Тема 1 матрицы и определители Матрицы Основные понятия

Тема 1. матрицы и определители Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами Элементарные преобразования матриц Определитель матрицы. Определители второго порядка Определители третьего порядка Разложение определителя Свойства определителей Обратная матрица 1

Матрицы. Основные понятия Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из каких – либо элементов и имеющая m строк и n столбцов. Элементами матрицы могут быть числа, алгебраические выражения, функции и т. д. Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, элементы матрицы – теми же маленькими буквами. Размерность матрицы обозначается: количество строк количество столбцов 2

Если , то матрица называется прямоугольной. Если , то матрица называется квадратной (n - ного порядка). Любое число (скаляр) можно представить как матрицу первого порядка, размерностью . Матрица типа называется матрица-строка: Матрица типа называется матрица-столбец: 3

Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице, остальные – нулю (обозначается буквой Е): Если все элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется нуль-матрицей и обозначается символом 0. 4

Действия над матрицами Равенство матриц Матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны. Сложение (вычитание) матриц Сумма и разность матриц существуют только для матриц одинакового размера, при этом соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются. 5

Умножение матрицы на число При умножении матрицы A на число k получается матрица того же размера, при этом каждый элемент матрицы A умножается на k. Найти значение выражения: 6

Умножение матриц Произведение матриц A * B определено только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, в противном случае произведение не существует. Произведением матрицы A размера с элементами aij на матрицу B размера с элементами bjq называется матрица C размера с элементами: 7

Найти С = A * B 6 9 1 14 24 4 8

Свойства операции произведения матриц: 1) 2) 3) 4) В общем случае для произведения матриц не действует переместительный закон: иногда АВ существует, а ВА не имеет смысла. В случае, когда АВ = ВА, матрицы А и В называются коммутативными. 5) Единичная матрица является коммутативной для любой квадратной матрицы того же порядка: 6) Для двух квадратных матриц А и В одного порядка произведение определителей равно определителю произведения . 9

Транспонирование матрицы Под этой операцией понимают переход от матрицы А к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. 10

Элементарные преобразования матриц Отбрасывание нулевой строки (столбца) Умножение всех элементов строки (столбца) на число, не равное нулю Изменение порядка строк (столбцов) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число Транспонирование Две матрицы называются эквивалентными, если одна получается из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований. 11

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет следующий вид: С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатому виду 12

Определитель матрицы. Для каждой квадратной матрицы n - ного порядка существует определитель n - ного порядка, элементы которого равны соответствующим элементам матрицы. Определитель любой единичной матрицы равен единице. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной, в противном случае матрица невырожденная. 13

Определителем n – ого порядка называется число: 14

Определители 2 порядка Определители широко применяются во многих разделах высшей математики, в теоретической механике, физике и т. д. для сокращения записей и удобства вычислений. Определитель 2 - го порядка это число, записанное в виде: ai j Номер строки Элементы определителя, Индексы Номер столбца из произведения элементов главной диагонали вычитается Главная диагональ произведение элементов побочной диагонали. определителя Побочная диагональ определителя 15

Определитель третьего порядка 1 Метод треугольника + _ Метод треугольника применим только для определителей 3 порядка 16

2 Метод Саррюса Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии: Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс» . Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус: 17

Разложение определителя Минором Mij элемента определителя aij называется определитель, полученный после вычеркивания из исходного строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Алгебраическое дополнение Aij элемента – это минор этого элемента, взятый со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца, на которых находится элемент – четная, и со знаком (-), если эта сумма – нечетная. 18

Величина определителя равна сумме произведений элементов какой – либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения: Разложение определителя по элементам i – ой строки Разложение определителя по элементам j – ого столбца 19

Свойства определителей. Свойства определителя: Величина определителя равна нулю, если элементы какого - либо столбца или строки равны нулю: Величина определителя равна нулю, если соответствующие элементы двух строк (столбцов) равны 20

Определитель меняет знак, если поменять местами строки (столбцы): Определитель увеличивается в k раз, если элементы какого - либо столбца (строки) увеличить в k раз: Определитель не меняется при замене строк соответствующими столбцами: 21

Определитель не меняется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель Если определитель имеет так называемый треугольный вид, то он вычисляется как произведение чисел, стоящих на главной диагонали: 22

Пример вычисления определителя при помощи свойств Выберем 1 К элементам 2 Разложим столбец и К элементам 3 строки прибавим определитель по превратим второй строки прибавим элементы столбца элементам 11 строки, и третий элементы 1 строки умноженные на (-2) элементы в нули Также, используя свойства, можно привести определитель к треугольному виду и вычислить по последнему свойству. 23

Обратная матрица Обратной матрицей по отношению к данной невырожденной квадратной матрице A n - ного порядка, называется матрица, которая, будучи умноженной как слева, так и справа на данную матрицу, дает единичную матрицу. Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким образом, согласно определению: АА-1=А-1 А=Е. Транспонированная матрица Присоединенная матрица получается из матрицы А Если определитель матрицы получается путем замены каждого путем замены строк т равен нулю, то обратная элемента матрицы А на его соответствующими матрица не существует алгебраическое дополнение столбцами 24

Пример вычисления обратной матрицы. Из второй -2 2 -1 Разложим определитель строки вычтем 2 -2 2 по элементам 3 столбца первую строку -4 6 -6 25