СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. Часть I ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЕФОРМИРУЕМЫХ

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. Часть I ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ 2

ВЫРАЖЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОТ СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ПО МЕТОДУ МАКСВЕЛЛА – МОРА Общий случай формулы Максвелла – Мора для перемещения от силовых воздействий: Изгиб Растяжение/ сжатие Изгиб Сдвиг Кручение Сдвиг Частные случаи формулы Максвелла – а) для плоской. Мора: общего вида системы Di. F, c – при б) для стержневых систем разных типов Рамы ЕАз наличии п Фермы ЕА Балки упругих связей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Алгоритм вычисления перемещения по формуле Максвелла – Мора 1. Исходя из типа и особенностей рассматриваемой системы определяется, 2. какие виды деформаций элементов должны быть учтены при вычислении перемещения; выбирается нужный вариант записи формулы Максвелла – Мора ( общий или частный случай ). 3. 2. Рассматривается действительное состояние системы с определением входящих в выбранный вариант формулы М – М внутренних силовых факторов SF и реакций Rj, F упругих связей ( при их наличии ) от заданных нагрузок. 3. Рассматривается вспомогательное ( фиктивное ) состояние системы с единичным воздействием соответствующего типа по направлению искомого перемещения; определяются внутренние силовые факторы Si и реакции Rj, i упругих связей от единичного воздействия. 4. Найденные силовые факторы действительного и единичного состояний, Примечания: 1). Если результат вычисления по формуле М – М имеет знак «плюс» , 5. искомое перемещение направлено в ту же сторону, что и назначенное единичное представленные аналитически ( функциональными то выражениями внутрен-них усилий ) или графически ( в форме воздействие, в случае знака «минус» – в противоположную сторону. эпюр ) используются в соответству-ющих членах формулы 2). Вычисление интеграла в формуле М – М называется «перемножением эпюр» . М – М; аналитически или численными способами выполняется

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1 l 1= l Приме ( Определить v. Kр вертикальное перемещение точки К ). q K x 1 h EI 1 GA 1 kt 1 EA 1 F EI 2 GA 2 kt 2 EA 2 l Сечения ригеля и стойки – постоянные ( разные ). Решение x 2 4. Вычисляем перемещение по формуле Максвелла=- D 1 F. 1. Переобозначаем искомое перемещение: v. K Мора: Формула Максвелла – Мора для плоской стержневой v. K = D 1 F 2 системы изгиба, сдвига и растяжения-сжатия элементов: с учётом l 2= h x 1 m. M = m. Q = m. N = 2 x 2 2. Рассматриваем действительное ( грузовое ) состояние системы – определяем внутренние силовые факторы MF, QF и NF. ql 1 MF QF ql 1 NF ql 1 3. Рассматриваем вспомогательное ( фиктивное ) состояние системы « i = 1 » с единичным воздействием по направлению искомого перемещения ( силой F 1 = 1 ) – определяем внутренние силовые факторы M 1, Q 1 и N 1: F 1 = 1 1*l 1 1 K i =1 M 1 1 1 Q 1 N 1 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1 l 1= l Приме ( Определить v. Kр вертикальное перемещение точки К ). q K x 1 h EI 1 GA 1 kt 1 EA 1 F x 2 EI 2 GA 2 kt 2 EA 2 x 1 2 l 2= h Сечения ригеля и стойки – постоянные ( разные ). Решение 4. Вычисляем перемещение по формуле Максвелла - Мора: v. K = D 1 F l x 2 Учитывая, что E 1/G 1 = 2(1+n 1) ( n 1 – коэффициент Пуассона ), I 1 = ( здесь r 1 – радиус инерции сечения, h 1 – высота сечения на участке 1 ), получаем: От изгиба От сдвига От укорочения стойки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА 1 l 1= l Приме ( Определить v. Kр вертикальное перемещение точки К ). q K x 1 h EI 1 GA 1 kt 1 EA 1 F x 2 EI 2 GA 2 kt 2 EA 2 l x 2 x 1 2 l 2= h Сечения ригеля и стойки – постоянные ( разные ). Решение От изгиба От сдвига От укороченияоценки вклада каждого вида Для количественной стойки деформации в определяемое перемещение рассмотрим случай, когда ригель и стойка изготовлены из одного материала ( E 1 = E 2 , G 1 = G 2 ): Для большинства изотропных материалов n 1 = 0, 15 … 0, 3; для сечений от прямоугольных до двутавровых h 1 = 0, 3… 0, 45; kt 1 = 1, 2… 3, тогда Если ригель и рама имеют одинаковые сечения ( А 1 = А 2 , I 1 = I 2 ) и длины ( l 1 = l 2 ), то где второе слагаемое в скобках оценивает суммарный вклад в перемещение v. K деформации сдвига ( в ригеле ) и сжатия стойки. При обычных пропорциях колонн и ригелей рамных строительных конструкций h 1 / l 1 = 1/8 … 1/15, и тогда доля перемещения за счёт сдвига и сжатия в сумме составляет 0, 25 … 3, 4 % от перемещения, возникающего от деформации изгиба элементов. При этом вклад сдвига в 1, 4 … 4 раза превышает вклад сжатия.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЁМЫ ( СПОСОБЫ ) ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ В ФОРМУЛЕ МАКСВЕЛЛА – МОРА Возможные варианты: Правило Верещагина ( А. К. Верещагин, 1925 ) f 1(xj) f 2(xj) или f 2(xj) f 1(xj) Условие применимости: одна из функций ( f 1 ) – линейная ( при этом f 2 может быть любой – сложной или линейной ) y a a lj xj dxj f 1(xj ) f 2(xj ) C 2 f 2 Результат «перемножения эпюр» f 1 и f 2 , из которых одна ( f 1 ) линейная, равен произведению площади «сложной» эпюры ( f 2 ) на ординату линейной эпюры в месте расположения центра тяжести «сложной» :

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЁМЫ ( СПОСОБЫ ) ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ В ФОРМУЛЕ МАКСВЕЛЛА – МОРА Возможные варианты: Формула Симпсона ( T. Simpson, 1710 – 1761 ) Условие применимости: единое аналитическое выражение функции Ф(xj) в интервале [ 0; l ] Ф(xj)j Общий случай: Частный случай: Ф(xj) lj интервал n = nmin = 2 интегрирования Ф 1 Ф Ф n– 1 2 разбивается на n Ф Ф 0 3 d d d … d Фn равных участков Фb x ( n – чётное ) j Свойство: если Ф(xj) – полином до 3 -й степени включительно, то результат – b Фc c d = lj /2 Фe e xj

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЁМЫ ( СПОСОБЫ ) ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ В ФОРМУЛЕ МАКСВЕЛЛА – МОРА Пример Т р е б у е т с я: F = 40 к. Н q = 20 к. Н/м EI 1 3 м 3 EI 2 4 2 R 1, F = 90 к. Н C 1 2 K F 100 45 MF ( к. Н*м ) 40 10 2 1 40 0 20 2 3 |v. K| 1, 5 4 5 R 1, 1 = 1, 5 F 1 = 1 K M 1 (1*м) 1 0, 5 0, 75 1 0, 5 2 1, 5 i=1 определить вертикальное перемещение v. K точки К. EI 2 = 2 EI 1 ; С 1 = 5 м – 3 EI 1 Интегралы в формуле Максвелла – Мора вычисляем на участках 1 и 5 по правилу Верещагина, а на участках 2, 3 и 4 – по формуле Симпсона:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Действительное Начальное ( условно tinit – начальное состояние системы недеформированное ) поле после состояние системы изменения температуры температур ds tint init t a Dit рабочие ( экспtint луатационные ) text температуры a 1 Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы ds Fi = 1 D text = text – tinit text D tint = tint – tinit Равновесные состоя ния i = Nt Mt Dt ds ds Nt Mt + d. Mt Qt i Fi * Dit Wint, ti = 0 Qt i Wext, it + Wint, it = 0 Wext, ti + Wint, ti = 0 0 a Qi Ni Mi Dit = – Wint, it ds Mi + d. Mi Ni Qi

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Действительное tinit – начальное состояние системы поле после изменения температуры температур ds t a 1 a D text = text – tinit text D tint = tint – tinit Равновесные состоя ния i Dit Wext, ti + Wint, ti = 0 = Wint, ti = 0 0 Nt Qt Mt Nt Mt + d. Mt Qt Dt ds dqt Fi = 1 D dst Свободные ( нестеснённые ) температурные деформации Силовые ( в частном случае – упругие ) деформации tint init рабочие ( экспtint луатационные ) text температуры Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы ds Ni a i i Wext, it + Wint, it = 0 Fi * Dit Qi Mi Dit = – Wint, it ds Mi + d. Mi Ni Qi Mi Si Ni Qi

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Действительное tinit – начальное состояние системы поле после изменения температуры температур ds t a 1 a D text = text – tinit text D tint = tint – tinit Равновесные состоя ния i Dit Wext, ti + Wint, ti = 0 = Wint, ti = 0 0 Nt Qt Mt Nt Mt + d. Mt Qt Dt ds dqt Fi = 1 D dst Wint, = ti Свободные ( нестеснённые ) температурные деформации Силовые ( в частном случае – упругие ) деформации tint init рабочие ( экспtint луатационные ) text температуры Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы ds Ni a i i Wext, it + Wint, it = 0 Fi * Dit Qi Mi Dit = – Wint, it ds Mi + d. Mi Ni Qi Mi Si Ni Qi

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Действительное tinit – начальное состояние системы поле после изменения температуры температур ds t a 1 a D text = text – tinit text D tint = tint – tinit Равновесные состоя ния i Dit Wext, ti + Wint, ti = 0 = Wint, ti = 0 0 Nt Qt Mt Nt Mt + d. Mt Qt Dt ds dqt Fi = 1 D dst Wint, = ti Свободные ( нестеснённые ) температурные деформации Силовые ( в частном случае – упругие ) деформации tint init рабочие ( экспtint луатационные ) text температуры Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы ds Ni a i i Wext, it + Wint, it = 0 Fi * Dit Qi Mi Dit = – Wint, it ds Mi + d. Mi Ni Qi Mi Si Ni Qi

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Действительное tinit – начальное состояние системы поле после изменения температуры температур ds t a 1 a D text = text – tinit text D tint = tint – tinit Равновесные состоя ния i Dit Wext, ti + Wint, ti = 0 = Wint, ti = 0 0 Nt Qt Mt Nt Mt + d. Mt Qt Dt ds dqt Fi = 1 D dst Свободные ( нестеснённые ) температурные деформации Силовые ( в частном случае – упругие ) деформации tint init рабочие ( экспtint луатационные ) text температуры Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы ds Ni a i i Wext, it + Wint, it = 0 Fi * Dit Qi Dit = – Wint, it ds Mi + d. Mi Ni Mi Si Ni Qi возможная работа внутренних Qi Mi сил i-го состояния на нестеснённых температурных деформациях

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Действительное tinit – начальное состояние системы поле после изменения температуры температур ds a tint init Dit t a 1 text h 1 h 2 a i i возможная работа внутренних сил i-го состояния на свободных ( нестеснённых ) температурных деформациях Dt 2 2 h Fi = 1 D text = text – tinit D tint = tint – tinit i В случае стационарного теплового режима однородного y ds стержня: 0 рабочие ( экспtint луатационные ) text температуры Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы ds z 1 a – коэффициент линейного температурного расширения материала Dt Qi Эпюра Dt Dt 0 Ni Dt 1 > Dt 2 ds Mi Dt 0 ds Равномерное удлинение (укорочение) ds с Искривлен ие k Dtnr Mi + d. Mi Ni Mi Qi Si Ni Qi Деформация сдвига не учитывается ( в случае постоянного сечения фактически отсутствует )

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Действительное tinit – начальное состояние системы поле после изменения температуры температур ds a tint init Dit t a 1 text h 1 h 2 a i i возможная работа внутренних сил i-го состояния на свободных ( нестеснённых ) температурных деформациях Dt 2 2 h Fi = 1 D text = text – tinit D tint = tint – tinit i В случае стационарного теплового режима однородного y ds стержня: 0 рабочие ( экспtint луатационные ) text температуры Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы ds z 1 a – коэффициент линейного температурного расширения материала Qi Эпюра Dt Dt 0 Ni Dt 1 > Dt 2 ds Mi Dt 0 ds Равномерное удлинение (укорочение) ds с Искривлен ие k Dtnr Mi + d. Mi Ni Mi Qi Si Ni Qi

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Действительное tinit – начальное состояние системы поле после изменения температуры температур ds a tint init Dit t рабочие ( экспtint луатационные ) text температуры a 1 Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы ds Fi = 1 D text = text – tinit D tint = tint – tinit i text В случае стационарного теплового режима однородного y ds стержня: h 1 h 2 h i i возможная работа внутренних сил i-го состояния на свободных ( нестеснённых ) температурных деформациях Qi 2 0 a Ni z 1 a – коэффициент линейного температурного расширения материала ds Mi Dt 0 ds Равномерное удлинение (укорочение) ds с Искривлен ие k Dtnr Mi + d. Mi Ni Mi Qi Si Ni Qi

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Действительное tinit – начальное состояние системы поле после изменения температуры температур ds a tint init Dit t рабочие ( экспtint луатационные ) text температуры a 1 Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы ds Fi = 1 D text = text – tinit D tint = tint – tinit i text В случае стационарного теплового режима однородного y ds стержня: h 1 h 2 h i i возможная работа внутренних сил i-го состояния на свободных ( нестеснённых ) температурных деформациях Qi 2 0 a Ni z 1 a – коэффициент линейного температурного расширения материала ds Mi Dt 0 ds Равномерное удлинение (укорочение) ds с Искривлен ие k Dtnr Mi + d. Mi Ni Mi Qi Si Ni Qi

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Действительное tinit – начальное состояние системы поле после изменения температуры температур ds a tint init Dit t В случае стационарного теплового режима однородного y ds стержня: рабочие ( экспtint луатационные ) text температуры a 1 Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы ds Fi = 1 D text = text – tinit D tint = tint – tinit i text h 1 h 2 h 0 Qi Ni z 1 a – коэффициент линейного температурного расширения материала ds Mi Dt 0 ds Равномерное удлинение (укорочение) ds i i Вариант записи формулы М – М: 2 a с Искривлен ие k Dtnr Mi + d. Mi Ni Mi Qi Si Ni Qi

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Действительное tinit – начальное состояние системы поле после изменения температуры температур ds a tint init Dit t В случае стационарного теплового режима однородного y ds стержня: рабочие ( экспtint луатационные ) text температуры a 1 Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы ds Fi = 1 D text = text – tinit D tint = tint – tinit i text h 1 h 2 h 0 Qi Ni z 1 ds Mi Dt 0 ds Равномерное удлинение (укорочение) ds i i Вариант записи формулы М – М: 2 a с Искривлен ие k Dtnr Mi + d. Mi Ni Mi Qi Si Ni Qi

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Действительное tinit – начальное состояние системы поле после изменения температуры температур ds a 1 a tint init text Dt 2 h 0 4 h 1 h 2 2 z Qy, t Эпюра Dt Dt 0 Ni Dt 1 > Dt 2 1 b b 3 4 ds Mz, i b Dt 3 Dt 0 Dt 4 Dt 0 ds Равномерное удлинение (укорочение) ds a i i Обобщение на случай пространственной температурной деформации: В случае стационарного теплового режима однородного y ds стержня: 3 Fi = 1 D text = text – tinit D tint = tint – tinit i Dit t рабочие ( экспtint луатационные ) text температуры Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы ds с Искривлен ие k Dtnr, y Mz, i + d. Mz, i Ni M Qy, t S Mz, i i y, i Ni

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Действительное tinit – начальное состояние системы поле после изменения температуры температур ds a 1 a tint init text В случае стационарного теплового режима однородного y ds стержня: Сокращённая запись формулы М – М: Dt 2 h 0 4 h 1 h 2 2 3 Fi = 1 D text = text – tinit D tint = tint – tinit i Dit t рабочие ( экспtint луатационные ) text температуры Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы ds z Qy, t Эпюра Dt Dt 0 Ni Dt 1 > Dt 2 1 b b 3 4 i ds Mz, i b Dt 3 Dt 0 Dt 4 Dt 0 ds Равномерное удлинение (укорочение) ds с Искривлен ие k Dtnr, y a i rz, t ry, t e 0, t Mz, i + d. Mz, i Ni M Qy, t S Mz, i i y, i Ni

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Пример o text = – 30 C 4 Dt 2, 4 = +5 о. С Dt 1, 4 = +5 о. С t Dt 0, 4 = +5 о. С Dtnr, 4 = 0 о. С Dt 0, 3 = – 20 о. С Dtnr, 3 = – 50 о. С Dt 0, 2 = – 20 о. С Dtnr, 2 = +50 о. С Dt 1, 2 = +5 о. С Dt 2, 3 = =+5 о. С Dt 1, 3 = – 45 о. С e 0, t, 4 = 12*10– 6*(+5) = 0, 6*10– 4 Dt 2, 2 = – 45 о. С Dt 1, 1 = +5 о. С rt, 1 = – rt, 3 = 12*10– 6*(+50)/0, 3 = 20*10– 4 ( м– 1 ) 1 rt, 2 = 12*10– 6*(+50)/0, 5 = 12*10– 4 ( м– 1 ); rt, 4 = 0 e 0, t, 1 = e 0, t, 2 = e 0, t, 3 = 12*10– 6*(– 20) = – 2, 4*10– 4 Dt 2, 1 = – 45 о. С 2 б. Температурные деформации стержней: Dt 0, 1 = – 20 о. С Dtnr, 1 = +50 о. С Т р е б у е т с я: определить горизонтальное перемещение u. K узла К от изменения температуры при переходе от начального состояния конструкции с общей температурой tinit = +15 o. C tint = + 20 3 к эксплуатационному тепловому режиму с наружной температурой text = – 30 o. C и внутренней ( в объёме, ограниченном K элементами рамы ) tint = +20 o. C. 2 И с х о д н ы е д а н н ы е: материал всех стержней рамы – сталь с коэффициентом 1 температурного линейного расширения a = 12*10– 6 (o. C)– 1; 6 м высоты сечений – ригеля hp = 50 см, стоек hc = 30 см (сечения симметричные). Р е ш е н и е: 2 а. Приращения температур элементов 1. Перемещение u. K = D 1 t определяется в действительном состоянии системы по формуле: 2 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Пример o text = – 30 C Т р е б у е т с я: определить горизонтальное перемещение u. K узла К от изменения температуры при переходе от начального состояния конструкции с общей температурой tinit = +15 o. C tint = + 20 3 к эксплуатационному тепловому режиму с наружной температурой text = – 30 o. C и внутренней ( в объёме, ограниченном K элементами рамы ) tint = +20 o. C. 2 И с х о д н ы е д а н н ы е: материал всех стержней рамы – сталь с коэффициентом 1 температурного линейного расширения a = 12*10– 6 (o. C)– 1; 6 м высоты сечений – ригеля hp = 50 см, стоек hc = 30 см (сечения симметричные). Р е ш е н и е: 2 в. Эпюры температурных деформаций 1. Перемещение u. K = D 1 t определяется в действительном состоянии системы по формуле: 12 0 2 б. Температурные деформации стержней: rt, 1 = – rt, 3 = 12*10– 6*(+50)/0, 3 = 20*10– 4 ( м– 1 ) rt, 2 = 12*10– 6*(+50)/0, 5 = 12*10– 4 ( м– 1 ); rt, 4 = 0 e 0, t, 1 = e 0, t, 2 = e 0, t, 3 = 12*10– 6*(– 20) = – 2, 4*10– 4 e 0, t, 4 = 12*10– 6*(+5) = 0, 6*10– 4 20 2, 4 0, 6 rt 20 ( 10– 4 м– 1 ) Правило: эпюра rt cтроится на «более теплых» волокнах 2, 4 e 0, t ( 10– 4 ) 2, 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Пример o text = – 30 C 3 3. Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы 2/3 2 tint = + 20 o. C K K F 1= 1 2 i=1 1 2 6 м Р е ш е н и е: 1. Перемещение u. K = D 1 t определяется по формуле: 2 1 5/3 M 1 5/3 1/3 (м) N 1 2 в. Эпюры температурных деформаций в действительном состоянии системы 12 4. Вычисление перемещения по формуле М – М: 2 б. Температурные деформации стержней: e 0, t, 4 = 12*10– 6*(+5) = 0, 6*10– 4 20 2, 4 0 rt, 1 = – rt, 3 = 12*10– 6*(+50)/0, 3 = 20*10– 4 ( м– 1 ) rt, 2 = 12*10– 6*(+50)/0, 5 = 12*10– 4 ( м– 1 ); rt, 4 = 0 e 0, t, 1 = e 0, t, 2 = e 0, t, 3 = 12*10– 6*(– 20) = – 2, 4*10– 4 1/3 0, 6 rt 20 ( 10– 4 м– 1 ) Правило: эпюра rt cтроится на «более теплых» волокнах 2, 4 e 0, t ( 10– 4 ) 2, 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ( ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ) МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Пример o text = – 30 C 3 3. Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы 2/3 2 tint = + 20 o. C K K F 1= 1 2 i=1 1 2 6 м Р е ш е н и е: 1. Перемещение u. K = D 1 t определяется по формуле: 2 1 5/3 M 1 5/3 1/3 (м) N 1 1/3 2 в. Эпюры температурных деформаций в действительном состоянии системы 12 2, 4 0 0, 6 4. Вычисление перемещения по формуле М – М: 20 rt 20 ( 10– 4 м– 1 ) Правило: эпюра rt cтроится на «более теплых» волокнах 2, 4 e 0, t ( 10– 4 ) 2, 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ СМЕЩЕНИЙ СВЯЗЕЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Действительное состояние системы с кинематическими возмущениями ( смещениями связей ) Dic a с D(2) D(1) a 1 Равновесн ые состояния Fi = 1 i D( j ) r – число компонентов заданных смещений D( r ) связей Wext, ci + Wint, ci = 0 Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы Wint, ci = 0 = – Wint, ci a i i R( 1 ), i R( 2 ), i R( r ), i R( j ), i Правило знаков для единичных реакций смещаемых связей: WR ic + Wint, ic = 0 реакция ext, ), i положительная, (j если её возможная работа на перемещении D( j ) положительная ( иначе: векторы R( j ), i и D( j ) направлены в одну и ту же сторону )

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ СМЕЩЕНИЙ СВЯЗЕЙ МЕТОДОМ МАКСВЕЛЛА – МОРА Пример 2. Действительное состояние системы с заданными смещениями связей 6 м Т р е б у е т с я: определить горизонтальное перемещение u. K узла К от углового и линейных смещений опор А и В. Р е ш е н и е: 1. Перемещение u. K = D 1 c определяется по формуле: 3 K 2 1 А А* D(1) = 0, 002 с D(3)см см 1, 2 = 1, 2 В Нумерация компонентов смещений связей D(4) = 1, 5 см В* 1, 5 см 3. Вспомогательное ( фиктивное ) единичное состояние системы 1 D(2) = 1 см см 4. Вычисление перемещения по формуле М – М: K F 1= 1 R( 2 ), 1 = – 1 А R( 1 ), 1 = 1 м i=1 В R( 3 ), 1 = – 1/3 R( 4 ), 1 = 1/3

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФОРМУЛА МАКСВЕЛЛА – МОРА ДЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ Изгиб Растяжение/ сжатие Изгиб Сдвиг Температурные искривления Кручение Сдвиг Температурные искривления Деформации упругих связей Продольные температурные деформации Смещения связей Сокращённая форма записи: От силовых воздействий ( нагрузок ) От изменения температуры От смещений связей

Контрольные вопросы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*); для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 30» ) 1. Частные случаи формулы Максвелла – Мора ( ФМ – М ) для перемещений от силовых воздействий: а) в случае плоской стержневой системы; ( 2 ) б) для стержневых систем разных типов. ( 2 ) 2. Алгоритм вычисления перемещения по ФМ – М. ( 3 ) 3. Как истолковываются знаки « + » или « – » в результате вычисления перемещения по ФМ – М? ( 3 ) 4. Что означает термин «перемножение эпюр» ? ( 3 ) 5. Формулировка правила Верещагина для «перемножения эпюр» . Каково необходимое условие применимости правила Верещагина? ( 7 ) 6. Как используется правило Верещагина для «перемножения эпюр» в случае, когда «грузовая» эпюра – параболическая общего вида? ( разложение на простые составляющие – самостоятельно ) 7. Формула Симпсона, условие её применимости для «перемножения эпюр» . ( 8 ) 8. В каких случаях вычисление интегралов в ФМ – М по формуле Симпсона даёт точный результат? ( 8 ) 9. Формула Максвелла – Мора для перемещения от изменения температуры, варианты её записи. ( 18 – 22 ) 10. От каких характеристик температурного режима и параметров системы зависит температурное перемещение? ( 15 ) _11. Как вычисляются нестеснённые температурные деформации ( кривизна и относительная продольная деформация ) в ФМ – М для перемещения от изменения температуры? ( 19 ) __________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов»

Контрольные вопросы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*); для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 31» ) 12. Почему в ФМ – М для температурного перемещения отсутствуют характеристики жёсткости элементов системы? ( 12 ) 13. Правила знаков для температурных деформаций. Как стоится эпюра кривизн? ( 24 ) 14. Формула Максвелла – Мора для перемещения от кинематических воздействий ( смещений связей ). ( 27 ) 15. Правило знаков для единичных реакций смещаемых связей. ( 27 ) 16. Универсальная формула Максвелла – Мора для перемещений линейно деформируемых пространственных стержневых систем ( полная развернутая запись ). ( 29 ) 17. Сокращённая запись универсальной формулы Максвелла – Мора, смысл её составляющих. ( 29 ) ___________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов»