Т А Матвеева Курс высшей математики Часть 2

Т. А. Матвеева Курс высшей математики Часть 2 УГТУ 2002 г.

Лекция 3* Формула Тейлора 1. Теорема Тейлора 2. Оценка остаточного члена 3. Разложение по формуле Маклорена некоторых функций 4. Приложения формул Тейлора и Маклорена 2

1. 1. Теорема Тейлора-1715 г. (англ. математик, 1685 -1731 г. ) Т Если f(x) имеет в некоторой окрестности точки а производные до (n+1) порядка включительно, 3

Тогда: *) где **) 4

Таким образом где многочлен Тейлора, остаточный член. 5

Замечание. Формула **) дает остаточный член в форме Лагранжа (французский математик, 1796 -1819) форма Пеано 6

Частные случаи формулы Тейлора I. Формула Маклорена (а=0)- шотл. математик, ученик Ньютона, совр. Тейлора. ***) где 7

Так как - многочлен порядка n. По формуле Тейлора любой многочлен можно представить в виде многочлена по степеням (x-a). 8

2. Оценка остаточного члена. Пусть f(x) такова, что Рассмотрим 9

Так как Формулу Тейлора можно использовать для приближенных при вычислений с любой наперед заданной степенью рядов) (см. теорию точности. Остаточный член может быть сделан сколь угодно малым, путем увеличения n, если f(x) обладает указанным выше свойством. 10

3. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций. Итак а = 0; По формуле ***) 11

Рассмотрим окрестность точки x = 0. 12

Нечетная функция sinx разложена по нечетным степеням x! 13

Четная функция cos x разложена по четным степеням 14 x!

15

16

Частный случай -формула бинома Ньютона 17

4. Приложения формул Тейлора и Маклорена. Для вычисления приближенных значений функции. абсолютная погрешность приближенного равенства 18

Нужно уметь оценить абсолютную погрешность, т. е. получать неравенство степень точности приближенного равенства Абсолютная погрешность не превосходит 19

Пример. Вычислить значение e c точностью Решение. Рассмотрим функцию Разложим ее по формуле Тейлора порядка n в точке Положим 20

Далее ищем наименьшее n, удовлетворяющее неравенству 21

Окончательно Ответ: 22

Для аппроксимации функции многочленом. Частный случай Справа - линейная функция Такая замена наз. линеаризацией функции 23

Геометрический смысл линеаризации y = f(x) y y = f(a)+f '(a)(x-a) f(a) M a Дуга кривой заменяется отрезком касательной в окрестности точки а x 24

Для вычисления пределов. Пример. Решение. 25