Свойства степенных рядов Теорема Пусть радиус сходимости

Свойства степенных рядов • Теорема. Пусть радиус сходимости степенного ряда равен R. Почленно дифференцируя и интегрируя этот ряд получим соответственно ряды и радиусы сходимости которых также равны R.

• Замечание. Интегрирование производится на отрезке от 0 до x. • Следствия. 1. Почленно дифференцируя и интегрируя степенной ряд любое число раз, получаем степенные ряды с одними и теми же радиусами сходимости. 2. Степенной ряд общего вида можно дифференцировать и интегрировать почленно сколько угодно раз в любом замкнутом промежутке, содержащемся внутри интервала сходимости.

Разложение функций в степенные ряды • Теорема. Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале x 0 – r < x 0 + r, может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней ряд Тейлора:

• если в этом интервале выполняется условие: где Rn(x) - остаточный член формулы Тейлора, c = x 0 + Q(x - x 0), -1

• Если в некотором интервале, содержащем точку х0 выполняется неравенство f(n)(x) < M, где M положительная постоянная, то функция f(x) разложима в ряд Тейлора в этом интервале. Сумма ряда Тейлора равна f(x) в интервале его сходимости.

• Приведем разложения в ряд Маклорена следующих функций: x ;

x ; Последнее разложение имеет место: • при m 0, если – 1 x 1; • при – 1 m 0, если – 1 < x 1; • при m -1, если 1 x 1.

-1 < х 1 -1 х 1.

Пример • Разложить • В разложении: ( x ), заменим x на в ряд по степеням x. . Получим: ( x ). • При этом радиус сходимости не изменится, т. к. первый ряд сходится при всех x.

Некоторые приложения степенных рядов • Используя разложения функций в ряд Маклорена можно получить приближенные значения функций, значения пределов функций, можно вычислять приближенно определенные интегралы, интегрировать приближенно дифференциальные уравнения.

Пример • Найти • Решение. Заменив и sinx их разложениями в ряды Маклорена, получим:

:

Темы, выносимые на самостоятельное изучение • Тригонометрические ряды и их свойства, • Ряды Фурье, • Разложение в ряд Фурье.

Литература • ШИПАЧЕВ В. С. Высшая математика. М. : Высшая школа, 1998. • Виноградова И. А. , Олехник С. Н. , Садовничий В. А. Математический анализ в упражнениях и задачах (числовые и функциональные ряды). М. : Факториал, 1996. • Шмелев П. А. Теория рядов в задачах и упражнениях. - М. : Высшая школа, 1983.