Свойства логарифмов Алгебра и начала анализа,

Свойства логарифмов Алгебра и начала анализа, 11 класс, УМК А. Г. Мордкович

Цели • Изучить свойства логарифмов • Вырабатывать умения и навыки преобразования логарифмических выражений

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число а , чтобы получить число b. Повторим Определение логарифма 0 , 1 , 0 , log baaгдеba ba

а аlog 1 log а с ааlog. Повторим 1 0 с

Свойства логарифмов Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чиселcbbc aaа logloglog Доказательство xbc аlog ybаlog zc аlog bca x ba y ca z xzy aaa Обозначим: xzy Ч. т. д

Например2 log 32 log 27 log 227 log 54 log 33333 264 log 16 log 4 log

Свойства логарифмов Теорема 2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителяcb c b aaа logloglog Доказательство x c b а log ybаlog zc а log cb a x ba y ca z zyx aaa: Обозначим: zyx Ч. т. д

Например115 log 2 log 15 log 2 15 log 5, 7 log 22222 17 log 5 35 log 5 log 35 log

Свойства логарифмов Теорема 3. Если а и b – положительные числа, причём а ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенствоbrb a r а loglog Доказательство xb r аlog ybаlog rx ba ba y ryx aa Обозначим: ryx Ч. т. д ryx aa

Например6 log 26 log 36 log 2 2 22 364 log 8 log 2 44 Краткая формулировка: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.

хх22 2 log ? Верно ли равенство? Нет, т. к. при х <0 левая часть равенства определена, а правая не определена. хх 2 2 2 log 2 log Znхnх a n а , log

Свойства логарифмов Теорема 4. Равенство где а >0 , а ≠ 1, t>0, s>0, справедливо тогда и только тогда, когда s = t. , loglog st aa Это является достаточно очевидным следствием монотонности логарифмической функции.

Примеры применения свойств. Пример 1. t. z, y, чисел а сонованию по логарифмычерез )1, 0(log Выразить. емсоотношени связаны tz, y, х, числа ныеположитель что Известно, 3 3 aax tyz x a Решение. tzy tyz x aaa aaa log 31 log 3 log logloglog log)(logloglog

Примеры применения свойств. Пример 2. . 75, 6 log Вычислить. 2 log что Известно, 33 a Решение. ; 2 3 4 27 4 3 675, 6 2 3 . 232 log 23 2 log 3 log 2 3 log 75, 6 log 3 2 33 3 23 33 a

Список используемых источников • Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/А. Г. Мордкович. – 11 -е изд. , стер. – М. : Мнемозина, 2010. – 399 с. : ил.