СВЕРТОЧНЫЕ КОДЫ СВЕРТОЧНЫЕ КОДЫ Сверточные коды (СК)

СВЕРТОЧНЫЕ КОДЫ

СВЕРТОЧНЫЕ КОДЫ Сверточные коды (СК) относятся к непрерывным кодам. Здесь нет деления на кодовые комбинации как в блочных. Выходные элементы, в данном случае, зависят от ряда предшествующих информационных элементов. Можно сказать, что передаваемая последовательность является одним полубесконечным кодовым словом. Свёрточный код описывается тремя целыми числами (n, k, K). Отношение имеет такой же смысл скорости кода, как и для блочного, но n не определяет длину блока. В данном случае k элементов, поступающих в кодер, порождают n элементов на его выходе. K – длина кодового ограничения, оно определяется числом разрядов (ячеек памяти) в кодирующем регистре сдвига. Кодовое ограничение определяет мощность и сложность кода. Выходные элементы СК зависят не только от текущего входного элемента, но и от (K-1) предыдущих. Т. е. СК имеет память.

Кодер сверточного кода (2. 1. 3) Рассмотрим простейший сверточный код (2. 1. 3). В данном случае каждому входному элементу будет соответствовать 2 выходных, полученных посредством суммирования текущего и (K-1=3 -1) двух предыдущих элементов.

Кодер состоит из 3 -х разрядного регистра 1 ячейка 0 ячейка связана ис1 сумматором 2 ячейка связана Вход со 2 сумматором и со 2 Двух сумматоров сумматором по модулю два Коэффициенты связи ячеек с сумматорами : g 0=(11) – нулевая ячейка связана и с 1 и со 2 сумматором g 1=(01) – первая ячейка связана и со 2 сумматором g 2=(11) – вторая ячейка связана и с 1 со 2 сумматором Выход

Значения выходного вектора для текущего элемента и предшествующих , можно найти поразрядно суммируя (по модулю два) коэффициенты ячеек, содержащих единицы. Например: 1 1 0 Вход Выход 1 1 0 0 0

Полиномиальное представление связей. Вход X 0 X 1 X 2 Выход

Матицы транспонированными. коэффициентов и полиномов являются взаимно В этом случае выходной вектор можно получить путем умножения входного вектора на транспонированную матрицу полиномов

Таблица соответствия содержимого ячеек регистра и выходного вектора

Импульсная характеристика кодера – реакция на единицу, за которой следует все нули. 0 1 Вход Выход 1

Например: На вход кодера поступает последовательность 1 0 1

Диаграмма состояний кодера Сверточный кодер принадлежит к классу устройств называемых конечными автоматами. Конечные автоматы это системы обладающие памятью о прошлых событиях (сигналах). При этом число состояний, в которых может находиться система - конечно. Состояние отражает информацию о прошлых событиях и определяет возможное поведение системы в будущем. Состояние должно содержать минимум информации о прошлом на основание которой, совместно с текущими входными данными можно определить данные на выходе. Из каждого текущего состояния возможны переходы лишь в некоторые из состояний и не возможны в другие. Для СК со скоростью 1/n, состояний могут быть представлены содержимым (К -1) младших ячеек регистра. Поступление следующего элемента будет определять как переход в следующее состояние, так и элементы на выходе кодера.

Диаграмма состояний кодера 0 00 1 11 00 00 Состояние системы 0 11 0 01 1 00 1 10 11 1 01 0 10 Вход Выход

Диаграмма состояний кодера 0 00 1 11 00 0 11 0 01 1 00 1 10 11 1 01 0 10 Вход 0 0 Выход

Диаграмма состояний кодера 0 00 1 11 00 0 11 0 01 1 00 1 10 11 1 01 0 10 Вход 0 0 Выход

Диаграмма состояний кодера 0 00 1 11 00 0 11 0 01 1 00 1 10 11 1 01 0 10 Вход 1 0 Выход

Диаграмма состояний кодера 0 00 1 11 00 0 11 0 01 1 00 1 10 11 1 01 0 10 Вход 1 0 Выход

Решетчатая диаграмма Вход 0 0 1 1 1 N сост: 0 1 2 3 Элементы передаваемой последовательности Выход Первый На входе кодера: 0 1 На выходе кодера: 00 11

Решетчатая диаграмма Вход 00 00 0 0 1 1 1 N сост: 0 1 2 3 Элементы передаваемой последовательности Выход Первый Второй 00 11 На входе кодера: 1 0 На выходе кодера: 11 00

Решетчатая диаграмма Вход 11 0 00 0 0 1 1 1 N сост: 0 1 2 3 Элементы передаваемой последовательности Выход Первый Второй 00 11 На входе кодера: 1 0 На выходе кодера: 10 01

Решетчатая диаграмма Вход 11 0 00 0 0 N сост: 0 1 2 3 Элементы передаваемой последовательности 1 0 1 Выход Первый Второй Третий Четверт Пятый 00 11 0 01 1 10 10 1 На входе кодера: На выходе кодера: 11 00 01 01 10 10 11 00 01 00 11 00 01 11 10 01

Решетчатая диаграмма Вход 0 1 1 0 0 0 1 1 1 N сост: 0 1 2 3 Элементы передаваемой последовательности Выход Первый Второй Третий Четверт Пятый На входе кодера: 1 0 0 На выходе кодера: 11 01 00 01 11

Оценка исправляющей способности сверточного кода Для блочных кодов исправляющая способность есть номинальное количество ошибок в блоке длиной n, которое может быть гарантированно исправлено. Данная способность однозначно определяется кодовым расстоянием: . Для СК исправляющая способность не может быть задана так однозначно. Данная способность определяется через просвет или свободное расстояние кода по аналогичной формуле: Просвет или свободное расстояние кода Причём, при декодировании по принципу максимального правдоподобия СК способен исправить заданное количество ошибок в пределах нескольких длин кодовых ограничений ( «несколько» - это от 3 до 5 К). Точное значение зависит от распределения ошибок.

Просветом или свободным расстоянием называется минимальный вес пути, начинающегося и заканчивающегося в нулевом состоянии. (df =5) 2 2 (d =6) 2 2 0 1 1 (d =6) 1) 100 2) 1100 3) 10100 d=5 d=6 1 1 Для рассматриваемого кода (2. 1. 3) минимальный просвет df =5, значит он может исправить две любые ошибки.

Сверточные коды используемые в системах связи В GSM используют код (2. 1. 5) с полиномами: g 1(x)=1+x 3+x 4, df = 7 g 2(x)=1+x+x 3+x 4. В системах спутниковой связи (2. 1. 7): g 1(x)=1+x 2+x 3+x 5+x 6, df = 10 g 2(x)=1+x+x 2+x 3+x 6.

Зная вероятность ошибки в дискретном симметричном канале p, можно оценить верхнюю границу вероятности ошибки декодирования при использовании алгоритма Витерби: – это для рассмотренного СК (2. 1. 3).

Декодирование сверточных кодов. Алгоритм декодирования Витерби Задача декодирования сверточного кода заключается в выборе пути вдоль решетки наиболее похожего на принятую последовательность. В нашем случае (2, 1, 3) каждому информационному элементу соответствует кодовое слово из n=2 элементов. Каждый путь вдоль решетки складывается из ветвей соединяющих узлы. Каждой ветви решетки соответствует кодовое слово из двух бит. Каждую ветвь на каждом периоде можно пометить расстоянием Хемминга между полученным кодовым словом и кодовым словом, соответствующим ветви. Складывая расстояния Хемминга ветвей, составляющих путь, получим метрику соответствующего пути. Данная метрика будет характеризовать степень подобия каждого пути принятой последовательности. Чем меньше метрика, тем более похожи путь и принятая последовательность. Т. о. результатом декодирования будет информационная последовательность, соответствующая пути с минимальной метрикой.

Если в одно и тоже состояние входят два пути выбирается тот, который имеет лучшую метрику. Такой путь называется выжившим. Отбор выживших путей проводится для каждого состояния. В каждый момент времени в решетке существует состояний в каждое из которых может войти два пути. Таким образом, всего 8 путей. После принятия решения остается 4 выживших.

Декодирование по алгоритму Витерби Выбор выжившего пути 1 Ошибки: 1 Выбор Выбор Выбо Принятая последовательность Передаваемая последовательность: Различие в Различий выживш Сравниваем выжившего выжившего нет+различие один 00 и 00 00 10 и 000 элемент пути 00 пути 00 пути 10 на 2<3 2<4 Сравниваем предыдущем 2 00 1 Различие в 00 2 00 2 10 и 11 00 и в 11 11 11 этапе один элемента 5 11 6 11 3 два 4 11 6 11 7 + различие на 4 4 4 1 3 2 предыдущем 4 11 3 11 2 11 3 11 4 11 5 этапе 00 01 2 01 00 5 01 2 10 01 0 1 2 3 01 00 3 3 10 4 01 4 3 10 10 4 4 01 01 4 10 4 5 00 01 4 10 4 3 00 01 10 4 4 6 00 01 5 4 00 01 5 5 10 01 10 4 5 7 6 5 10 01 10 5 10 01 5 8 10 5 6 9

Систематические и несистематические сверточные коды. Систематические СК – это коды, в которых входные информационные элементы фигурируют как часть выходного кодового слова. У систематических кодов при той же длине кодового ограничения и скорости кода свободное расстояние меньше. А значит, меньше и исправляющая способностью.

Жесткая и мягкая схемы принятия решения В зависимости от того в какой форме информация поступает с выхода УПС в декодер СК различают жесткую и мягкую схему принятия решения. Если решение о значащей позиции принимается жестко « 1» или « 0» – это жесткая схема. Если УПС выдает декодеру значение квантованное более чем на 2 уровня – мягкое декодирование. Мягкая схема обеспечивает декодер большим количеством информации для принятия решения. Вместе с решением о значащей позиции передается и мера его достоверности.