СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Часть I ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЕФОРМИРУЕМЫХ

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. Часть I ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ 3 ТЕОРЕМЫ О ЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМАХ

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1. Перемещения 2. от силовых воздействий: lj /2 lj bj Sbj, i Sbj, F CS, bj lj /2 ej Scj, i cj По формуле Симпсона: Sej, i Scj, F CS, cj Intj Фj = Si Sej, F SF CS, ej CS В матричной форме: Sj, i – вектор усилий в расчётных сечениях b, c, e j-го участка в i-ом единичном состоянии системы ( от Fi = Sj, F – вектор усилий в расчётных 1 ) сечениях b, c, e j-го участка в действительном ( грузовом ) BS, j – матрица упругой податливости j-го участка состоянии системы – от заданной нагрузкипри деформации, соответствующей BS, j Sj, F

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1. Перемещения 2. от силовых воздействий: lj /2 bj Sbj, i Sbj, F CS, bj lj /2 Intj ej Scj, i cj Фj Sej, i Scj, F CS, cj Si Sej, F SF CS, ej CS В матричной форме: Sj, i – вектор усилий в расчётных сечениях b, c, e j-го участка в i-ом единичном состоянии системы ( от Fi = Sj, F – вектор усилий в расчётных 1 ) сечениях b, c, e j-го участка в действительном ( грузовом ) BS, j – матрица упругой податливости j-го участка состоянии системы – от заданной нагрузкипри деформации, соответствующей BS, j Sj, F

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1. Перемещения 2. от силовых воздействий: lj /2 bj Sbj, i Sbj, F CS, bj lj /2 Intj ej Scj, i cj Фj Sej, i Scj, F CS, cj Si Sej, F SF CS, ej CS Sj, i ––вектор усилий Sвв расчётных Si вектор усилий расчётных сечениях всех e j-го участка в i-ом единичном b, c, участков системы в i-ом единичном усилий S в расчётных1 ) состоянии Sj, F ––вектор усилий Fi = 1 ) ( от Fi = SF состоянии (системы вектор от в расчётных сечениях b, c, e всех участка в системы в j-го участков действительном ( действительномупругой податливости j-го грузовом ) BS, j ––матрица упругой податливости BS матрица системы – от заданной состоянии участка( грузовом ) состоянии – от заданной системы нагрузкипри деформации, соответствующей 0 0

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1. Перемещения 2. от силовых воздействий: lj /2 bj Sbj, i Sbj, F CS, bj lj /2 Intj ej Scj, i cj Фj Sej, i Scj, F CS, cj Si Sej, F SF CS, ej CS Si – вектор усилий S в расчётных сечениях всех участков системы в i-ом единичном усилий S в расчётных SF – вектор состоянии ( от Fi = 1 ) сечениях всех участков системы в действительном BS – матрица упругой податливости ( грузовом ) состоянии – от заданной системы нагрузки деформации, соответствующей при 0 0

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1. Перемещения 2. от силовых воздействий: lj /2 bj Sbj, i Sbj, F CS, bj lj /2 Intj ej Scj, i cj Фj Sej, i Scj, F CS, cj Si Sej, F SF CS, ej CS – вектор усилий в элементах Si – вектор усилий S в расчётных системы сечениях единичном состоянии ( от F = в i-ом i 1 ) – всех участков системы в i-ом единичном усилий S элементах – вектор в расчётных сечениях SF – вектор усилий в iв расчётных состоянии ( от F = 1 ) системы сечениях в действительном ( грузовом ) всех участков системы в состоянии – действительном BS – матрица упругой податливости от заданнойсостоянии – от заданной ( грузовом ) нагрузки – в расчётных системы элементов сечениях нагрузки деформации, соответствующей при системы при всех видах 0 0

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1. Перемещения 2. от силовых воздействий: lj /2 bj Sbj, i Sbj, F CS, bj lj /2 Intj ej Scj, i cj Добавка за счёт податливости Фупругих связей j Sej, i Scj, F CS, cj Si Sej, F SF CS, ej CS – вектор усилий в элементах системы в i-ом единичном состоянии ( от Fi = 1) – – вектор усилий в элементах в расчётных сечениях системы в действительном ( грузовом ) состоянии – – матрица упругой податливости от заданной нагрузки – в расчётных элементов сечениях системы при всех видах 0 0

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1. Перемещения 2. от силовых воздействий: lj /2 bj Sbj, i Sbj, F CS, bj lj /2 Intj ej Scj, i cj Добавка за счёт податливости упругих связей Sej, i Scj, F CS, cj Si Sej, F SF CS, ej CS – вектор реакций упругих связей в i-ом единичном состоянии – ( от Fi = 1) – вектор усилий в элементах вектор системы в i-ом единичном состоянии ( от Fi = реакций упругих связей в 1) – действительном – вектор усилий в элементах в расчётных сечениях ( грузовом ) состоянии – от заданной системы нагрузки в действительном ( грузовом ) состоянии – – матрица упругой податливости от заданной нагрузки – в расчётных элементов сечениях системы при всех видах 0 0

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1. Перемещения 2. от силовых воздействий: lj /2 bj Sbj, i Sbj, F CS, bj Scj, i lj /2 Перемещение от де. Intj формации элементов ej cj Добавка за счёт податливости упругих связей Sej, i Scj, F CS, cj Si Sej, F SF CS, ej CS – вектор реакций упругих связей в i-ом единичном состоянии ( от Fi = 1) – вектор усилий в элементах – вектор системы в i-ом единичном состоянии ( от Fi = реакций упругих связей в 1) – действительном – вектор усилий в элементах в расчётных сечениях ( грузовом ) состоянии – от заданной системы нагрузки матрица податливости упругих в действительном ( грузовом ) связей состоянии – – матрица упругой податливости от заданной нагрузки – в расчётных элементов сечениях системы при всех видах

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1. Перемещения 2. от силовых воздействий: Перемещение от деформации элементов Добавка за счёт податливости упругих связей – вектор усилий в i -ом единичном состоянии ( от Fi = 1 ) – вектор усилий в действительном ( грузовом ) состоянии – от заданной – нагрузки – матрица упругой вектор реакций податливости упругих связей в i-ом единичном состоянии системы ( от Fi = 1) – вектор усилий в элементах – вектор системы в i-ом единичном состоянии ( от Fi = реакций упругих связей в 1) – действительном – вектор усилий в элементах в расчётных сечениях ( грузовом ) состоянии – от заданной системы нагрузки матрица податливости упругих в действительном ( грузовом ) связей состоянии – – матрица упругой податливости от заданной нагрузки – в расчётных элементов сечениях системы при всех видах

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1. Перемещения от силовых воздействий: Особенности матрицы упругой податливости элементов системы При изгибе При растяжен ии (сжатии) При сдвиге Для участка постоянного сечения ( EIz, j = const, EAj = const, kty, j /GAj = const ):

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1. Перемещения от силовых воздействий: Частные случаи матриц усилий Sj, i , Sj, F и упругой податливости BS, j для участков постоянного сечения а) обе функции ( эпюры ) Sj, i и Sj, F – линейные l j bj Sbj, i Sbj, F б) одна из функций ( эпюр ) Sj, i и Sj, F – постоянная, другая – линейная l /2 j ej Sej, i Sej, F Scj, i j cj Si Si Scj, F SF SF

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1. Перемещения от силовых воздействий: Правила назначения расчётных участков и расчётных сечений: Границами расчётных участков являются 1) места изменения жёсткости сечения СS ; 2) границы грузовых участков в действительном ( F ) и единичном ( i ) состояниях 4 5 Fi = 1 K v =? K F K i С учётом только изгиба 3 2 1 e 5 b 4 c 4 e 4 b 5 c 5 e 3 b 6 e 6 b 3 e 2 m = 7 b 7 M b 2 e 1 Сечени e 7 я b 1 (1)…(16) 6 7 Назначение расчётных сечений ( для прямолинейных расчётных участков постоянной жёсткости ): 1) на незагруженном участке ( в действительном состоянии F ) – два концевых сечения ( bj и ej ); 2) на участке, загруженном распределённой нагрузкой ( в действительном состоянии F ) – три сечения ( bj, cj и ej ); 3) на участке с постоянными усилиями Si и SF – одно сечение cj ( посредине )

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА N 0, F = 25 к. Н EI 3 EA 1. Перемещения от силовых воздействий: Пример R 1, F = 32, 5 к. Н q = 10 к. Н/м F = 20 к. Н c. D 3 2 EI Требуется: составить исходные матрицы для определения угла поворота сечения 1 -1 Решение: матричная формула для вычисления перемещения: 1 1 4 м F 4 EA = 0, 5 м – 2 EI; c. D = 0, 2 м – 3 EI MF 2 ( к. Н*м ) 60 45 50 45 N 0, 1 = – 5/12 1 e 2 Схема расчётных участков и 5 сечений 6 с5 4 b 2 e 1 b с e 4 3 3 3 4 4 b 1 i=1 MF M 1 R 1, 1 = 1/8 4 M 1 1 2 3 3 1 M 1= 1 1 (м) 0, 5 0, 25 NF Rc, F N 1 Rc, 1 5 6

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1. Перемещения от силовых воздействий 2. ( продолжение ) F Ff F F qtemp F 1 qconst Fx Fv 2 = ? 3 Перемещ е-ние Di. F по варианта м нагрузок v 3 = ? u 1 = ? 1 Матрица искомых перемещений: 1 От Fn= 1 От Fi = 1 От F 2= 1 От F 1= Матрица усилий в единичных ( фиктивных ) состояниях системы: Матрица усилий в грузовых состояниях системы: Перемещения D 1 F , …, Di. F , …, Dn. F от f-го варианта нагрузок K q =? K От v-го вариан та нагрузо к F 2 От 1 -го вариан та нагрузо к От 2 -го вариан та нагрузо к От f-го вариан та нагрузо к Варианты нагрузок Определение нескольких перемещений от нескольких вариантов нагрузок:

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 2. Перемещения от тепловых воздействий ( от изменения температуры ): lj /2 lj bj Sbj, i Dt. S, bj Bt, S, bj Scj, i lj /2 cj Dt. S, cj Bt, S, cj ej Sej, i Si Dt. S, ej Bt, S – температурная податливость при деформации, соответствующей усилию S Dt. S – приращение температуры, вызывающее деформацию По формуле Симпсона: Dt. S Bt, S, ej Bt, S В матричной форме: Sj, i – вектор усилий в расчётных сечениях b, c, e j-го участка в i-ом единичном приращений температур, TS, j, – вектор состоянии системы ( от Fi = 1 ) вызывающих свободную деформацию в расчётных сечениях b, c, e j-го Bt, S, j TS, j – матрица температурной податливости j-го участка при деформации, соответствующей усилию S

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 2. Перемещения от тепловых воздействий ( от изменения температуры ): lj /2 bj Sbj, i Dt. S, bj Bt, S, bj Scj, i lj /2 cj Dt. S, cj Bt, S, cj ej Sej, i Si Dt. S, ej Bt, S – температурная податливость при деформации, соответствующей усилию S Dt. S – приращение температуры, вызывающее деформацию По формуле Симпсона: Dt. S Bt, S, ej Bt, S В матричной форме: Sj, i – вектор усилий в расчётных сечениях b, c, e j-го участка в i-ом единичном приращений температур, TS, j, – вектор состоянии системы ( от Fi = 1 ) вызывающих свободную деформацию в расчётных сечениях b, c, e j-го Bt, S, j – матрица температурной податливости j-го участка при деформации, соответствующей усилию S

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 2. Перемещения от тепловых воздействий ( от изменения температуры ): lj /2 bj Sbj, i Dt. S, bj Bt, S, bj Scj, i lj /2 cj Dt. S, cj Bt, S, cj ej Sej, i Si Dt. S, ej Bt, S – температурная податливость при деформации, соответствующей усилию S Dt. S – приращение температуры, вызывающее деформацию Dt. S Bt, S, ej Bt, S Вектор усилий в расчётных сечениях b, c, e всех участков системы в i-ом единичном состоянии ( от Fi = 1 ) Матрица температурной податливости системы при деформации, соответствующей усилию S Вектор приращений температур, вызывающих свободную деформацию в расчётных сечениях b, c, e всех участков

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 2. Перемещения от тепловых воздействий ( от изменения температуры ): lj /2 bj Sbj, i Dt. S, bj Bt, S, bj Scj, i lj /2 cj Dt. S, cj Bt, S, cj ej Sej, i Si Dt. S, ej Bt, S – Lt, i – вектор единичных ( от Fi = 1 ) усилий, температурная необходимых податливость при деформации, для определения температурных Bt – матрица соответствующей усилию S Dt. S – перемещенийтемпературы, вызывающее приращение температурной податливости системы приращений T – вектор деформацию температур Dt. S Bt, S, ej Bt, S Вектор усилий в расчётных сечениях b, c, e всех участков системы в i-ом единичном состоянии ( от Fi = 1 ) Матрица температурной податливости системы при деформации, соответствующей усилию S Вектор приращений температур, вызывающих свободную деформацию в расчётных сечениях b, c, e всех участков

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 2. Перемещения от тепловых воздействий ( от изменения температуры ): lj /2 bj Sbj, i Dt. S, bj Bt, S, bj Scj, i lj /2 cj Dt. S, cj Bt, S, cj ej Sej, i Si Dt. S, ej Lt, i – вектор единичных ( от Fi = 1 ) усилий, необходимых для определения температурных Bt – матрица температурной податливости перемещений системы приращений T – вектор температур Dt. S Bt, S, ej Bt, S Частный случай – прямолинейный участок постоянного сечения при постоянном Матрица температурной податливости по длине участка температурном режиме системы при искривлениях элементов (участков) в в плоскости x 0 z Bt, nr, z – то же, плоскости x 0 y (аналогично Bt, nr, y ) Матрица температурной податливости системы при. T удлинениях векторы неравномерных / укорочениях элементов nr, y , Tnr, z –(участков) Вектор составляющих приращений Вектор температуры по изгибающих моментов Mz высоте и ширине расчётных сечений продольных сил T 0 – вектор равномерных участков в расчётных сечениях всех составляющих участков приращений температуры в i–ом единичном cостоянии ( от F i

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 2. Перемещения от тепловых воздействий ( от изменения температуры ): lj /2 bj Sbj, i lj /2 Scj, i ej cj Dt. S, ej Dt. S Bt, S, cj Bt, S, bj Bt, S, ej y Dt 2 h 0 4 h 1 h 2 2 3 b Dt 3 Bt, S z Dt 1 1 b b 3 4 Dt 0 необходимых для определения температурных Bt – матрица температурной податливости перемещений системы приращений T – вектор температур Si Dt. S, cj Dt. S, bj Lt, i – вектор единичных ( от Fi = 1 ) усилий, Sej, i Частный случай – прямолинейный участок постоянного сечения при постоянном по длине участка температурном режиме Mz, j, i = [ Mz, cj, i ] Dtnr, y, j = [ Dtnr, y, cj ] My, j, i = [ My, cj, i ] Dtnr, z, j = [ Dtnr, z, cj ] Nj, i = [ Ncj, i ] Dt 0, j = [ Dt 0, cj ]

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 2. Перемещения от тепловых воздействий ( от изменения температуры ): Признаки границ расчётных участков: h 1 А text = – 24 o. C h 2 4 м 2 3 2 tint = + 20 o. C 1) границы грузовых участков; 2) места изменения температурного режима; 3) точки изменения высоты сечения элементов; П р и м е р места изменения материала ( F 1 = 1 4) Определить коэффициента a ). А вертикальное 1 M перемещение точким A Вспомогательное 1 h 1 = 0, 5 м ; h 2 = 0, 3 единичное состояние системы a = 12*10 – 6 ( o. C )– 1 tinit = + 10 o. C 1/3 1 N Действительное состояние системы Dt 1 Dt 0 = ( Dt 1+ Dt 2)/2 Dtnr = Dt 1 – Dt 2 = – 34 o. C Dt 1 = + 10 o. C Dt 2 = + 10 o. C Dtint = + 10 o. C; Dtext = – 34 o. C Dt 0 = – 12 o. C Dt 2 = – 34 o. C Dtnr = +44 o. C Dt 0 = – 12 o. C Dtnr = – 44 o. C 1 М 2 М Схема расчётных участков 3 М 2 N N 1 1 1/2

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 3. Перемещения от кинематических воздействий ( смещений связей ): 2 А’ 4 м 2 B B’ 0, 8 см = D(3) K 1 А – вектор реакций r смещаемых связей в i–ом единичном состоянии ( от Fi = 1) Пример Определить вертикальное перемещение точки К 2 D(1) = 1 см В матричной форме: 0, 002 = D(4) Действительное состояние системы D = 0, 5 см (2) – вектор компонент ов заданных смещений связей F 1 = 1 K R(1), 1 = – 0, 5 R(4), 1 = – 2 Вспомогательное единичное состояние R(2), 1 = – 1 R(3), 1 = – 0, 5

МАТРИЧНАЯ ФОРМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Перемещения от комбинированных воздействий: 0 Вектор единичных усилий Матрица общей податливос ти системы 0 Вектор характеристик заданных воздействий 0 Вариант: 0 Несколько (n) перемещений от нескольких (v) вариантов воздействий: Матрица характеристик заданных воздействий Матрица усилий от единичных воздействий ( Fi = 1, …, n ) по направлениям искомых перемещений Матрица характеристик заданных воздействий по вариантам ( f = 1, …, v )

ТЕОРЕМЫ О ЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМАХ Общее для всех теорем: рассматриваются два различных состояния ЛДС при механических воздействиях (силовых и/или кинематических) 1. Теорема о взаимности возможных работ ( теорема Бетти ) E. Betti, 1872 Fi Состояние i Fk k Fi , Fk – обобщённые нагрузки i–го и k–го состояний ЛДС Возможная работа внешних (внутренних) сил i -го состояния системы на перемещениях (деформациях) k -го состояния равна возможной работе внешних (внутренних) сил. Wext, ik = Wext, ki на перемещениях (деформациях) i k -го состояния Wint, ik = Wint, ki -го состояния: Д о к а з а т е л ь с т в о: = Wint, ik = –Wext, ik Wint, ki = –Wext, ki

ТЕОРЕМЫ О ЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМАХ Общее для всех теорем: рассматриваются два различных состояния ЛДС при механических воздействиях (силовых и/или кинематических) 2. Теорема о взаимности единичных перемещений ( теорема Максвелла ) J. C. Maxwell, 1864 Fi = 1 a Единичное состояние dik dki b i a Единичное состояние Fk = 1 b k Перемещение dik по направлению силы*) i -го состояния от единичной силы*) k -го состояния ( от Fk = 1 ) равно перемещению dki по направлению *) в общем случае – cилы k -го состояния от единичной силы i -го состояния ( от Fi = 1 dik =): dki обобщённой Д о к а з а т е л ь с т в о: По теореме Бетти: Wext, ik = Wext, ki Fi * dik = Fk * dki 1 * dik = 1 * dki

ТЕОРЕМЫ О ЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМАХ Zi Общее для всех теорем: рассматриваются два различных состояния ЛДС при механических воздействиях (силовых и/или кинематических) 3. Теорема о взаимности единичных реакций Zk = 1 ( теорема Рэлея ) J. W. Rayleigh =1 rik rki i Единичное состояние i k k Реакция rik i – й связи от единичного смещения k – й связи ( от Zk = 1) равна реакции rki k – й связи от единичного смещения i – й связи ( Z = rот =i r 1 ): ik ki Д о к а з а т е л ь с т в о: По теореме Бетти: Wext, ik = Wext, ki rki * Zk = rik * Zi rki * 1 = rik* 1

ТЕОРЕМЫ О ЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМАХ Общее для всех теорем: рассматриваются два различных состояния ЛДС при механических воздействиях (силовых и/или кинематических) 4. Теорема о взаимности единичных реакций и перемещений ( теорема Гвоздева ) А. А. Гвоздев, 1927 Z =1 i i i Единичное состояние b Единичное состояние i Fk = 1 b k Реакция i – й связи от единичной силы k – го состояния ( от Fk = 1) численно равна, но противоположна по знаку перемещению по направлению этой силы, возникающему в i – ом состоянии от единичного смещения i – й связи ( от Zi = 1 ): Д о к а з а т е л ь с т в о: По теореме Бетти: Wext, ik = Wext, ki

Контрольные вопросы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*); для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 29» ) 1. Какой приём вычисления интегралов в формуле Максвелла – Мора используется для получения матричного выражения перемещения от силовых воздействий? ( 2 ) 2. Записать матричную формулу для определения одного перемещения Di. F от одного варианта заданных нагрузок. ( 9 ) 3. Как формируется вектор усилий в единичном или грузовом состоянии для расчётного участка и системы в целом ( общий случай )? ( 2 – 6 ) 4. Какой вид имеет матрица упругой податливости расчётного участка и всей системы при определённом виде деформации ( общий случай )? ( 2 – 4 ) 5. Как согласуются по размерам и последовательности расположения блоки векторов единичных и грузовых усилий и матрицы упругой податливости, соответствующие различным участкам и видам деформации? ( 4 – 6 ) 6. Какие части векторов усилий и матрицы упругой податливости системы относятся к учёту деформаций дискретных упругоподатливых связей? ( 7 – 9 ) 7. Правила назначения расчётных участков и расчётных сечений для матричного вычисления перемещений от силовых воздействий. ( 13 ) 8. Частные случаи матриц усилий и упругой податливости для участков постоянного сечения. ( 12 ) 9. Какую структуру имеют матрицы единичных усилий и усилий от заданных нагрузок при определении нескольких перемещений от нескольких вариантов загружений? ( 15 ) 10. Зависит ли матрица упругой податливости системы от числа искомых перемещений и вариантов нагрузок? ( 15 ) 11. По какой матричной формуле определяется перемещение от изменения температуры? ( 19 ) ( 22 ) ___________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов»

Контрольные вопросы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*); для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 30» ) 12. Какие силовые факторы входят в матрицу ( вектор ) единичных усилий при определении температурных перемещений в пространственной системе? В случае плоской системы? ( 20 ) 13. Из каких частей состоит вектор приращений температур ( как учитываются неравномерная и равномерная температурные составляющие )? ( 20 ) 14. Какова структура матрицы температурной податливости в случаях пространственной и плоской систем? ( 20 ) 15. Особенности матриц единичных усилий, приращений температур и температурной податливости для участков постоянного сечения с неизменным по длине температурным режимом. ( 21 ) 16. Матричная формула для перемещения от кинематических воздействий. Структура векторов единичных реакций и компонентов заданных смещений связей. ( 23 ) 17. Формула для определения перемещений от комбинированных воздействий, её варианты для суммарного перемещения и отдельных составляющих от разных видов воздействий. ( 24 ) 18. Общий вид матричной формулы для определения нескольких перемещений от нескольких вариантов комбинированных воздействий. ( 24 ) 19. Теоремы о линейно деформируемых системах – что является общим в их условиях? ( 25 ) 20. Дать формулировку теоремы о взаимности возможных работ ( теоремы Бетти ). ( 25 ) 21. Теоремы о взаимности параметров единичных состояний ЛДС ( теоремы Максвелла ( 26 ) , Рэлея ( 27 ) и Гвоздева ( 28 ) ). ___________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов»