Существование равновесий Нэша и смешанные стратегии Игра

Существование равновесий Нэша и смешанные стратегии

Игра «Совпадение монет» § Два игрока одновременно и независимо друг от друга кладут на стол по монете каждый, прикрывая свою монету рукой. По команде судьи они поднимают руки. Игрок 1 выигрывает, если монеты лежат по – разному, а игрок 2 выигрывает, если они лежат одинаково.

О Р О -1, 1 1, -1 Р 1, -1 -1, 1

О Р О -1, 1 1, -1 Р 1, -1 -1, 1

Определение. Игра называется антагонистической, если в ней участвуют два игрока, т. е. N={1, 2}, интересы которых противоположны: u 1(s 1, s 2)+u 2(s 1, s 2) 0 - нижняя цена игры - верхняя цена игры

Утверждение: Теорема. В антагонистической игре РН существует тогда и только тогда, когда v 0=v. В этом случае говорят, что игра имеет цену v.

Определение. Смешанная стратегия игрока i – это вероятностная мера μi на множестве его чистых стратегий si. Если все множества стратегий конечны, μi(si) является вероятностью выбора игроком i стратегии si:

Определение. Смешанным расширением игры в нормальной форме называется игра множество где смешанных стратегий игрока i; - вероятность выбора s при независимом выборе si; - ожидаемый выигрыш в исходной игре,

Определение. РН в смешанных стратегиях μ* называют РН в смешанном расширении Gm:

O P O -1, 1 1, -1 p P 1, -1 -1, 1 1 -p q 1 -q

Функция отклика (наилучшего ответа) первого игрока на действия второго:

Функция отклика (наилучшего ответа) второго игрока на действия первого: игрок 1 1 игрок 2 q 1/2 0 1/2 1 p

Б О Б 2, 1 0, 0 p О 0, 0 1, 2 1 -p q 1 -q Игра «Семейный спор» : максимум достигается при р=0 максимум достигается при р=1 выигрыш не зависит от р и равен 2/3

максимум достигается при q=0 максимум достигается при q=1 выигрыш не зависит от q и равен 2/3

Функция отклика (наилучшего ответа) первого игрока на действия второго: Функция отклика (наилучшего ответа) второго игрока на действия первого:

1 игрок 2 q игрок 1 1/3 0 2/3 1 p

«Дилемма заключенного» : 1 (М) q игрок 1 0 (C) игрок 2 p 1 (М)

Теорема Нэша. Пусть в игре множества стратегий Si игроков конечны. Тогда в игре существует РН в смешанных стратегиях.

Вычисление РН в смешанных стратегиях