Структурные методы исследования материалов Индицирование порошковых рентгенограмм 1

Структурные методы исследования материалов Индицирование порошковых рентгенограмм 1

g 2

Сфера Эвальда и обратная решетка поликристалла. 3

λ = 2 dsin(θ) a = d (h 2+k 2+l 2) sin 2 ( ) = (h 2+k 2+l 2). 4

5

Структурный фактор для кристалла с базисом Пусть в элементарную ячейку входит n атомов А 1, А 2, . . . Аn. Положение атома Аi определяется элементарными векторами а, b, c: xia + yib +zic , где 0<{x, y, z}<1, т. к. атомы расположены в пределах элементарной ячейки. Обозначим f 1. . . fn - факторы рассеяния разных атомов в ячейке. Амплитуда волны, рассеиваемой i-атомом, Ai = fi ae , где ае – амплитуда, рассеяния свободным электроном. Волна, рассеиваемая от кристалла, есть A =N fi ae, где N - число элементарных ячеек в кристалле. Разность фаз волн для атома, находящегося в начале координат и для i-го атома: i = - 2 (uih+vik+wil). Волна для всего кристалла с учетом n атомов в ячейке: A = N ае fi exp{- 2 (uih+vik+wil)} = N ае Fhkl , где Fhkl - структурный фактор. Или иначе: Fhkl = fi exp{- 2 (sxi)}, где s = (S - S 0)/ , хi - вектор, соединяющий i-атом с началом ячейки. Интенсивность: Fhkl 2 = Fhkl F+hkl = frfq exp{-2 i[h(xr-xq)+k(yr-yq)+l(zr-zq)]}. )]} Т. е. структурный фактор решетки зависит только от взаимного расположения атомов в решетке. 6

ОЦК-решетка. Координаты атомов – (000) и (1/2, 1/2) Fhkl = f{1+exp[- i(h+k+l)]}. Таким образом, если (h+k+l) = 2 n – сумма индексов плоскости четная, то F = 2 f; если же (h+k+l) = 2 n+1 – сумма индексов плоскости нечетная, то F = 0. Соответственно, интенсивность равна нулю во втором случае и 4 f 22 в первом. ГЦК-решетка. В ГЦК решетке четыре атома, координаты которых – (000), (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2). Подставляем значения {x, y, z} в Fhkl и, расписав экспоненту как exp(i ) = cos +isin. Слагаемые с sin при любых целых hkl равны 0. Для cos результат определяется четностью индексов - если все они четные или все нечетные, то каждый cos =1 и Fhkl=4 f. Если hkl разной четности, то два cos =1, а два cos = -1, т. е. F=0. Таким образом, отражения от плоскостей с индексами разной четности будут иметь интенсивность, равную нулю, а отражения от плоскостей с индексами одной четности – 16 f 2. 7

В соответствии со структурным фактором возможны только следующие наборы сумм квадратов целых чисел (сумма квадратов h, k, l): ПК: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, . . . ОЦК: 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . ГЦК: 3, 4, 8, 11, 12, 16, . . . sin 2 ( ) = (h 2+k 2+l 2). 8

9

10

Точность определения межплоскостных расстояний d: (не точнее, чем ). Продифференцируем формулу Вульфа-Брэгга = 2 dsin по dи 0 = 2 dsin + 2 dcos или d/d = - ctg . Аналогично получаем: = / tg или / = /tg. 11

Аппроксимирующие функции: cos 2 12

Если провести индицирование в предположении кубической симметрии не удается, то его проводят в предположении тетрагональной или гексагональной симметрии. Для l = 0 получаем: - для тетрагональной решетки - для гексагональной решетки. Т. е. для части линий на рентгенограммах их квадраты синусов относятся друг к другу как целые числа: 1, 2, 4, 5, 9, 10, 11, 13 (ГЦТ) 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, 16 (ГПУ). 13