ТЕМА 1 МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ Предмет математики

ТЕМА 1. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ

Предмет математики • Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах окружающего мира (по Ф. Энгельсу). • По Н. Бурбаки (собирательный псевдоним группы математиков разных стран, преимущественно французских, существовавшей с 1937 по 1968 гг. ), математика – это «скопление математических структур» , не имеющих к действительности никакого отношения. Математические структуры включают в себя: ü алгебраические, то есть задание на некотором множестве конечного числа операций с соответствующими свойствами (природа элементов множества различна); ü структуры порядка и топологические (если каждому элементу множества тем или иным способом отнесено семейство подмножеств из , называемых окрестностями этого элемента). • Сопоставление двух подходов к определению математики А. Н. Колмогоров (1903 – 1990) - советский математик, академик АН СССР провел с позиций анализа истории развития математики и выделил четыре основных периода ее становления и развития.

Период зарождения математики • Период зарождения математики (до VI – V вв. до н. э. ) – время, когда математика стала самостоятельной наукой, имеющей собственный предмет и метод. За три тысячелетия до новой эры вавилоняне умели решать квадратные уравнения и знали теорему Пифагора. Древние владели большим набором не связанных между собой правил и формул для решения практических задач, в частности измерение земельных участков, составление календарей и т. д.

Период элементарной математики • Второй период развития математики – период элементарной математики (от VI – V вв. до н. э. до XVI в. н. э. ). А. Н. Колмогоров считает, что изменение характера математической науки в этот период можно объяснить более развитой общественно-политической и культурной жизнью. Пифагорейцы усматривали сущность вещей и явлений в числе и числовых отношениях. Начала дедуктивного, аксиоматического метода были заложены древнегреческими математиками. Развитие дедуктивной теории связано с именем Аристотеля (384 – 322 гг. до н. э. ). Первое систематизированное дедуктивное изложение математики (геометрии) принадлежит Евклиду (около 300 г. до н. э. ). Геометрическая система под названием «Начала» Евклида, была в течение свыше 20 веков (до XIX в. ) непоколебимым образцом логической строгости, аксиоматического метода.

Период создания математики переменных величин • Третий период – период создания математики переменных величин (XVII, XVIII вв. – начало XIX в. ). Вводятся переменные величины в аналитической геометрии Р. Декарта (1596 – 1650), создается дифференциальное и интегральное исчисления в работах И. Ньютона (1642 – 1727) и Г. Лейбница (1646 – 1716). • Несмотря на недостаточно разработанное исчисление бесконечно малых в этот период, оно позволяло решать многие задачи геометрии, механики, физики и т. д. Основным источником развития математики в этот период были запросы практики, поэтому математические теории отражали количественные характеристики процессов действительности, о чем указывается в понятии математики, сформулированном Ф. Энгельсом.

Современный период в развитии математики • Подход к объектам математических теорий, по Н. Бурбаки, обусловлен четвертым, современным периодом в развитии математики (вторая половина XIX в. ). • Особенность (1) этого периода заключается в том, что новые математические теории стали возникать не только в результате непосредственных запросов практики, естествознания и техники, но и внутренних потребностей самой математики. Наиболее важные из них: ü развитие теории функций, ü теории групп, ü создание неевклидовых геометрий.

Современный период в развитии математики • Другая особенность (2) этого периода связана с расширением области приложений математики. • Третья особенность (3) обусловлена вниманием к вопросам обоснования, критического пересмотра исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений и доказательств, логических приемов, используемых при этих доказательствах.

Современный период в развитии математики • Революционный переворот во взглядах на математику был связан с открытием в 1826 г. Н. И. Лобачевским (1792 – 1856) того, что отрицание пятого постулата Евклида не привело к логическим противоречиям, что послужило образованию геометрии Лобачевского. • В этой связи получает дальнейшее развитие аксиоматический метод: 1. решается проблема непротиворечивости, полноты и независимости системы аксиом; 2. появляется новый взгляд на аксиоматическую теорию как бессодержательную, формальнологическую систему. • Решение этих проблем было предложено Давидом Гильбертом (1862 – 1943, немецкий математик, почетный академик Берлинской АН).

Аксиоматический метод • Аксиоматический метод – это способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода, позволяющих путем логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории. • Аксиомы должны быть достаточно простыми и соответствовать нашему опыту.

Аксиоматический метод • Сущность аксиоматического метода состоит в своеобразном способе определить объекты исследования и отношения между ними. • Предположим, что, изучая систему каких-то объектов, мы используем определенные термины, выражающие свойства этих объектов и отношения между ними. Причем мы не определяем ни сами объекты, ни эти свойства и отношения, а высказываем ряд определённых терминов, которые должны для них выполняться. Этим терминам не приписывают содержательный смысл, но они выделяют из всех возможных систем объектов такие системы, для которых они выполнены, т. е. эти термины являются определением системы объектов, их свойств и отношений между ними.

Аксиоматический метод • Например, пусть система каких-то объектов обозначается буквами латинского алфавита, и между ними установлено отношение, выражаемое термином «предшествует» . Введём для них следующие утверждения: 1. Никакой объект не предшествует сам себе. 2. Если x предшествует y, а у предшествует z, то x предшествует z. • Системой объектов с отношением 2) могут являться люди (объекты х, у, z…), а отношение между х и у представляет собой «х старше у» . В этом случае утверждения 1) и 2) истинны. Или объектами являются действительные числа, а отношение «х предшествует у» представляет собой «х меньше у» . Здесь утверждения 1) и 2) также выполнены. • Системы объектов с одним отношением, для которых положения 1) и 2) выполнены, образуют определённый класс, а положения 1) и 2) можно рассматривать как определение систем этого класса.

Аксиоматический метод • Утверждения, посредством которых мы выделяем совокупность объектов, называются аксиомами. • Если для какой-либо совокупности объектов, их свойств и отношений некоторые аксиомы истинны, то данная совокупность объектов удовлетворяет системе этих аксиом. • При рассмотрении любой системы аксиом возникает ряд вопросов: 1) о непротиворечивости системы аксиом, 2) о независимости аксиом. • Система аксиом является непротиворечивой, если все возможные выводы из неё не проводят к противоречию, т. е. к каким-либо несовместимым утверждениям. • Какая-либо аксиома называется независимой в данной системе аксиом, если она не выводима из остальных аксиом этой системы.

Особенности математического языка • Язык – это система условных знаков, принятых в некотором сообществе и обеспечивающая коммуникацию его членов. • Математический язык состоит из совокупности высказываний (предложений). • Особенность математического языка заключается в том, что в нем используются математические символы, объединяемые формулой, слова и обороты речи такие как «предположим, что…» , «если…, то…» , «математика – это наука о …» и др. • Язык математики – это язык людей, имеющих дело с математическими структурами, для описания которых естественный язык применять нельзя, так как он громоздок и двусмыслен. В житейских ситуациях естественный язык имеет преимущества перед математическим: здесь можно обойтись без детальных знаний о математических структурах. В общении друг с другом специалистам приходится переходить с естественного языка на язык математики и обратно. С различными языковыми переходами связаны междисциплинарные функции математики.

Особенности математического языка • Математический язык является абстрактным, обладает большой универсальностью, он употребляется как средство выражения математической мысли. • Овладение математическим языком формирует навыки рационального выражения мысли: последовательность, точность, ясность, выразительность, экономность, информированность. • Сознательное и свободное владение математическим языком является условием и средством овладения математической культурой.

Особенности математического языка • Недостатки языка: специфичность; ограниченная возможность отображения. • Достоинства языка: позволяет с помощью символов выражать мыслительные операции в сокращенном и свернутом виде; отличается большой прогностической силой. • Множество абстрактных элементов и действий с ними образуют операционную систему: элементы – это числа, векторы, функции, …; действия (операции) – сложение, вычитание, умножение, деление, ….

Место и роль математики в гуманитарных науках • Место математики в жизни и в науке определяется тем, что она позволяет перевести интуитивные подходы к действительности, основанные на чисто качественных описаниях, на язык точных определений и формул, из которых возможны количественные выводы. • Общеизвестно, что степень научности той или иной дисциплины измеряется тем, насколько в ней применяется математика. • С начала XXв. математика проникает во все области человеческих знаний, подтверждая слова К. Маркса: «наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой» .

Место и роль математики в гуманитарных науках • Математика способствует выработке научного мировоззрения и достижению необходимого общекультурного уровня. • Математические рассуждения позволяют правильно устанавливать причинно-следственные связи, что должен уметь каждый человек. • Каждый культурный человек должен иметь представление об основных математических понятиях, идеях, методах. • Математика предлагает для изучения окружающей действительности более общие и четкие логические модели, которые отображают и воспроизводят различные стороны рассматриваемых объектов с применением математического языка. Если математическая модель верно отражает суть данного явления, то она позволяет находить и не обнаруженные ранее закономерности, давать математический анализ условий, при которых возможно решение теоретических или практических задач, возникающих при исследовании этого явления.

Место и роль математики в гуманитарных науках • Для студента-гуманитария математика – общеобразовательная дисциплина, но значение математики этим не исчерпывается, хотя бы потому, что «она ум в порядок приводит» (М. Ломоносов). • Математика общностью и абстрактностью своих конструкций влияет на упорядочение ума. • В математике имеется набор правил, алгоритмов, которым необходимо строго следовать, решая любую однотипную задачу. Математика учит точно формулировать разного рода правила, предписания, инструкции и строго их исполнять.

Метод математической индукции • Метод математической индукции является одним из универсальных методов проведения математических доказательств. • Утверждения (рассуждения) делятся на общие и частные. • Примеры общих утверждений: 1) жюри принимает решение большинством голосов; 2) все числа, оканчивающиеся четной цифрой, делятся на 2. • Соответствующими им примерами частных утверждений являются: 1) жюри из трех человек принимает решение большинством голосов; 2) 132 делится на 2. • Переход от общих утверждений к частным называется дедукцией. Например, из общего утверждения: «жюри принимает решение большинством голосов» можно заключить для частного случая, что «жюри из трех человек принимает решение большинством голосов» .

Индукция • Наоборот, переход от частных утверждений к общим называется индукцией. Выводы, полученные с помощью неполной индукции, надо либо доказывать, либо опровергать. Например, « 132 делится на 2» ; (1) «Все числа, оканчивающиеся четной цифрой, делятся на 2» ; (2) • На основании частного утверждения (1) высказываем общее утверждение (2), которое является верным. «Все трехзначные числа делятся на 2» . (3) • Из частного высказывания (1) утверждается неверное общее высказывание (3). • Из примеров следует, что утверждение может быть справедливым в ряде частных случаев, но несправедливым вообще. Как узнать справедливость утверждения вообще? Ответить можно, используя метод рассуждений, основанный на принципе математической индукции (полной индукции),

Принцип математической индукции

Глоссарий • АКСИОМА – положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности; истинное исходное положение теории. • АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД – это способ построения научной теории в виде системы аксиом (постулатов) и правил вывода, позволяющих путем логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории. • ДЕДУКЦИЯ – вывод из общих утверждений по правилам логики частных следствий. Дедукция – основное средство доказательства. • ИНДУКЦИЯ – умозаключение, состоящее в переходе от частных утверждений к общим утверждениям. • УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ - это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося, то есть состоит из посылок и заключения.

Список литературы по теме 1. Мальцева Т. В. , Салтанова Т. В. Практикум по математике для студентов гуманитарных специальностей. Изд-во Тюм. ГУ, 2005. – 78 с. 2. Тихомиров Н. Б. , Шелехов А. М. Математика: Учебный курс для юристов. – М. : Юрайт, 1999. - 223 с. 3. Бронштейн И. Н. Справочник по математике. - М. : Наука, 1986. 4. Грес П. В. Математика для гуманитариев. Учебное пособие. – М. : Логос, 2005. – 160 с. 5. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М. : Наука, 1984. 6. Турецкий В. Я. Математика и информатика. – М: ИНФРА – 2000.

Практикум и задания по теме

Тесты для самопроверки 1. Сколько основных этапов становления математики обозначил А. Н. Колмогоров? a. b. c. d. 1 2 3 4 2. Укажите автора неевклидовой геометрии a. b. c. d. Пифагор Евклид Лобачевский Колмогоров 3. Аксиоматический метод – это a. b. c. d. совокупность правил вывода теоремы способ построения научной теории метод решения логических задач метод определения отношений между объектами

Тесты для самопроверки 4. Математический язык – это a. b. c. d. совокупность высказываний система условных знаков набор данных буквы латинского алфавита 5. Математическая индукция – это a. метод проведения математического доказательства b. метод получения нового знания c. метод решения логических задач d. метод обработки информации