СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Часть I РАСЧЁТ ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМ ВНУТРЕННИЕ

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. Часть I РАСЧЁТ ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМ ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ 2

Внутренние силовые факторы и напряжения в сечениях элементов ТШС I II C Распорная ТШС II A I N M Q HA I A t VA n B II D I C II B A ТШС с затяжкой S nотс = 0 , t s S t = 0, отс s = m. M + s. N S s отс = 0 HD N M A D VD Q NAB K

Дифференциальные уравнения равновесия элемента плоского стержня qn t Q N qt M + d. M ds Q + d. Q M n dq r N + d. N ds = r * dq Sn = 0, S t = 0, Sm = 0

Внутренние силовые факторы в сечениях элементов ТШС (арки, рамы) (опоры на одном уровне) при действии вертикальной нагрузки y x VA A HA q(x) C f y(x) A 0 l VB 0 C 0 l VA 0 = S m. B 0, F / l HB b a VA 0 VB Опорные реакции балки B x Опорные реакции трёхшарнирной арки (рамы) H Опорные f = MC 0 / реакции трехшарнирн VA ой. VA 0 = арки = H = )H H (рамы Sx = 0 VA = V B B B 0 S m. A = 0 B 0 VB = S m. A, F / l S m. B = 0 VB 0 = S m. A 0, F / l VA = S m. B, F / l

Внутренние силовые факторы в сечениях элементов ТШС (арки, рамы) (опоры на одном уровне) при действии вертикальной нагрузки y x M(x) = VA* x +S m. F, oтc – H* y(x) M(x) VA A VA 0 N(x) Q(x) H M 0(x) q(x) M 0(x) y(x) M(x) = M 0(x) – H* y(x) x Q(x) = (VA+S y. F, oтc ) * cos q(x) – H* sin q(x) Q 0(x) Примечание: Q(x) = Q 0(x) * cos q(x) – H* sin q(x) N(x) = – (VA+S y. F, oтc )* sin q(x) – H* cos q(x) Nверш = – H; Qверш = Q 0 N(x) = – [ Q 0 Q 0(x)sin q(x) + H* cos q(x) ] (x)* VA 0= VA Q 0(x) в вершине арки, где q(x) = 0:

Внутренние силовые факторы в сечениях элементов ТШС c опорами на разных уровнях при действии вертикальной нагрузки y x Опорные реакции VA / VA/ = VA 0 A VB/ = VB 0 H/ = MC 0 / f / H/ V B/ q(x) C y 1(x) a 0 f/ H/ B x b a l M(x) = M 0(x) – H/* y 1(x) = y(x) cos a 0 – x sin a 0 Q(x) = Q 0(x) * cos q(x) – H/* sin [q(x) – a 0] N(x) = – { Q 0(x)* sin q(x) + H/* cos [q(x) – a 0]}

Внутренние силовые факторы в сечениях элементов ТШС c опорами на разных уровнях при действии вертикальной нагрузки y x Опорные реакции V A/ Вариант: VA/ = VA 0 A H / MC 0 VB== VB 0/ f H/ = MC 0 / f / H/ VB / q(x) C f / f *(x) y y 1(x) a 0 H/ b a B x l / y (x) M(x) = M 0(x) – H**y*1(x) y 1(x) = y(x) cos a 0 – x sin a 0 Q(x) = = Q 0(x)cos q(x) – – H/* sin [q(x) – – a 0] Q(x) Q 0(x) * * cos q(x) * sin [q(x) a 0] N(x) – { Q 0(x)* sin q(x) + N(x) = = – { Q 0(x)* sin q(x) + H/* cos [q(x) – a 0]}]} * cos [q(x) – a 0

Пример x y (x) Н A При другом очертании оси: F C B A F C f BН M 0 MC 0 H * y (x) MC 0 Больше, чем в исходном случае H = MC 0 / f M M = M 0 – H * y (x)

y 6 м 9 м 4 м q = 32 к. Н/м F 1 = 240 к. Н C q. F 1 f=6 м VA = 370 к. Н A F 2 = 80 к. Н q. F 2 VB = 430 к. Н Окружность H = 396 к. Н H 12 м 140, 10 B x 12 м 125, 99 78, 00 42, 00 0, 00 M 0, 00 19, 32 (к. Н* м) 78, 01 58, 40 48, 17 39, 25 94, 80 123, 90 F 1 cos q. F 1 101, 78 34, 00 58, 80 18, 45 F 2 cos q. F 2 101, 23 13, 59 59, 73 Q (к. Н) 29, 60 N 533, 6 538, 8 532, 3 414, 9 404, 3 414, 0 F 1 sin q. F 1 396, 0 (к. Н) 400, 4 F 2 sin q. F 2 426, 1 458, 1 517, 2 581, 6

y 6 м 9 м 4 м q = 32 к. Н/м F 1 = 240 к. Н F 2 = 80 к. Н C Парабола f=6 м VA = 370 к. Н A VB = 430 к. Н Окружност ь H = 396 к. Н H 12 м B x 12 м 140, 10 78, 00 0, 00 M 0, 00 101, 78 94, 80 42, 00 123, 90 (к. Н* м) F 1 cos q. F 1 160, 00 48, 17 101, 23 111, 49 222, 00 F 2 cos q. F 2 59, 73 58, 80 Q (к. Н) N 533, 6 541, 6 F 1 sin q. F 1 396, 0 F 2 sin q. F 2 (к. Н) 581, 6 584, 1

y 6 м 9 м 4 м q = 32 к. Н/м F 1 = 240 к. Н F 2 = 80 к. Н C Парабола f=6 м VA = 370 к. Н H = 396 к. Н A VB = 430 к. Н Окружност ь H 12 м B x 12 м 140, 10 78, 00 Для сравнения: M 0, max = VA 0 42, 00 0, 00 M 0, 00 (к. Н* м) 123, 90 160, 00 222, 00 F 1 q A 0 VB 0 F 2 B 0 = 2394 к. Н*м M 0 (к. Н* м) 1480 2130 M 0, max 2004

Трёхшарнирные системы (арки и рамы) с рациональным очертанием оси Критерий рациональности – безмоментность: М(х) = 0 Рациональное очертание оси при вертикальных нагрузках: M(x) = M 0(x) – H * y (x) = 0 Пример A Пр В ям ая Пр а ям я M 0(х) AП ря я ма С Пр ям ая В

Трёхшарнирные системы (арки и рамы) с рациональным очертанием оси Критерий рациональности – безмоментность: М(х) = 0 Рациональное очертание оси при равномерной гидростатической нагрузке ( qn = const , qt = 0 ) qn = const Из дифференциальных уравнений равновесия: r = const – окружность

Понятие об оптимальной стреле подъёма арки с рациональным очертанием оси Целевая функция – объём материала арки s A(s) f l V( f ) Результаты оптимизации с ограничением по прочности Нагрузка Форма оси Вертикальн Парабола ая равномерна я fopt / l Постоя н. сечени е Равнопрочн. 0, 342 0, 43 3 V min fopt f

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ y x F=1 x. K VA A Линия влияния изгибающего момента MK(x) = M 0 K(x) – H(x) * y. K C K H a y. K VB f H b l 1 Линии влияния опорных реакций a*b / ( f*l ) B x Л. В. MK = = Л. В. M 0 K – – y. K * Л. В. Н Л. В. VA = Л. В. VA 0 1 Л. В. V = Л. В. V B B 0 Л. В. H

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ y x F=1 x. K VA A Линия влияния изгибающего момента MK(x) = M 0 K(x) – H(x) * y. K C K H a y. K VB f H b l b* x. K / l y. K * a * b / ( f * l ) y. K * x. K * b / ( f * l ) ( x. K / l )* (l – x. K – y. K * b / f ) ( b / l )* ( x. K – y. K * a / f ) B x Л. В. MK = = Л. В. M 0 K – – y. K * Л. В. Н Л. В. M 0 K Л. В. Н * y. K Л. В. MK

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ Невыгоднейшее загружение симметричной арки равномерно распределённой вертикальной q q нагрузкой C x. K ~ l/4 VA A K H l /2 q y. K f H l /2 q VB B MK, max MK, min ? В ы в о д: приближённо Загружение на MK, max Загружение на MK, min Л. В. MK 0, 4 l от опоры, ближайшей к сечению 0, 6 l от противоположной опоры

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ y x F=1 x. K VA A Линия влияния поперечной силы Q (x) = Q (x) * cos q – H(x) * sin q K C q. K K H a y. K 0 K sin q. K * x. K * b / ( f * l ) cos q. K K VB f H B b l cos q. K K ( b / l )* cos q. K sin q. K * a * b / ( f * l ) Л. В. QK = x = cos q * Л. В. Q – K 0 K – sin q. K * Л. В. Н Л. В. Q 0 K * cos q. K Л. В. Н * sin q. K ( b / l )*[ cos q. K – ( a / f ) * sin q. K] ( x. K / l )*[cos q. K +( b / f ) * sin q. K ] Л. В. QK

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ y x F=1 x. K VA A Линия влияния продольной силы NK (x) = – [ Q 0 K (x) * sin q. K + H(x) * cos q. K] C q. K K H a y. K VB f H b l sin q. K cos q. K * x. K * b / ( f * l ) ( b / l )* sin q. K cos q. K * a * b / ( f * l ) sin q. K ( x. K / l )*[sin q. K – ( b / f ) * cos q. K] B Л. В. NK = x = – sin q. K * Л. В. Q 0 K – – cos q. K * Л. В. Н Л. В. Q 0 K * sin q. K Л. В. Н * cos q. K Л. В. NK – ( b / l )*[sin q. K + ( a / f ) * cos q. K]

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ y (кинематический метод) Линия влияния распора(20) = (21)(10) + О. С. x F=1 (12) = C C 1 2 f (10) =A a H b l f * l/a B x

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ y (кинематический метод) Линия влияния dq 2 распора(20) = (21)(10) + О. С. x F=1 dq 2 (12) = C 2 1 f (10) =A a d. F (x) < 0 f * l/a d. H B H b l dq 2* b b*a /(f * l) x d. H = dq 2* f * l /a dq 2 = d. H *a /(f * l) dq 2 Эпюра d. F Л. В. Н

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ y (кинематический метод) Линия влияния изгибающего x момента F=1 x. K C = (23) (12) = K (10) = A 1 2 MK y K 3 f a b l B = (30) x

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ (кинематический метод) Линия влияния изгибающего u. M момента y (20) = (21)(10) + (23)(30) x. K (20)C = (23) (12) = K (10) = A 1 x 2 MK y K f a d. M x. K 1 3 y b B = (30) x tg y = f / b tg x = y. K / x. K l Эпюра d. F Л. В. MK MK (x)

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ (кинематический метод) y Линия влияния поперечной силы F=1 x x. K C QK K A q. K y. K f a B b l x

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ (кинематический метод) Линия влияния поперечной u. Q силы y (12) x. K C QK (10) = A 1 = (23) 3 (20) q. K a 2 (20) = (21)(10) + (23)(30) f y b l B = (30) x tg y = f / b

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ (кинематический метод) Линия влияния поперечной u. Q силы y (12) x. K C QK (10) = A 1 = (23) 3 (20) q. K a 2 (20) = (21)(10) + (23)(30) f y b B = (30) x l cos q. K Л. В. QK tg y = f / b

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ (кинематический метод) y u. Q (20) = (21)(10) + (23)(30) x. K (20)C = (23) QK (10) = A 1 Линия влияния поперечной силы (12) q. K a 2 f 3 y b B = (30) x l cos q. K Л. В. QK tg y = f / b

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ (кинематический метод) Линия влияния продольной силы x x. K F=1 C y K q. K y. K A f a B b l x

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ (кинематический метод) (12) y (20) u. N q. K Линия влияния продольной силы x (20) = (21)(10) + (23)(30) F=1 2 C = (23) q. K (10) = A NK 1 3 f a y b B = (30) x l sin q. K Л. В. NK tg y = f / b

ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ТРЁХШАРНИРНЫХ СИСТЕМАХ (кинематический метод) y x x. K (12) K q. K (10) = A Линия влияния продольной силы F=1 (20) = (21)(10) + (23)(30) NK 1 q. K C = (23) 2 f y y. K a tg y = f / b B = (30) x b l sin q. K 3 u. N (20) Л. В. NK

Контрольные вопросы самостоятельно ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*); для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 30» ) 1. Какие усилия возникают в произвольном сечении арки? ( 2 ) 2. Дифференциальные уравнения равновесия элемента криволинейного стержня. ( 3 ) 3. Как определяются вертикальные составляющие опорных реакций трёхшарнирной арки с опорами на одном уровне в случае вертикальной нагрузки? ( 4 ) 4. Как зависит распор трёхшарнирной арки от стрелы подъёма? ( 4 ) 5. Почему ключевой шарнир трёхшарнирной арки располагают обычно в её вершине? ( 4 ) 6. Формула для изгибающих моментов в трёхшарнирной арке при вертикальной нагрузке. ( 5 ) 7. Изгибающие моменты в арке больше или меньше моментов в балке того же пролёта при той же вертикальной нагрузке? Почему? ( 5 ) 8. Формула для поперечных сил в трёхшарнирной арке при вертикальной нагрузке. ( 5 ) 9. Формула для продольных сил в трёхшарнирной арке при вертикальной нагрузке. ( 5 ) 10. Особенности очертания эпюр ВСФ в трёхшарнирных арках. 11. Как используются дифференциальные зависимости между усилиями в криволинейном стержне для построения и проверки эпюр ВСФ в арке? 12. Какую особенность имеет эпюра Q в арке в месте приложения сосредоточенной силы F ? 13. Какую особенность имеет эпюра N в арке в месте приложения сосредоточенной нагрузки F ? 14. Чему равна поперечная сила в сечении в вершине арки? ( 5 ) 15. Чему равна продольная сила в сечении в вершине арки? ( 5 ) 16. Почему трёхшарнирная арка экономичнее по расходу материала, чем балка того же пролёта? ( самостоятельно ) 17. Что такое арка рационального очертания? ( 11 ) ______________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов»

Контрольные вопросы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*); для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 31» ) 18. Главное свойство арки рационального очертания. ( 11 ) 19. Какие усилия возникают в арке рационального очертания? ( 11 ) 20. Каково рациональное очертание оси арки при равномерно распределённой по всей её длине гидростатической нагрузке? ( 12 ) 21. Уравнение оси арки рационального очертания при вертикальной нагрузке. ( 11 ) 22. Каково рациональное очертание оси арки при равномерно распределённой по всему пролёту вертикальной нагрузке? ( самостоятельно, по аналогии с ( 11 ) ) 23. Какое очертание оси арки – параболическое или эллиптическое – выгоднее при вертикальных нагрузках, приложенных вблизи от опор? ( самостоятельно ) 24. Какой вид имеет линия влияния распора трёхшарнирной арки с опорами на одном уровне? ( 14 ) 25. Какой вид имеет линия влияния изгибающего момента в произвольном сечении трёхшарнирной арки? ( 22 ) 26. Какой вид имеет линия влияния поперечной силы в сечении арки, расположенном слева (справа) от ключевого шарнира? ( 25 ) ( 26 ) 27. Чему равен скачок на Л. В. Q в сечении трёхшарнирной арки? ( 25 ) ( 26 ) 28. Какой вид имеет линия влияния продольной силы в сечении арки левее ( правее ) ключевого шарнира? ( 28 ) ( 29 ) 29. Чему равен скачок на Л. В. N в сечении трёхшарнирной арки? ( 28 ) ( 29 ) 30. Какое загружение равномерно распределённой нагрузкой для симметричной арки более опасное – по всему пролёту или по его половине? ( 16 ) 31. При каком загружении трёхшарнирной арки равномерной временной нагрузкой в её сечениях возникают наибольшие по абсолютной величине продольные силы? ( самостоятельно ) ___________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов»