Тема 1 Элементы теории множества Вопрос 1

Тема 1. Элементы теории множества.

Вопрос 1. Основные понятия. Множество – одно из первичных, фундаментальных понятий математики. Строгого определения этого понятия в рамках самой теории множеств не существует. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения.

Вопрос 1. Основные понятия. Можно дать описание множества, например в формулировке Георга Кантора: Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое М определенных хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества М).

Вопрос 1. Основные понятия. Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу: Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое.

Вопрос 1. Основные понятия. Из этих описаний можно выделить несколько основных свойств: 1. Объекты множества мыслятся как единое целое. 2. Мы всегда можем определить, принадлежит объект множеству или нет. 3. Каждый элемент множества отличается от другого.

Вопрос 1. Основные понятия. Приведем примеры множеств: - множество студентов первого курса - множество законодательных актов по правам человека - множество пятен на Солнце - ? ? ?

Вопрос 1. Основные понятия. Объекты, составляющие множество, называются элементами множества. Когда это удобно, элементы множества называются точками. Например, элементы множества вещественных чисел – точки на числовой прямой.

Вопрос 1. Основные понятия. В теории множеств, как и в любой математической теории, используют свою систему обозначений. Сами множества обозначаются прописными (большими) буквами латинского алфавита А, В, C, D, Х, Y Элементы множества обозначаются строчными (маленькими) буквами латинского алфавита a, b, c, d, x, y

Вопрос 1. Основные понятия. Если а – элемент множества А, то пишут: а А говорят: а принадлежит А - принадлежит

Вопрос 1. Основные понятия. Если а не является элементом множества А , то пишут: а А говорят: а не принадлежит А - не принадлежит

Вопрос 1. Основные понятия. Различают множества: - конечные - бесконечные

Вопрос 1. Основные понятия. Конечное множество состоит из конечного числа элементов (причем не важно, известно это число или нет, главное, что оно существует). Общее число элементов в конечном множестве называют его мощностью. Мощность множества М обозначается - М

Вопрос 1. Основные понятия. Количество элементов в бесконечном множестве подсчету не поддается, даже теоретически.

Вопрос 1. Основные понятия. Способы задания множеств: - перечислением – перечислить элементы множества – задать список элементов множества А = a, b, c, d Списком можно задать лишь конечные множества.

Вопрос 1. Основные понятия. - порождающей процедурой – процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов.

Вопрос 1. Основные понятия. - описанием характеристических свойств – описать свойства, которыми должны обладать элементы множества. Например: Пусть все элементы х множества Х обладают свойством Р(х), то пишут: Х = {x P(x)} или Х = {x : P(x)} говорят: множество Х состоит из элементов х таких, что каждый х обладает свойством P(x).

Вопрос 1. Основные понятия. Например: Множество А = {1, 2, 3, 4, 5} можно задать так: А = {x : x N и x < 6}, где N – множество натуральных чисел.

Вопрос 1. Основные понятия. Множество А называется подмножеством В , если всякий элемент из множества А элементом множества В. пишут: А В говорят: А является подмножеством В является

Вопрос 1. Основные понятия. Задание: Прочитайте запись В А Изобразите данную запись графически.

Вопрос 1. Основные понятия. Множества А и В называются равными, когда они состоят из одних и тех же элементов. пишут: А = В говорят: множества А и В равны Например: Множества А = {3, 5, 7, 9} и B = {7, 3, 9, 5} равны, так как состоят из одних и тех же элементов.

Вопрос 1. Основные понятия. Два множества называются равными, если они являются подмножествами друга. А = В если А В и В А

Вопрос 1. Основные понятия. Пример: Зададим множество W = {м, н, о, ж, е, с, т, в, а} Рассмотрим подмножества W: S 1={н, о, с} S 2={с, о, н} S 3={м, а, н, е, ж} S 4={м, о, н, е, т, а} S 5={ж, е, м, а, н, с, т, в, о} Верны ли утверждения? S 1=S 2, S 3 W, S 4 W, S 5 W, W S 5, S 5=W

Вопрос 1. Основные понятия. В ходе исследования тех или иных множеств необходимо ввести в рассмотрение такое множество, которое включает в себя все допустимые в этом исследовании множества. Такое широкое множество называется универсальным и обозначается символом U. Универсальным множеством U называется такое множество, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.

Вопрос 1. Основные понятия. Например: Для множеств W = {м, н, о, ж, е, с, т, в, а} S 1={н, о, с} S 2={с, о, н} S 3={м, а, н, е, ж} S 4={м, о, н, е, т, а} S 5={ж, е, м, а, н, с, т, в, о} и многих других, им подобных универсальным будет ? ? ?

Вопрос 1. Основные понятия. множество прописных (заглавных) букв русского алфавита.

Вопрос 1. Основные понятия. Для полноты картины удобно вести в рассмотрение и пустое множество, множество в котором нет ни одного элемента. Множество мощности 0, т. е. не содержащее элементов называется пустым. Пишут: Говорят: пустое множество. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Вопрос 2. Операции над множествами. В теории множеств рассматриваются операции, которые позволяют из одних множеств получать другие. 1. ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из элементов множества А или элементов множества В. Пишут: А В - объединение Смысл: А В={х: х А или х В} Говорят: Множество А В образуют элементы х, при этом каждый из них входит или в А, или в В, или в оба эти множества.

Вопрос 2. Операции над множествами. Например: А={1, 2, 3} В={1, 3, 4} Тогда А В={1, 2, 3, 4} В множестве образованном А В: - элемент 2 принадлежит множеству А - 2 А - элемент 4 принадлежит множеству В - 4 В - элементы 1 и 3 принадлежат и А, и В – 1 А и В, 3 А и. В

Вопрос 2. Операции над множествами. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В: А В={x: x A или х В} Можно составить объединение множеств: D=A B … C любого числа

Вопрос 2. Операции над множествами. 2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ Пересечением множеств А и В называют новое множество, которое состоит из элементов, общих для А и В. Пишут: А В - пересечение Смысл: А В={x: x A и x B} Говорят: Множество А В, образуют элементы х, при этом каждый из них входит и в А, и в В.

Вопрос 2. Операции над множествами. Например: А={1, 2, 3} В={1, 3, 4} Тогда А В={1, 3}

Вопрос 2. Операции над множествами. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В: А В={x: x A и x B} Можно составить пересечение множеств: D=A B … C любого числа

Вопрос 2. Операции над множествами. 3. ДОПОЛНЕНИЕ МНОЖЕСТВА ДО УНИВЕРСАЛЬНОГО Дополнением множества A до универсального множества U называется новое множество A , включающее в себя элементы множества U, но без элементов множества A. Пишут: A Смысл: A ={x: x U и x A}

Вопрос 2. Операции над множествами. Например: U={Азия, Африка, Америка, Австралия, Антарктида} A={Австралия, Антарктида} Тогда A ={ А в с т р а л и я , А н т а р к т и д а }={Азия, Африка, Америка}

Вопрос 2. Операции над множествами. Дополнением (до U) множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, но принадлежащих множеству U. Дополнение – одноместная операция, т. е. выполняется над одним множеством. Теперь можно сказать, что универсальным является такое множество U, для которого справедливы соотношения: A U=U, А U=A

Вопрос 2. Операции над множествами. Результатом любой операции над множествами является новое множество. Новое множество может быть операндом в другой операции. Так получают суперпозицию (цепочку) операций над множествами. При построении суперпозиций операций следует учитывать правило о приоритетах: - наивысшим приоритетом обладает дополнение - следующий приоритет у пересечения - самый низкий приоритет у объединения

Вопрос 2. Операции над множествами. Однако, нарушит правило о приоритетах и задать иной порядок выполнения операций позволяют скобки. Выражение в скобках реализуется в первую очередь.

Вопрос 2. Операции над множествами. Объединение множеств, пересечение множеств и дополнение образуют множеств до функционально универсального полную систему множеств можно операций алгебры множеств. Любое преобразование представить суперпозицией (цепочкой) операций объединения, пересечения и дополнения.

Вопрос 2. Операции над множествами. Кроме этих операций в теории множеств используют и другие операции, например, разность множеств. Разностью множеств А и В называют новое множество, в которое включены элементы множества А и не включены элементы множества В. Пишут: AB (реже А - В или А ~ В) Смысл: AB={х: х А и х В}

Вопрос 2. Операции над множествами. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержаться в В. Выразим операцию AB в терминах функционально полной системы операций: AB=A B Иногда удобно бывает представить дополнение множества А до универсального следующей разностью: A =UA

Вопрос 3. Аксиомы и теоремы алгебры множеств. Для любых множеств А, В и С справедливы следующие аксиомы:

Вопрос 3. Аксиомы и теоремы алгебры множеств. 1 А В=В А Коммуникативность – в операциях объединения и пересечения операнды можно располагать в любом порядке 2 А В С=А (В С) Ассоциативность – каждую из многоместных операций над множествами можно свести к последовательности двуместных операций 3 А (В С)=(А В) (А С) Дистрибутивность – правила раскрытия скобок (при движении от левой части равенства к его правой части) или же правило выноса за скобки подобных членов (при движении в обратном направлении) 4 5 А =А А A =U А U=А A A =

Вопрос 3. Аксиомы и теоремы алгебры множеств. Для любых множеств А, В и С справедливы следующие теоремы:

Вопрос 3. Аксиомы и теоремы алгебры множеств. 1 A U=U A = 2 A A=A 3 A (A B)=A 4 (A B) (A B )=A 5 ( A B )=A B ( A B )=A B Закон двойственности – закон Де-Моргана 6 7 U = ==U A =A

Вопрос 3. Аксиомы и теоремы алгебры множеств. Обратите внимание на парные утверждения. Второе выражение в строке получают из парного тождества путем замены в нем символа на символ (и наоборот), символа U на символ (и наоборот). Говорят, что тождества дуальны или двойственны другу. Для любых дуальных выражений справедливо утверждение: Если выражение верно, то верно и двойственное ему выражение. Поэтому нет нужды доказывать верность каждого из дуальных выражений, достаточно доказать лишь одно из них. Это утверждение называют принципом двойственности.