Схемы как средства организации мышления в процессе

«Схемы как средства организации мышления в процессе обучения математике. Часть 2. (Анализ итогов заочного этапа XVI Ломоносовского турнира в секции математики 5 -11 классы)»

Структура заданий и их оценивание Количество заданий Часть 1 Часть 2 Форма ответа Оценивание 5 4 кода (1, 2, 3 и 4) только один верный Верный ответ – 1 балл; неверный – 0 баллов 10 Свободный ответ Целое число или конечная десятичная дробь без единиц измерения (!) Верный ответ – 2 балла; неверный – 0 баллов

Идеи решения некоторых задач 5 класс 5. Маша говорит правду только один день в неделю. Однажды она сказала: "Я лгу по понедельникам и вторникам". На следующий день она сказала: "Сегодня или четверг, или суббота, или воскресенье". Еще на следующий день она сказала: "Я лгу по средам и пятницам". В какой день недели Маша сделала первое свое заявление? 1) вторник 2) четверг 3) пятница 4) воскресенье

Решение. Краткая запись условия: 1 – я лгу по ПН и ВТ 2 – сегодня или ЧТ, или СБ, или ВС 3 – я лгу по СР и ПТ 1 и 3 не может говорить правду в ЧТ, в СБ и в ВС, так как 1 и 3 будут правдой. Значит, заявление 2 всегда ложно. Перебор: правду говорит в ПН, ВТ, СР или ПТ, т. е. четыре варианта. Вывод: правду говорит во вторник (3 -й день), а первое заявление - в воскресенье.

15. На Новогоднем празднике дети пытались угадать, сколько подарков в мешке у Деда Мороза. Предлагались следующие варианты: 41, 46, 60, 45 и 55. Все эти варианты были неверные, причем отличались от правильного ответа на 8, 12, 7, 2 и 7 (порядок необязательно соответствует порядку исходных чисел, а также неизвестно: угадываемое число на столько больше или меньше). Сколько подарков в мешке у Деда Мороза? Если возможны несколько вариантов ответов, то в бланке укажите их сумму.

Решение. Умение выдвигать гипотезы, подмечая закономерности. Варианты: 41, 46, 60, 45 и 55. Отличия: на 8, 12, 7, 2 и 7. Дважды отличие на 7, но при этом среди предположений нет одинаковых вариантов. Какой вывод можно сделать?

Одно из предположений на 7 больше, а другое – на 7 меньше, т. е. разница между ними 14. Возможны два варианта: 1) 46 и 60, тогда угадываемое число (количество подарков) – 53. 2) 41 и 55, угадываемое число – 48. Проверка отличий приводит только к одному верному ответу. Ответ. 53.

6 класс 10. Вес соснового бруска 27 кг, а дубового бруска – 45 кг. На весы положили 10 брусков, их общий вес оказался равным 396 кг. Сколько было дубовых брусков?

Идея: перебор по последней цифре. • Если количество дубовых брусков нечетно, то число сосновых брусков должно равняться трем. 27 3 + 45 7 = 81 + 315 = 396 • Если количество дубовых брусков четно, то число сосновых брусков должно равняться восьми. 27 8 + 45 2 = 216 + 90 ≠ 396 Ответ. 7

12. За круглым столом сидят 14 человек – рыцари (которые всегда говорят правду) и лжецы (всегда лгут). Каждый из сидящих за столом произнес: "Напротив меня сидит лжец". Сколько всего лжецов сидит за столом?

Решение. В каждой паре сидящих напротив друга – один рыцарь и один лжец. Ответ. 7 лжецов.

7 класс 4. Скорость течения реки от А до В составляет 3 км/ч, а от В до С — 1 км/ч, АВ = 14 км, ВС = 15 км. Катер плыл по течению от А до В на 15 минут меньше, чем от В до С. Определите собственную скорость катера. 1) 10 км/ч 2) 11 км/ч 3) 12 км/ч 4) 13 км/ч

•

14. Сизиф обязан каждый день втаскивать большой камень на вершину горы. В первый день он потратил на подъем в гору и спуск с нее 7 часов. Эта работа утомительна, и в каждый следующий день он поднимается вдвое медленнее, чем в предыдущий, но зато спускается вдвое быстрее. Сколько времени он потратил на подъем и спуск в третий день, если во второй день ему понадобилось 8 часов?

П С 2 С 2 П 5 Решение. Половина спуска – 2 часа, тогда С – 4 часа, П – 3 часа. Третий день: 4 П + С/4 = 4 3 + 1 = 13. Ответ. 13.

8 класс •

•

15. На покраску большого деревянного куба размером 2014 ушел 1 кг краски. Покрашенный куб распилили на кубики размером 1 1 1. Сколько ещё килограммов краски необходимо для покраски неокрашенных граней маленьких кубиков?

Решение. Чтобы получить маленькие кубики, необходимо сделать 2013 параллельных распилов в каждом из трех перпендикулярных направлений. При таком распиле красить надо две грани размером 2014. 2013 3 2 граней – х кг 6 граней - 1 кг. Ответ. 2013.

9 класс 11. Окружность, проходящая через вершины А, В, С ромба ABCD, пересекает продолжение его стороны AD в точке M. Найдите площадь ромба ABCD, если AB=5, DM=6.

Решение. A 5 D B 6 K M C Ответ. 20.

12. Валера выкладывает «домики» из спичек (на рисунке изображены такие домики в два и три этажа). Сколько спичек понадобится Валере, чтобы построить дом из 10 этажей?

Решение. Определим взаимосвязь между количеством спичек и количеством этажей: 1 этаж: 1 + 2 спички 2 этажа: (1+2)+3+4 спичек 3 этажа: (1+2+3+4)+5+6 спичек … 10 этажей: (1+2+…+18)+19+20=210. Ответ. 210.

10 класс 6. Вычислите: (2 - 5) + 2 = -1 Ответ. -1.

12. Перед вами четыре двери, на каждой из них написано по одному утверждению. Известно, что за каждой дверью находится либо дракон, либо несметные сокровища (общее число драконов и сокровищ не регламентировано; может быть, там везде драконы, а может, везде сокровища). Что именно находится за дверью, зависит от надписи на ней (за дверью сокровища тогда и только тогда, когда надпись истинна, дракон ‑ тогда и только тогда, когда надпись ложна). Какую дверь (по номеру) нужно открыть, чтобы не попасть в лапы дракона? Если такой двери нет, напишите в ответе 0.

Дверь 3: ложь. Дверь 2: ложь. Дверь 4: ложь. Дверь 1: правда. Ответ. 1.

11 класс 13. В теннисном клубе 189 членов: 8 состоят в клубе меньше трёх лет, 11 моложе 20 лет, 70 носят очки, 140 ‑ мужчины. Какое наименьшее возможное число членов клуба удовлетворяет сразу четырём условиям: состоят в клубе не меньше трёх лет, их возраст не меньше 20 лет, носят очки и являются мужчинами?

Решение. Не меньше трех лет в клубе – 181 Возраст не меньше 20 лет – 178 Носят очки – 70 Мужчины – 140 остаток 8 11 119 49 Принцип наихудшего варианта: 70 – 49 = 21 21 – 11 = 10 10 – 8 = 2. Ответ. 2.

15. Клим выкладывает «домики» из спичек (на рисунке изображены такие домики в два и три этажа). Сколько этажей будет в «домике» , построенном из 11 325 спичек?

•

Благодарю за внимание и интерес к математике!