ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ Презентацию подготовили студенты группы ДЭЭ-106, Беляева Дарья, Дубов Сергей, Исаев Илья
ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ Таблица истинности логического выражения - это таблица, содержащая все возможные комбинации значений переменных, входящих в это выражение, и значения выражения, соответствующие каждой из этих комбинаций. Для построения таблиц истинности сложной функции необходимо знать таблицы истинности элементарных функций.
Для функции от двух переменных существует 22 = 4 комбинации наборов значений переменных, для функции трех переменных – 23 = 8, для функции четырех переменных – 24 = 16 комбинаций значений наборов переменных. В общем случае для функции от N переменных число строк M в таблице истинности вычисляется по формуле: M = 2 N
Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений 1. Определить количество строк: количество строк = 2 n + строка для заголовка, n - количество простых высказываний. 2. Определить количество столбцов: количество столбцов = количество переменных + количество логических операций; 3. Определить количество переменных (простых выражений); Определить количество логических операций и последовательность их выполнения.
Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений: 4. Подписать различные значения переменных, используя n следующее правило: под первой переменной записать 2 /2 0, а затем такое же количество 1; под второй переменной (и на каждом следующем шаге) в два раза меньше 0, чем в предыдущей переменной, и в 2 раза меньше 1; последняя переменная – всегда чередование 0 и 1. 5. Выполнить логические операции по порядку. При этом зачёркиваем столбцы, которые уже обработали. Для каждого действия берём первые не зачеркнутые значения справа и слева. 6. Столбец, полученный в результате выполнения последнего действия, и есть результат.
Высказывания и логические связки Высказывание —это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Логические высказывания принято обозначать буквами латинского алфавита. Вот примеры предложений, не являющихся высказываниями: Кто вы? (вопрос) Прочтите эту главу до следующего занятия (приказ или восклицание) Это утверждение ложно (внутренне противоречивое утверждение) Высказывательной формой называется логическое высказывание, в котором один из объектов заменён переменной. При подстановке вместо переменной какого-либо значения высказывательная форма превращается в высказывание. Пример: «В городе x идёт дождь. » — высказывательная форма, «В городе Архангельске идёт дождь. » — высказывание.
Виды высказываний В обыденной речи для образования сложного предложения из простых используются связки – особые части речи, соединяющие предложения. Например, употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не» , «или» , «если… , то» , «тогда и только тогда» являются логическими связками. В отличие от обыденной речи, в логике смысл таких связок должен быть определен однозначно. Истинность сложного высказывания однозначно определяется истинностью или ложностью составляющих его частей. Высказывание, не содержащее связок, называется простым, а содержащее связки – сложным. Примеры: «Петров — врач» (p), «Петров — шахматист» (q) —простые высказывания. «Петров — врач и шахматист» —сложное высказывание, состоящие из двух простых высказываний, связанных между собой при помощи связки «и» . Символически это высказывание может быть записано: p и q, или p^q. Это выражение также называется конъюкцией высказываний p и q.
Целесообразно показать применение таблицы истины и определение истинности/ложности высказываний на основе отдельных логических операций: Инверсия; Конъюнкция; Дизъюнкция; Импликация; Эквиваленция.
Инверсия(отрицание) Отрицание - это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.
Инверсия(отрицание) Пример : Луна — спутник Земли (А). Луна — не спутник Земли (¬A) А ¬А 1 0 0 1
Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Конъюнкция Примеры: 10 делится на 2 (A - 1). 5 больше 3 (B - 1). 10 делится на 2 и 5 больше 3 (A & B - 1). 10 не делится на 2 (A - 0). 5 больше 3 (B - 1). 10 не делится на 2 и 5 больше 3 (A & B - 0). 10 делится на 2 (A - 1). 5 не больше 3 (B - 0). 10 делится на 2 и 5 не больше 3 (A & B - 0). 10 не делится на 2 (A - 0). 5 не больше 3 (B - 0). 10 делится на 2 и 5 больше 3 (A & B - 0). А В А&В 1 1 1 0 1 0 0 0
Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.
Дизъюнкция Примеры: 10 делится на 2 (A - 1). 5 больше 3 (B - 1). 10 делится на 2 или 5 больше 3 (A v B - 1). 10 не делится на 2 (A - 0). 5 больше 3 (B - 1). 10 не делится на 2 или 5 больше 3 (A v B - 1). 10 делится на 2 (A - 1). 5 не больше 3 (B - 0). 10 делится на 2 или 5 не больше 3 (A v B - 1). 10 не делится на 2 (A - 0). 5 не больше 3 (B - 0). 10 не делится на 2 или 5 не больше 3 (A v B - 0). А В Аv. B 1 1 0 0 0
Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.
Импликация Примеры: Данный четырёхугольник — квадрат (A - 1). Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B - 1). Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность ( А->B - 1). Данный четырёхугольник — не квадрат (A - 0). Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B - 1). Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него можно описать окружность (A -> B - 1). Данный четырёхугольник — квадрат (A - 1). Около данного четырёхугольника нельзя описать окружность (B - 0). Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность (A -> B - 0). Данный четырёхугольник — не квадрат (A - 0). Около данного четырёхугольника нельзя описать окружность (B - 0). Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него нельзя описать окружность (A -> B - 1). А В А->B 1 1 1 0 0 0 0 1
Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
Эквиваленция Примеры: 24 делится на 6 (A - 1). 24 делится на 3 (B - 1). 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A <-> B - 1). 24 не делится на 6 (A - 0). 24 делится на 3 (B - 1). 24 не делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A <-> B - 0). 24 делится на 6 (A - 1). 24 не делится на 3 (B - 0). 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A<-> B - 0). 24 не делится на 6 (A - 0). 24 не делится на 3 (B - 0). 24 не делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 не делится на 3 (A <-> B - и). А В А<->B 1 1 1 0 1 0 0 1
Общий пример. В классе оказалось разбито стекло. Учитель объясняет директору: это сделал Коля или Саша. Но Саша этого не делал, т. к. в это время сдавал мне зачет. Следовательно, это сделал Коля. К 1 0 С 1 1 0 0 С 0 0 1 1 К C 1 1 1 0 ( К C ) & С 0 0 1 0 ( К C ) & С К 1 1
Виды формул: Тождественно-истинной (общезначимой) называется формула, принимающая значение « 1» во всех строках таблицы. Тождественно-ложной (невыполнимой) называется формула, принимающая значение « 0» во всех строках таблицы. Логически случайной (собственно выполнимой) называется формула, принимающая в некоторых строках таблицы значение « 1» , а в некоторых – « 0» .
Пример: Составить таблицу истинности логического выражения: D = ¬ А & (B Ú C). Решение: Ù 1. Определить количество строк: на входе три простых высказывания: А, В, С поэтому n=3 и количество строк = 23 +1 = 9. 2. Определить количество столбцов: простые выражения (переменные): А, В, С; промежуточные результаты (логические операции): ¬ А - инверсия (обозначим через E); B Ú C - операция дизъюнкции (обозначим через F); а также искомое окончательное значение арифметического выражения: D = ¬ А & (B Ú C). т. е. D = E & F - это операция конъюнкции.
Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций. 3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций. A B C E F E&F 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0
Пример 2 Построим таблицу истинности для логического выражения X v Y & ¬Z 1. 2. Количество строк = 2³ + 1 = 9 Количество столбцов = 3 логические переменные + 3 логические операции = 6 3. Укажем X Y Z ¬Z Y & ¬Z X v Y & ¬Z порядок 0 0 0 1 0 0 действий: 0 0 1 0 0 0 3 2 1 0 1 1 1 X v Y & ¬Z 0 1 1 0 0 0 1 0 1 4. Нарисуем 1 0 0 1 и заполним 1 1 0 1 1 1 таблицу: 1 1 1 0 0 1
Спасибо за внимание!
Скачать презентацию ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ подготовили студенты группы ДЭЭ-106 Беляева
prez.pptx