: 48

Тема 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Неопределенный интеграл и его свойства. Тема 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Неопределенный интеграл и его свойства.

1. 1. Первообразная функция ОПР. Функция называется первообразной для функции на данном промежутке (a; 1. 1. Первообразная функция ОПР. Функция называется первообразной для функции на данном промежутке (a; b), если для любого x из этого промежутка или Пример. Первообразной для функции на всей числовой оси является так как

Теорема 1. 1. Если функция f(x) непрерывна на данном интервале, то на этом интервале Теорема 1. 1. Если функция f(x) непрерывна на данном интервале, то на этом интервале она имеет первообразную. Теорема 1. 2. Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (a; b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x)+C, где C − постоянная.

1. 2. Неопределенный интеграл ОПР. Совокупность всех первообразных для данной функции называется ее неопределенным 1. 2. Неопределенный интеграл ОПР. Совокупность всех первообразных для данной функции называется ее неопределенным интегралом и обозначается где – произвольная постоянная.

Знак называется интегралом, функция – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования. Операция Знак называется интегралом, функция – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования. Операция нахождения неопределенного интеграла для данной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых График каждой первообразной называется интегральной кривой. Через Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых График каждой первообразной называется интегральной кривой. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая.

Основные свойства неопределенного интеграла 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: Доказательство: Основные свойства неопределенного интеграла 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: Доказательство:

2. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: Таким образом, правильность интегрирования проверяется дифференцированием! 2. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: Таким образом, правильность интегрирования проверяется дифференцированием!

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов 5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

6. Если то где − произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Данное свойство называется инвариантностью 6. Если то где − произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Данное свойство называется инвариантностью неопределенного интеграла.

При вычислении неопределенного используют формулу: При вычислении неопределенного используют формулу:

Таблица простейших интегралов Таблица простейших интегралов

Вычисление интегралов с помощью преобразования подынтегрального выражения к табличной форме и использования свойств неопределенного Вычисление интегралов с помощью преобразования подынтегрального выражения к табличной форме и использования свойств неопределенного интеграла называется непосредственным интегрированием. Вспомогательные сведения

Пример 1. Используя таблицу и свойства интегралов, найти интегралы. Пример 1. Используя таблицу и свойства интегралов, найти интегралы.

1. 3. Основные методы вычисления неопределенных интегралов Непосредственное интегрирование Метод интегрирования, при котором данный 1. 3. Основные методы вычисления неопределенных интегралов Непосредственное интегрирование Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

При сведении данного интеграла к табличному часто используется следующее преобразование дифференциала (операция «подведения под При сведении данного интеграла к табличному часто используется следующее преобразование дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала» ). Например:

Примеры Примеры

Интегрирование заменой переменной Метод замены переменной (метод подстановки) состоит в преобразовании интеграла в другой Интегрирование заменой переменной Метод замены переменной (метод подстановки) состоит в преобразовании интеграла в другой интеграл который вычисляется проще, чем исходный.

Теорема 1. 3. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором множестве множество T X Теорема 1. 3. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором множестве множество T X – и пусть значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве X функция f(x) имеет первообразную, то на множестве T справедлива формула

Формула (1) также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой Формула (1) также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х. Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде тогда

Пример Пример

Интегрирование по частям Формула где и – дифференцируемые функции, называется формулой интегрирования по частям. Интегрирование по частям Формула где и – дифференцируемые функции, называется формулой интегрирования по частям. Метод интегрирования по частям целесообразно применять, если более прост в вычислении, чем

Некоторые типы интегралов, которые можно вычислять методом интегрирования по частям 1. Интегралы вида где Некоторые типы интегралов, которые можно вычислять методом интегрирования по частям 1. Интегралы вида где − многочлен, m − число. Здесь полагают за обозначают остальные сомножители.

2. Интегралы вида Здесь полагают за u обозначают остальные сомножители. 3. Интегралы вида где 2. Интегралы вида Здесь полагают за u обозначают остальные сомножители. 3. Интегралы вида где a и b − числа. За u можно принять функцию

Пример. Вычислить неопределенные интегралы методом интегрирования по частям. Пример. Вычислить неопределенные интегралы методом интегрирования по частям.

Упражнение • Вычислить Упражнение • Вычислить

1. 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Понятие о рациональных функциях. Многочлен Функция вида где n 1. 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Понятие о рациональных функциях. Многочлен Функция вида где n — натуральное число, − постоянные коэффициенты, называется многочленом (или целой рациональной функцией). Число n называется степенью многочлена. Корнем многочлена называется такое

Теорема 1. 4. (основная теорема Теорема 1. 4. (основная теорема

Если в разложении многочлена (2) какойлибо корень встретился k раз, то он называется Если в разложении многочлена (2) какойлибо корень встретился k раз, то он называется корнем кратности k. В случае k=1 (т. е. корень встретился один раз) корень называется простым. Теорема 1. 6. Если два многочлена тождественно равны другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого. Например, если то

Рациональная функция Рациональной дробью (или дробнорациональной функцией) называется функция, равная отношению двух многочленов, т. Рациональная функция Рациональной дробью (или дробнорациональной функцией) называется функция, равная отношению двух многочленов, т. е. где a — многочлен степени m, — многочлен степени n.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т. е. m<n; в Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т. е. m

Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы льной и многочлена рациональной дроби:

Пример Пример

Простейшие рациональные дроби где A, a, M, N, p, q – действительные числа. Простейшие рациональные дроби где A, a, M, N, p, q – действительные числа.

Теорема 1. 8. Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на множители можно представить Теорема 1. 8. Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на множители можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

Пример Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей Пример Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей

Для нахождения неопределенных коэффициентов в равенстве (3) можно применить 2 метода. 1. Метод неопределенных Для нахождения неопределенных коэффициентов в равенстве (3) можно применить 2 метода. 1. Метод неопределенных коэффициентов. 1). В правой части равенства (3) приведем дроби к общему знаменателю в результате получим тождество где S(x) — многочлен с неопределенными коэффициентами.

2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т. 2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т. е. 3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (по теореме 1. 6 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (4), получим систему линейных уравнений, из которой и определим искомые коэффициенты

2. Метод отдельных значений аргумента: после получения тождества (4) аргументу x придают конкретные значения 2. Метод отдельных значений аргумента: после получения тождества (4) аргументу x придают конкретные значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо x значения действительных корней многочлена Q(x)).

Пример Представить дробь в виде суммы простейших дробей. Пример Представить дробь в виде суммы простейших дробей.

Пример Представить дробь в виде суммы простейших дробей. Пример Представить дробь в виде суммы простейших дробей.

Интегрирование простейших рациональных дробей Интегрирование простейших рациональных дробей

Пример. Подстановка Пример. Подстановка

Интегрирование рациональных дробей Общее правило интегрирования рациональных дробей. 1. Если дробь неправильна, то представить Интегрирование рациональных дробей Общее правило интегрирования рациональных дробей. 1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби; 2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей; 3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.