Т. А. Матвеева Курс высшей математики Часть 1

Т. А. Матвеева Курс высшей математики Часть 1 УГТУ-УПИ 2006 г.

Лекция 2 Алгебра матриц I. Операции над матрицами 2. Обратная матрица 3. Решение матричных уравнений 4. Невырожденные системы n линейных уравнений с n неизвестными 2

1. Операции над матрицами Определим несколько отношений и операций над матрицами. Пусть - матрицы размера I. Равенство матриц II. Сложение матриц Результатом сложения матриц А и В называется матрица С, элементы которой являются суммой соответствующих элементов исходных матриц. 3

III. Умножение матрицы на число IV. Умножение матриц Здесь: 4

Правило умножения матриц 1. Перемножать можно лишь матрицы согласованных размеров (число столбцов матрицы равно числу строк матрицы ). 2. Размер матрицы С равен произведению числа строк матрицы А на число столбцов матрицы В, т. е. (m n). 3. Чтобы получить элемент матрицы произведения , расположенный на пересечении i-ой строки и j–го столбца следует перемножить соответственные элементы i-ой строки матрицы и j –го столбца матрицы и найти сумму полученных произведений. 5

Пример. 1. 2. 6

7

Свойства операции сложения Рассмотрим матрицы размера (m n) 1. 2. (коммутативность сложения). (ассоциативность сложения). Свойства операций умножения на число и умножения матриц (коммутативность умножения в 1. общем случае не выполняется). матрицы А и В называются Если перестановочными. 8

Примеры перестановочных матриц 2. (ассоциативность умножения). 3. (дистрибутивность умножения). 4. (дистрибутивность умножения). 5. 6. 7. 9

2. Обратная матрица Определение. Матрица называется обратной матрице А , если квадратные матрицы. Определение. Если матрица А называется невырожденной (вырожденной). 10

Т (существования и единственности обратной матрицы). Для всякой невырожденной матрицы существует и единственна обратная матрица где присоединенная матрица – составлена из алгебраических дополнений элементов матрицы А. Доказательство а)Существование. По условию … 11

Убедимся, что по формуле находится именно обратная матрица. Вычислим произведение 12

Аналогично Таким образом, действительно 13

б)Единственность (разобрать по книге). Пример. Решение. 4. 1. 2. 3. 14

3. Решение матричных уравнений Пусть А– известная квадратная матрица порядка n , В– известная матрица размера (n m) , X– неизвестная матрица размера (n m). – матричное уравнение Если А– невырожденная матрица решение. Домножим уравнение слева на 15

Аналогично ставятся и решаются задачи для уравнений 4. Системы n линейных уравнений с n неизвестными (*) 16

Обозначим - столбец неизвестных – матрица коэффициентов перед неизвестными – столбец свободных членов. 17

(*) (**) Если А– невырожденная матрица, существует единственное решение матричного уравнения (1) или в поэлементной записи (2) 18

Здесь - главный определитель системы - определитель, главного … полученный из Формулы (2) называются формулами Крамера. Подробнее 19

Вывод. Если главный определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то существует и единственно решение такой системы. Оно может быть найдено одним из трех способов: 1. матричным способом, 2. по формулам Крамера, 20

Лекция 2 Алгебра матриц I. Основные операции над матрицами и их свойства 2. Обратная матрица 3. Решение матричных уравнений 4. Невырожденные системы n линейных уравнений с n неизвестными 21

МИКРОТЕСТ 2 1. Квадратную матрицу A 4 -го порядка (n-го) умножили на число k 0. Во сколько раз увеличился определитель матрицы A? 2. Размерность матрицы А - 4 х1, B - 1 х4. Могут ли матрицы A и B быть перестановочными? 3. Выделите два требования к матрице А для того чтобы у нее существовала обратная матрица. 4. Дана система из 11 линейных уравнений с 11 неизвестными. Сколько определителей нужно будет вычислить при решении этой системы методом Крамера? 22

4. 1) Написать решение уравнения ХA=B. 2) Можно ли использовать предложенный способ для решения матричного уравнения A 4. x 2*X 2 x 4=B 4 x 4 (пояснить)? 3) Какой размерности должна быть матрица A для того, чтобы существовало решение уравнения A*X 2 x 4=B 2 x 4? 23