Тема 1 Методи моделювання та імовірнісні моделі

Тема № 1. Методи моделювання та імовірнісні моделі випадкових подій і величин. Заняття № 7. Використання імовірнісних моделей системи випадкових величин при рішенні військово-спеціальних задач. Питання 1. Уявлення результатів ведення бойових дій у вигляді системи двох випадкових величин. 2. Форми законів розподілу системи двох випадкових величин. 3. Числові характеристики системи двох випадкових величин.

ЛІТЕРАТУРА: 1. Застосування електронної обчислювальної техніки в штабах. Підручник. К. , НАОУ, 2000. 2. Основі моделювання бойових дій. Підручник. К. НАОУ, 2006. 3. Вентцель Е. С. Исследование операций. М. , Сов. радио. , 1972. 4. Почикаєв Н. И. Вероятностное прогнозирование в стрельбе и управлении огнем. К. , ВА ПВО СВ, 1979.

1. Представлення результатів ведення бойових дій у вигляді системи двох випадкових величин У технічних застосуваннях теорії ймовірностей дуже часто доводиться вирішувати задачі, в яких результат досліду описується не тільки у вигляді випадкової події або однієї випадкової величини, а двома або більш випадковими величинами. Наприклад, точка падіння снаряда відносно центра розсіювання характеризується двома випадковими величинами: відхиленням по дальності Х і відхиленням у бічному напрямі У, т. е. має місце система двох випадкових величин (Х, У ). Якщо ж розглядаються координати точки розриву снаряда (або підриву ракети) в просторі, то має місце система трьох випадкових величин: відхилення по дальності Х , відхилення у бічному напрямі Z і відхилення по вертикалі У. y x y Y Y 0 X x 0 Z z

Іноді в подібних випадках зручніше говорити про випадковий вектор на площині і в просторі, складові якого суть безперервні випадкові величини, створюючи систему. При цьому теорія систем випадкових величин розглядається як теорія випадкових векторів. Якщо n випадкових величин Х 1, Х 2, …, Хn розглядаються як єдине ціле, то вони утворять систему n випадкових величин або випадковий вектор в n-мірному просторі. Таким чином, системою випадкових величин називається сукупність випадкових величин Х 1, Х 2, …, Хn, що розглядаються як єдине ціле. Оскільки всі положення, що стосуються системи двох випадкових величин можуть бути поширені на систему трьох і більш випадкових величин, то всі положення, що розглядаються будуть торкатися двох випадкових величин. Найбільш повною характеристикою системи випадкових величин, так само і однієї випадкової величини, є закон розподілу системи. Законом розподілу системи випадкових величин називається об'єктивно існуючий зв'язок між можливими сукупностями значень випадкових величин, що входять в систему, і ймовірностями, які ім відповідають. Закон розподілу системи, як і закон розподілу однієї випадкової величини, може бути представлений у вигляді функції розподілу або щільності імовірності системи випадкових величин. *)

У багатьох випадках немає особливої необхідності повністю визначати закон розподілу системи випадкових величин і можна обмежитися числовими характеристиками системи. 2. Форми законів розподілу системи двох випадкових величин. Розглянемо систему двох випадкових величин (Х, У ) при цьому байдуже, дискретних або безперервних. Визначимо через F(х, у) імовірність події, що полягає в тому, що Х прийме значення, менше х, при цьому У отримає значення, менше у. Таким чином, функцією розподілу (або інтегральним законом розподілу) системи двох випадкових величин (Х, У) називається функція двох аргументів F(х, у ), що визначає імовірність спільного виконання двох нерівностей Х< х і У< у: Іншими словами, F(х, у) є імовірність складної події, що складається з спільного здійснення двох простих подій: виконання нерівності Х< х і виконання нерівності У< у. При умові, що випадкова величина У може прийняти будь-яке значення, подію У< у геометрично можна представити як попадання випадкової точки в область, лежачу нижче за лінію аа.

Дійсно, координата У будь-якої точки цієї області завжди менше числа у, що є відстанню від осі абсцис до прямий аа. Отже, імовірність Р(У< у) є імовірність попадання випадкової точки у вказану область. Аналогічна подію Х< х можна геометрично представити як попадання випадкової точки в півплощину, обмежену прямий сс, а імовірність цієї події Р ( Х< х ) як імовірність попадання випадкової точки в цю ж область. Вважаючи події Х< х і У< у незалежними і застосовуючи теорему множення ймовірностей, отримаємо: Таким чином, геометрично функція розподілу системи двох випадкових величин (Х, У ) може бути представлена як імовірність попадання випадкової точки в нескінченний квадрат з вершиною, що має координати х, у, обмежений прямими аа і сс (див. рис. ), оскільки для всіх точок цієї області, і тільки для точок цієї області, спільно виконуються дві події: Х< х і У< у.

Використовуючи геометричне представлення функції розподілу системи випадкових величин, сформулюємо наступні її властивості. 1. Якщо хоч би один з аргументів рівний - , то функція розподілу системи приймає значення рівне нулю: як імовірність неможливої події. У цій властивості легко пересвідчиться, якщо відсунути хоч би один з кордонів (аа або сс) або обидві кордони квадранта на - . 2. Якщо один з аргументів функції розподілу системи покласти рівним + , то функція розподілу системи перетворюється в функцію розподілу випадкової величини, відповідної аргументу, не рівну + ,

У цій властивості також легко пересвідчитися, якщо відсунути один з кордонів квадранта на + . Дана властивість має велике значення оскільки дозволяє по функції розподілу системи визначати функції розподілу окремих випадкових величин, що входять в систему. 3. Якщо аргументи рівні + , то функція розподілу системи приймає значення, рівне одиниці, Дійсно, F(+ , + ) являє собою імовірність попадання випадкової точки у всю координатну площину, попадання в яку є достовірною подією. 4. Функція розподілу системи є функція, яка не зменшується по кожному аргументу, т. е. при зростанні хоч би одного з аргументів вона не може убувати; так при х2 > х1 F( x 2, у) > F(х1, у); при у2 > у1 F (х, у2 ) >F(х, y 1 ). Дійсно, нехай х2>х1, тоді F ( x 2, у ) є імовірність попадання випадкової точки в квадрант з вершиною, що має координати (х2, у), а F(x 1, у) імовірність попадання випадкової точки в квадрант з вершиною, що має координати (х1, у ). Квадрант з вершиною (х1, у ) є частиною квадранта з вершиною ( х2, у), тому імовірність попадання випадкової точки у другий квадрант не може бути менше імовірності попадання в перший.

5. Можливі значення функції розподілу системи випадкових величин полягають в інтервалі від 0 до 1. Ця властивість витікає з визначення функції розподілу системи, а імовірність будь-якої випадкової події полягає в інтервалі від 0 до 1. З цієї властивості слідує також, що функція розподілу ненегативна функція. Щільність розподілу ймовірностей системи випадкових величин Функція розподілу існує для системи як дискретних, так і безперервних випадкових величин. Однак розподіл систем безперервних випадкових величин, які в природі і в практиці зустрічаються частіше, ніж системи дискретних випадкових величин, прийнято характеризувати не функцією розподілу, а щільністю розподілу ймовірностей системи або, коротше кажучи, щільністю імовірності системи.

Це пояснюється тим, що щільність імовірності характеризує розподіл системи випадкових величин в кожній точці, а функція розподілу може характеризувати розподіл системи тільки в певних інтервалах. Дамо визначення щільності імовірності: Щільністю імовірності (або диференціальним законом розподілу) системи двох випадкових величин називають похідну другого порядку від функції розподілу системи, взяту один раз по одній змінній, а інший раз по другій змінній: Геометрично щільність імовірності системи двох випадкових величин в просторовій системі координат може бути представлена у вигляді деякої поверхні (див. рис. ), яку прийнято називати поверхнею розподілу. f(x, y) Поверхня розподілу х 0 с у

Висота будь-якої точки поверхні розподілу над площиною х0 у рівна щільності імовірності f (х, у) в цій точці. Очевидно, найбільша ордината цієї поверхні буде визначати найбільш вірогідну сукупність значень випадкових величин Х, У і, навпаки, найменша ордината поверхні відповідає найменше вірогідній їх сукупності. Аналогічно тому, як це мало місце для однієї випадкової величини, функція розподілу системи двох випадкових величин тісно пов'язана з щільністю імовірності системи і може бути виражена через неї: де f (х, у)dxdy імовірність попадання випадкової точки в прямокутник зі сторонами, рівними dx і dy в околиці точки з координатами х і у. Щільність імовірності двох випадкових величин володіє двома властивостями, аналогічними властивостям однієї випадкової величини: 1. Щільність імовірності системи двох випадкових величин є функція ненегативна: Це виходить з того, що щільність імовірності є похідною від функції F (х, у) яка не убуває. З цієї властивості слідує, що вся поверхня розподілу системи двох випадкових величин лежить вище за площину х0 у. 2. Подвійний інтеграл в нескінченних межах від щільності імовірності системи двох випадкових величин рівний одиниці:

Це виходить з того, що подвійний інтеграл представляє імовірність попадання випадкової точки у всю координатну площину, т. е. імовірність достовірної події. Геометрично ця властивість означає, що повний об'єм тіла, обмеженого поверхнею розподілу і площиною х0 у, рівний одиниці (повна аналогія з щільністю імовірності однієї В. В). 3. Числові характеристики системи двох випадкових величин Основними числовими характеристиками системи двох випадкових величин є початкові і центральні моменти. При цьому найбільш вжитковими з них є початкові моменти першого порядку і центральні моменти другого порядку. Початковими моментами першого порядку системи двох випадкових величин називають математичні сподівання добутку цих випадкових величин, в яких одна випадкова величина береться в першій мірі, а друга в нульовій. Як і для однієї випадкової величини, визначимо початкові моменти буквою a і тоді:

Таким чином, початкові моменти першого порядку являють собою математичні сподівання випадкових величин, утворюючих систему і що визначають центри розсіювання системи - С. y С(mx, my) my M[V] 0 mx x На рис. точками відображені можливі значення системи, які групуються відносно точки С центра розсіювання, т. е. сукупність математичних очікувань mх і mу, являє собою характеристику положення системи. Центральними моментами другого порядку системи двох випадкових величин називають математичне сподівання добутку центрованих випадкових величин, причому сума показників степені у цих величин повинна бути рівна двом, т. е. рівна порядку моменту. Означаючи центральні моменти буквою m з відповідними індексами, отримаємо:

У представленій рівності перші два представлених моменти другого порядку являють собою дисперсії випадкових величин, утворюючих систему і, отже, характеризують розсіювання кожної з них нарізно. Третя рівність представляє центральний момент другого порядку (m 11, пов'язаний з спільним розподілом В. В Х і У. Його називають змішаним моментом другого порядку або кореляційним моментом, який означають К ху або К ух (іноді використовуючи назву момент зв'язку): де - центровані випадкові величини. Враховуючи, що кореляційний момент К ху являє собою математичне сподівання добутку центрованих випадкових величин (див. останню формулу), представимо формули для визначення кореляційних моментів дискретних і безперервних випадкових величин як їх спільної характеристики. Для дискретних випадкових величин Х і У: де Рij = Р (X = xі, У = уj) імовірність того, що система (ХУ) прийме значення (xi, уj), а підсумовування розповсюджується по всіх можливих значеннях випадкових величин Х і У. Для безперервних випадкових величин Х і У, замінивши Рij елементом імовірності f(х, у)dxdy, а суми подвійним інтегралом, отримаємо:

Кореляційний момент як числова характеристика системи грає особливу роль. З його допомогою можна характеризувати міру лінійної залежності між випадковими величинами. Якщо кореляційний момент відрізнений від нуля, тобто Кху ¹ 0, то випадкові величини Х і У називаються корельованими і вони обов'язково є залежними. Якщо ж кореляційний момент рівний нулю (Кху= 0), то випадкові величини Х і У називаються не корельованими (не пов'язані). При цьому необхідно враховувати відсутність лінійного зв'язку між значеннями X і У, хоч може мати місце інший функціональний зв'язок (квадратичний, логарифмічний та ін. ). Незалежні випадкові величини завжди не корельовані (не пов'язані). Залежні випадкові величини можуть бути як корельованими, так і не корельованими. Не корельовані випадкові величини (Кху = 0) можуть бути як незалежними, так і залежними. «Залежність» і «корельованість» випадкових величин поняття різні. «Залежність» - більш широке поняття, ніж «корельованість» . Представимо схематично співвідношення цих понять.

Таким чином, кореляційний момент характеризує не всяку залежність випадкових величин, а лише їх лінійну залежність. Суть лінійної залежності полягає в тому, що при зростанні значень однієї з випадкових величин зростає (убуває) середнє значення іншої випадкової величини згідно з лінійному законом. Для нормально розподілених систем випадкових величин поняття “залежність" і “корельованість" рівнозначні, т. е. якщо випадкові величини не корельовані, то вони тим самим і незалежні. Користуватися кореляційним моментом для оцінки міри корельованісті випадкових величин незручно по двох причинах: по-перше, по його величині важко судити про міру корельованісті випадкових величин, оскільки його величина характеризує не тільки залежність між випадковими величинами, але і їх розсіювання; по-друге, розмірність кореляційного моменту являє собою добуток розмірностей випадкових величин Х і У. По цьому як міра корельованісті випадкових величин використовується величина, звана коефіцієнтом кореляції.

Коефіцієнтом кореляції випадкових величин Х і У, утворюючих систему, називається відношення кореляційного моменту цих величин до добутку їх середніх квадратичних відхилень. Визначимо коефіцієнт кореляції rxy і тоді: Коефіцієнт кореляції, так само як і кореляційний момент, характеризує не всяку залежність випадкових величин, а тільки їх лінійну залежність, тобто корельованість. Коефіцієнт кореляції володіє наступними властивостями: 1. Коефіцієнт кореляції приймає значення в інтервалі (- 1, +1). Якщо rxy > 0, то кажуть про позитивну кореляцію випадкових величин Х і У, у випадку, коли rxy < 0 про негативну кореляцію. Позитивна кореляція між випадковими величинами означає, що при зростанні однієї з них інша має тенденцію в середньому зростати. Негативна кореляція означає, що при зростанні однієї з випадкових величин інша має тенденцію в середньому убувати. 2. Якщо випадкові величини Х і У пов'язані лінійною функціональною залежністю де rxy = ± 1, причому знак коефіцієнта кореляції відповідає знаку коефіцієнта а.

У цьому випадкові величини Х і У пов'язані самої жорсткою залежністю. 3. Якщо випадкові величини Х і У незалежні, то коефіцієнт кореляції, як і кореляційний момент, рівний нулю. Зворотне твердження несправедливе, т. к. rxy=0 говорить не про незалежність випадкових величин Х і У, а тільки про їх не зв'язаність. 4. Чим ближче êrxy до одиниці, тим ближче залежність між випадковими величинами Х і У до лінійної функціональної. Цим часто користуються при заміні складної залежності лінійними як більш простими (так званий метод лінеаризації). 5. Більшій по абсолютному значенню величині коефіцієнта кореляції відповідає більш тісний зв'язок між випадковими величинами. Таким чином, коефіцієнт кореляції характеризує міру наближення залежності між випадковими величинами до лінійної функціональної залежності. Він є мірою (показником)тісного лінійного зв'язку між величинами Х і У: чим ближче абсолютна величина коефіцієнта кореляції до одиниці, тим зв'язок сильніше; чим ближче абсолютна величина коефіцієнта кореляції до нуля, тим зв'язок слабше. З розгляду числових характеристик системи двох випадкових величин видно, що в загальному випадку ця система характеризується: двома математичними сподіваннями mх і my, двома дисперсіями Dx і Dy і двома рівними між собою кореляційними моментами Кху і Кух. При різних практичних і теоретичних дослідженнях буває зручним звести всі центральні моменти другого порядку в таблицю-матрицю:

Подібні матриці називають кореляційними матрицями. Кореляційна матриця є симетричною матрицею відносно головної діагоналі, оскільки Кху = Кух. По цьому для простоти звичайно заповнюють тільки одну половину матриці. Для системи трьох випадкових величин матриця буде мати вигляд: При розгляді систем випадкових величин всі вони означаються однією буквою Х з цифровими індексами 1, 2, 3, … Тому замість пишуть Kij (замість пишуть та ін. ). У цих випадках кореляційна матриця означається скорочено символом:

Якщо К 12=К 21=0, то кореляційна матриця є діагональною і відповідає системі некорельованих випадкових величин: Крім кореляційної матриці, використовується ще нормована кореляційна матриця, елементи якої рівні коефіцієнтам кореляції: По головній діагоналі нормованої кореляційної матриці, природно, завжди стоять одиниці: або для трьох випадкових величин

Висновок Основними формами закону розподілу системи двох випадкових величин є функція розподілу і щільність розподілу ймовірностей. Як додаткові характеристики системи використовується числові характеристики системи.