Т А Матвеева Курс высшей математики Часть 1

Т. А. Матвеева Курс высшей математики Часть 1 УГТУ-УПИ 2004 г.

Лекция 10 1. Линейные пространства 2. Примеры линейных пространств 3. Примеры нелинейных пространств 4. Линейная зависимость элементов линейного пространства 2

1. Линейные пространства Определение 1. Множество R элементов любой природы …, называется линейным пространством, если: и т. е. определены операции суммирования и умножения на число. 3

III. Правила (I) и (II) обладают свойствами: 4

2. Примеры линейных пространств Пример 1. Множество всех геометрических векторов. Его элементы - геометрические векторы Выполняется ли правило I определения линейного пространства? 5

Рассмотрим, в частности, множество R 2. (геометрические векторы плоскости). Если Правило I – выполняется. Выполнение правил II, III очевидно. 6

Вывод. R 1– множество всех геометрических векторов на прямой, R 2– множество всех геометрических векторов на плоскости, R 3 – множество всех геометрических векторов в пространстве – являются линейными пространствами. 7

Пример 2. Координатное пространство Rn (пространство строк). Числа – координаты элемента – строка. 8

Правило I выполняется: Если то Правило II выполняется: 9

Правило III выполняется, в частности: Таким образом, пространство строк является линейным. 10

Пример 3. Множество Pn многочленов, степень которых не превосходит натурального n. Пусть для определенности n=3. 11

Правила I, II – обычные алгебраические правила. Правило I: Правило III – выполняется. Pn – линейное пространство. 12

Пример 4. Множество на. всех функций , непрерывных Правила I и II выполняются по законам математического анализа. Выполнение правила III очевидно. 13

Пример 5. Множество всех матриц размера. Элементы – матрицы размера Правила I и II введены в Лекции № 2: правило суммирования матриц одного размера, правило умножения матрицы на число. 14

Для этих правил выполняются 8 свойств, в том числе ( в матрице m строк, n столбцов) 15

3. Примеры нелинейных пространств Пример 1. Множество всех геометрических векторов за исключением векторов, коллинеарных некоторой прямой. 16

– векторы, симметричные относительно L. – не является линейным пространством, так как не выполняется правило I. 17

Пример 2. Множество всех многочленов, степень которых точно равняется n. Так для n=3 : Следовательно, не является линейным пространством, так как не выполняется правило I. 18

Пример 3. Множество многочленов степени меньшей или равной n с положительными коэффициентами. Вновь для n=3: Следовательно, не выполняется правило II и является линейным пространством. не 19

4. Линейная зависимость элементов линейного пространства Определение 2. Линейной комбинацией элементов называется выражение вида где числа. – произвольные вещественные 20

Определение 3. Элементы называются линейно независимыми, если равенство выполняется лишь в случае, когда все коэффициенты равны 0. 21

Определение 4. Элементы называются линейно зависимыми, если равенство возможно, когда среди коэффициентов имеется хотя бы один, отличный от нуля. 22

Свойства линейной зависимости 1. Если среди элементов есть нулевой – система элементов линейно зависима. 2. Если часть элементов линейно зависима, то и все элементы линейно зависимы. 3. Элементы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных. 23

Пример. Рассмотрим матрицу . Ее строки – элементы координатного пространства R 4 (пространства строк). Являются ли линейно зависимыми? 24

линейно зависимы. 25

Лекция 11 1. Ранг матрицы. Базисный минор 2. Элементарные преобразования матрицы 3. Размерность и базис линейного пространства 4. Примеры базисов конкретных линейных пространств 5. Переход от одного базиса к другому 6. Связь координат элемента линейного пространства в старом и новом базисе 26

1. Ранг матрицы. Базисный минор Пусть А – матрица размера Зафиксируем k строк и k столбцов. Определение. Элементы, стоящие на их пересечении образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель такой матрицы называется минором k-го порядка матрицы A и обозначается символом Mk. 27

Пример. 28

Определение. Ранг матрицы – наивысший порядок миноров, отличных от нуля. Обозначение В предыдущем примере все 29

Определение. Минор порядка , отличный от нуля, называется базисным минором. В примере: – базисный минор. 30

Определение. Строки и столбцы базисного минора называются базисными. В примере: – базисные строки. 31