СВОЙСТВА ФУНКЦИИ Алгебра 9 класс Понятие функции

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ Алгебра 9 класс

Понятие функции Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у(х). При этом х называют независимой переменной или аргументом , а у – зависимой переменной функцией или. y = f(x) y=g(x) y=s(t)

Область определения и множество значений функции y = f(x) Областью определения функции называют множество всех значений, принимать ее аргумент. которые может Обозначается D(y): х. Множество значений (или область функции – это множество всех переменной у. Обозначается E(y): у- значений) значений

Способы задания функции: • аналитический помощью формулы); (с • графический помощью графика); (с • табличный помощью таблицы значений); (с • словесный (правило задания функции описывается словами).

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ монотонность наибольшее и наименьшее значения ограниченность свойства функции непрерывность выпуклость четность

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ МОНОТОННОСТЬ Возрастающая Функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве Х, если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(х1) < f(х2). f(x 2) f(x 1) х1 x 2 Убывающая Функцию у = f(х) называют убывающей на множестве Х, если для любых двух точек х1 и х2 множества Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(х1) >f(х2). f(x 1) f(x 2) x 1 x 2

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ Число m называют наименьшим значением функции у = f(х) на множестве Х, если: 1) в Х существует такая точка х0, что f(х0) = m. 2) для всех х из Х выполняется неравенство f(х) ≥ f(х0). Число M называют наибольшим значением функции у = f(х) на множестве Х, если: 1) в Х существует такая точка х0, что f(х0) = M. 2) для всех х из Х выполняется неравенство f(х) ≤ f(х0).

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОСТЬ Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на промежутке Х сплошной, т. е. не имеет проколов и скачков. Задание: Определите, на каком из рисунков изображен график непрерывной функции. подумай 1 правильно 2

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ЧЕТНОСТЬ Говорят, что множество Х симметрично относительно начала координат, если множество Х таково, что (- х) Х при любом х Х. Четная функция Нечетная функция Функция y = f(x) называется четной, если область ее определения есть множество, симметричное относительно начала координат, и если f (-x) = f (x) при любом х Х. Четная функция симметрична относительно оси ординат. Функция y = f(x) называется четной, если область ее определения есть множество, симметричное относительно начала координат, и если f (-x) = f (x) при любом х Х. Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ВЫПУКЛОСТЬ ØФункция выпукла вниз на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка. ØФункция выпукла вверх на промежутке Х, если соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОСТЬ ØФункцию у = f(х) называют ограниченной снизу на множестве Х, если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа. у Функцию у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве Х, если все значения функции на множестве Х меньше некоторого числа. у х х

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ АЛГОРИТМ ОПИСАНИЯ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ ØОбласть определения ØОбласть значений ØЧетность ØМонотонность ØНепрерывность ØОграниченность ØНаибольшее и наименьшее значения ØНули функции ØВыпуклость

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ОПИШИТЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ: Øу= kx + m – линейная функция Øу = kx 2 – квадратичная функция Øу = k/x – обратная пропорциональность Øу = | х | Øу = ах2 + bх + с – квадратичная функция

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ 1. D(f) = (-∞; +∞); 2. E(f) = (-∞; +∞); 3. ни четная, ни нечетная; 4. y = kx + m (k ≠ 0) возрастает при k > 0, убывает при k>0 k < 0; 5. непрерывная 6. не ограничена ни снизу, ни сверху; 7. нет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 8. y = 0, при 9. о выпуклости говорить не имеет смысла. k<0

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ у = kх2 при k > 0 < 1. D(f) = (-∞, +∞); 2. E(f) = (-∞, 0]; Е(f) [0, +∞); 3. четная; четная 4. убывает на луче (-∞, 0], [0, +∞), возрастает на луче [0, +∞); (-∞, 0]; 5. непрерывна; 6. ограничена снизу, не ограничена сверху; не ограничена снизу, ограничена сверху; 7. унаиб не 0, унаим не существует; = существует, унаим = 0; 8. y = 0 при х = 0 9. выпукла вниз. вверх.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. при k > 0 при k < 0 D(f) = (-∞, 0)U(0, +∞); Е(f) = (-∞, 0)U(0, +∞); четная убывает на на луче (-∞, 0)на на возрастает луче (-∞, 0) и и луче (0, +∞); нет ни наименьшего, ни наибольшего значений; непрерывна на луче (-∞, 0) и на луче (0, +∞); выпукла вверх при х < 0 и > выпукла вниз при х > 0; < ограничена ни сверху при х < 0, >0, ограничена снизу при х > 0; < с осями координат не пересекается.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ФУНКЦИЯ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. D(f) = [0, +∞); Е(f) = [0, +∞); ни четная, ни нечетная; возрастает на всей области определения; непрерывна; ограничена снизу; унаим = 0, унаиб = не существует; у = 0 при х = 0; выпукла вверх. y x

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ФУНКЦИЯ у = |х| 1. D(f) = (-∞, +∞); 2. Е(f) = [0, +∞); 3. четная; 4. убывает на луче (-∞, 0], возрастает на луче [0, +∞); 5. непрерывна; 6. ограничена снизу, не ограничена сверху; 7. унаим = 0, унаиб = не существует; 8. у = 0 при х = 0; 9. можно считать выпуклой вниз.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ФУНКЦИЯ у = ах2 + bх + с при а < 0 при а > 0 1. 2. 3. D(f) = (-∞, +∞); Е(f) = (-∞; ; у0 ] [у0 +∞) убывает на луче 4. 5. 6. 7. возрастает на луче ; ограничена снизу; сверху; унаим = у0 существует, унаиб = у0; не , унаиб не существует; непрерывна; выпукла вниз; вверх. ,