СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Часть I МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. Часть I МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМАХ

внешних (опорные реакции) Силовые факторы – реакции связей между дисками внутренних статический в сечениях кинематический элементов энергетический (внутренние силовые факторы) Методы определения силовых факторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Сущность статического метода – непосредственное использование уравнений равновесия системы в целом и/или её частей. Уравнения равновесия в случае линейно деформируемой F 1 q B h C A l M l/2 F 1 h системы: l/2 HA A q A*S + BF = 0 VC q C C HC l MA VC B M VB l/2 VA n = 3*2 = 6 = n ; D yp nc = n. S = 6 Вектор искомых реакций связей: F 2 дифференциальные уравнения для бесконечно малого линейные алгебраические элемента уравнения для системы элементов конечных размеров ( S – вектор искомых дискретной системы ) усилий; А – матрица коэффициентов при неизвестных S в уравнениях равновесия; ВF – вектор «грузовых» Для системы в целом: членов – число уравнений искомых усилий n. S = nc ; равновесия – количество уравнений nyp= n. D. (от заданных В случае статически нагрузок). определимой cистемы (W = 0) n. D=nc nyp=

внешних (опорные реакции) Силовые факторы – реакции связей между дисками внутренних статический в сечениях кинематический элементов энергетический (внутренние силовые факторы) Методы определения силовых факторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Сущность статического метода – непосредственное использование уравнений равновесия системы в целом и/или её частей. Уравнения равновесия в случае линейно деформируемой системы: F 1 h Уравнения равновесия: HA A q A*S + BF = 0 VC q C C HC l MA VC B M VB l/2 VA n = 3*2 = 6 = n ; D yp nc = n. S = 6 Вектор искомых реакций связей: F 2 дифференциальные уравнения для бесконечно малого линейные алгебраические элемента уравнения для системы элементов конечных размеров ( S – вектор искомых дискретной системы ) усилий; А – матрица коэффициентов при неизвестных S в уравнениях равновесия; ВF – вектор «грузовых» Для системы в целом: членов – число уравнений искомых усилий n. S = nc ; равновесия – количество уравнений nyp= n. D. (от заданных В случае статически нагрузок). определимой cистемы (W = 0) n. D=nc nyp=

внешних (опорные реакции) Силовые факторы – реакции связей между дисками внутренних статический в сечениях кинематический элементов энергетический (внутренние силовые факторы) Методы определения силовых факторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Сущность статического метода – непосредственное использование уравнений равновесия системы в целом и/или её частей. Уравнения равновесия в случае линейно деформируемой системы: Уравнения равновесия: F 1 q A*S + BF = 0 VC q C C B h необходимое и HC M достаточное VC VB статическое условие l A геометрической l/2 MA HA неизменяемости VA n = 3*2 = 6 = n ; системы D yp nc = n. S = 6 Вектор искомых реакций связей: F 2 дифференциальные уравнения для бесконечно малого линейные алгебраические элемента уравнения для системы элементов конечных размеров ( S – вектор искомых дискретной системы ) усилий; А – матрица коэффициентов при неизвестных S в уравнениях равновесия; ВF – вектор «грузовых» Для системы в целом: членов – число уравнений искомых усилий n. S = nc ; равновесия – количество уравнений nyp= n. D. (от заданных В случае статически нагрузок). определимой cистемы (W = 0) n. D=nc nyp=

Силовые факторы – реакции связей Методы определения силовых факторов внешних (опорные реакции) между дисками внутренних статический в сечениях кинематический элементов энергетический (внутренние силовые факторы) ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Сущность статического метода – непосредственное использование уравнений равновесия системы в целом и/или её частей. Уравнения равновесия в случае линейно деформируемой A*S + BF = 0 системы: Универсальная процедура формирования системы уравнений равновесия ( концепция конечных элементов ) 1. Разделение системы на элементы и узлы сечениями по концам стержневых элементов ( концевыми сечениями ). 2. Запись уравнений: – 1 -я группа – уравнения равновесия элементов в локальных (собственных) осях координат – стандартная процедура; – 2 -я группа – уравнения равновесия узлов ( включая опорные ) в общей ( глобальной ) системе координат; – 3 -я группа – статические характеристики связей в узлах. линейные алгебраические уравнения для системы элементов конечных размеров ( S – вектор искомых дискретной системы ) усилий; А – матрица коэффициентов при неизвестных S в уравнениях равновесия; ВF – вектор «грузовых» членов уравнений равновесия (от заданных нагрузок).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Универсальная процедура формирования A*S + BF = 0 системы уравнений равновесия ( концепция конечных элементов 1. Разделение системы на элементы и узлы ) 2 b 2 2 b 3 4 3 3 a a e 1 сечениями по концам стержневых элементов F ( концевыми сечениями ). 1 2. Запись уравнений: – 1 -я группа – уравнения равновесия элементов в локальных (собственных) осях координат – 1 b 1 стандартная процедура; А – 2 -я группа – уравнения равновесия узлов ( включая опорные ) в общей ( глобальной ) q Qb 2 системе координат; 2 Mb 2 F – 3 -я группа – статические характеристики Qe 1 Nb 2 2 связей в узлах. Me 1 Ne 1 yj У р а в н е н и я 1 -й г р у п п ы: Qe 1 Qbj q Mej Nbj F 1 ej Nej xj j l Mbj bj Qej j Пример q e 2 b 4 Количество уравнений 1 -й группы – 12 У р а в н е н и я 2 -й г р у п п ы: M Mb 1 Nb 1 F 2 b 2 y Nb 2 Qe 1 Q Me 1 N b 2 e 1 Qb 1 HA MA x 1 VA Количество уравнений 2 -й группы – 12 уравнений 27 nyp= n. S В l l /2 Me 2 Qe 2 Реакции опор Усилия в концевых сечениях (6) элементов (21) j = 1, 2, 3, 4 Вектор Qb 1 искомы х Mb 1 Nb 1 усилий Qb 1 HA 1 MA от нагрузки VA Общее t = 1, 2, 3, 4 число e 3 4 Ne 2 3 Qb 3 Mb 3 Q q Mb 4 Nb 4 4 Qb 4 N Qb 3 3 Qe 3 Me 3 Ne 3 Qe 3 HB MB 4 VB У равнения MA = 0 3 -й группы HB = 0 ( 3 ): Me 2 = 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ В случае статически неопределимой системы W<0 n. D < nc nyp< n. S Недостающие уравнения в количестве nc – n. D = nл. с. – геометрические: AD* D + D = 0 – условия совместности перемещений (например, описание перемещений по направлениям лишних связей) Объединённая система уравнений: A* S + BF = 0 A D* D + D = 0 Из физических зависимостей ( закон Гука и др. ): D = D (S) – выражения перемещений через усилия Разрешающие уравнения в усилиях: A 0* S + B 0 = 0 Необходимое и достаточное аналитическое условие геометрической неизменяемости системы:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) КИНЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ В основе метода – принцип возможных перемещений ( принцип Лагранжа )*: если механическая система находится в равновесии, то сумма работ внешних сил, приложенных к системе, и соответствующих им внутренних сил на возможных ( виртуальных ) перемещениях равна нулю: Wext + Wint = 0 *J. L. Lagrange ( 1788 )

Возможные (виртуальные) перемещения – а) бесконечно малые ( для линейно деформируемых систем – конечные, но малые в сравнении с габаритами системы ); б) не противоречащие условиям совместности деформаций ( перемещений ) и кинематическим граничным условиям ( условиям закрепления ); в) отсчитываемые от исследуемого положения равновесия.

F 1 q Fn F 1 = a 1 F , …, Fn = an. F , q = x. F F – обобщённая нагрузка ( параметр группы активных внешних сил ) Обязательная процедура – выявление подлежащего определению силового фактора S ( реакции связи ): cвязь удаляется, её реакция S переходит в категорию внешних сил. F 1 q q Fn Fn Системе с удалённой связью, сохраняющей равновесие после приложения реакции S, задаётся возможное ( виртуальное ) перемещение. Возможная работа внешних сил Wext складывается из работ нагрузки и реакции связи S: Wext = WF + WS , где WF = F * d. F , WS = S * d. S , Правило знаков: перемещения d. F и d. S положительные, если совпадают по направлению соот -ветственно с F и S ( возможная работа F на d. F или S на d. S d. F – обобщённое ( групповое ) перемещение, SS соответствующее обобщённой нагрузке F; d. S – перемещение по направлению удалённой связи ( по направлению реакции S ).

Алгоритм определения реакции связи кинематическим методом 1. В системе, находящейся в равновесном деформированном состоянии при заданной нагрузке, удаляется связь, реакцию которой S требуется определить. Взамен удалённой связи 2. Системе с удалённой связью, находящейся поприкладывается её реакция S, обеспечивающая прежнему всохранение деформированном состоянии при равновесном неизменным состояния равновесия системы. действующей 3. нагрузке и реакции S, задаётся возможное Определяются (с точностью до общего (виртуальное) неопределённого перемещение. перемещения d. F и d. S – множителя d 0 ) соответственно 4. Из уравнения возможных работ Wext + F int искомой по направлениям заданной нагрузки W и = 0 определяется реакции S. искомый силовой фактор S (реакция связи):

Алгоритм определения реакции связи кинематическим методом 1. В системе, находящейся в равновесном деформированном состоянии при заданной нагрузке, удаляется связь, реакцию которой S требуется определить. Взамен удалённой связи 2. Системе с удалённой связью, находящейся поприкладывается её реакция S, обеспечивающая прежнему всохранение деформированном состоянии при равновесном неизменным состояния равновесия системы. действующей 3. нагрузке и реакции S, задаётся возможное Определяются (с точностью до общего (виртуальное) неопределённого перемещение. перемещения d. F и d. S – множителя d 0 ) соответственно 4. Из уравнения возможных работ Wext + F int искомой по направлениям заданной нагрузки W и = 0 определяется реакции S. искомый силовой фактор S (реакция связи):

F А B S Требуется определить Исследуемое Равновесие равновесное реакцию связи RA системы деформированное с удалённой связью состояние системы Примечание: как модель нагрузки F следует рассматривать обобщённой (произвольной)

F A 1 B А B 1 S Возможные (виртуальные) перемещения

Направление реакции S F B B 1 b d. S a A 1 А d. F S Перемещения d. F и d. S зки F нагру Напр авлен ие по направлениям нагрузки F и реакции связи S

Удаление внутренних связей. Смысл перемещения d. S 1. Удаление внутренней угловой связи для определения изгибающего момента в сечении ds d. SВозможная lработа– = d. M = q + q r Возможное реакции угол взаимного удалённой связи: (виртуальное) (относительного) поворота ql + M* qr = WM = Mперемещение * сечений бесконечно близко = M* ( q l + q r ) = слева и справа от = M * шарнира введённого d. M ql M M q r ql > 0, qr > 0 d. M d. S > 0

Удаление внутренних связей. Смысл перемещения d. S 2. Удаление внутренней линейной связи для определения поперечной силы в сечении ds Q Q

Удаление внутренних связей. Смысл перемещения d. S 2. Удаление внутренней линейной связи для определения поперечной силы в сечении d. S = d. Q = dработа– + dr Возможная l Q b 1 реакции Параллельно взаимное удалённой связи: (относительное) Возможное a b нормальное * d = к оси (виртуальное) WQ = Q * dl + Q r dl стержня линейное перемещение a 1 = Q* ( dl + dr ) = ( перемещение сечений Q точек= Q b ) бесконечно a и *d Q dl > 0, dr > 0 близко слева и справа от d. S = d. Q dr d. S > 0

Удаление внутренних связей. Смысл перемещения d. S 3. Удаление внутренней линейной связи для определения продольной силы в сечении ds N N

Удаление внутренних связей. Смысл перемещения d. S 3. Удаление внутренней линейной связи для определения продольной силы в сечении d. SВозможная работа = d. N = dl + dr – реакции взаимное Возможное удалённой связи: (относительное) (виртуальное) по касательной к* оси WN = N * dl + N dr = перемещение стержня линейное N = N* ( dl + dr ) = ( перемещение сечений точек a и b ) бесконечно = N * dи близко слева N справа dl > 0, от введённого d. N = d. N S dr dl a 1 N b 1 ab dr > 0 d. S > 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Силовой фактор S в линейно деформируемой системе определяется как производная потенциальной энергии упругой деформации U (ПЭУД) по соответствующему перемещению DS по направлению S ( т е о р е м а Л а г р а н ж а ):

Контрольные вопросы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*); для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 22» ) 1. Какие силовые факторы определяются в расчётах сооружений и конструкций? ( 2 ) 2. Перечислить основные методы определения силовых факторов. ( 2 ) 3. В чём сущность статического метода определения реакций связей и внутренних усилий? ( 2 ) 4. Какими уравнениями описывается равновесие а) дифференциально-малого элемента ( 2 ) б) дискретной ( конечно-элементной ) линейно деформируемой системы? ( 2 ) 5. Каково соотношение между числом уравнений равновесия и количеством искомых силовых факторов в случае статически определимой системы? ( 2 ) 6. В чём суть универсальной процедуры формирования уравнений равновесия, реализующей концепцию конечных элементов? ( 5 ) 7. Из каких групп состоит система уравнений равновесия, формируемых с помощью универсальной процедуры? ( 4 ) ( 6 ) 8. Какие особенности имеет применение статического метода к статически неопределимым системам? ( 7 ) 9. Каково необходимое и достаточное аналитическое ( статическое ) условие геометрической неизменяемости системы? ( 4 ) ( 7 ) 10. На чём основан кинематический метод определения реакций связей ( силовых факторов )? Дать формулировку принципа Лагранжа. ( 8 ) 11. Что такое возможные ( виртуальные ) перемещения? – три их свойства. ( 9 ) 12. Какая обязательная процедура предшествует заданию виртуальных перемещений при реализации кинематического метода определения реакции некоторой связи? ( 10 ) 13. Что такое обобщённая нагрузка и обобщённое перемещение? ( 10 ) ___________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов»

Контрольные вопросы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*); для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 23» ) 14. Изложить алгоритм определения реакции связи кинематическим методом. ( 11 ) 15. Основная формула кинематического метода для определения силового фактора S. ( 11 ) 16. Что такое d. F и d. S в основной формуле кинематического метода? ( 10 ) 17. Каково правило знаков для перемещений d. F и d. S? ( 10 ) 18. Какие связи должны удаляться при определении внутренних силовых факторов кинематическим методом? ( самостоятельно ) 19. Какая связь удаляется при определении кинематическим методом изгибающего момента в определённом сечении стержневого элемента? Что появляется в сечении в результате удаления связи? ( 16 ) 20. Какой смысл имеет величина d. S в случае определения изгибающего момента М ? ( 16 ) 21. Какая связь удаляется при определении кинематическим методом поперечной силы в сечении стержневого элемента? Что появляется в сечении в результате удаления связи? ( 17 ) 22. Какой смысл имеет величина d. S в случае определения поперечной силы Q ? ( 18 ) 23. Какая связь удаляется при определении кинематическим методом продольной силы в сечении стержневого элемента? Что появляется в сечении в результате удаления связи? ( 19 ) 24. Какой смысл имеет величина d. S в случае определения продольной силы N ? ( 20 ) 25. На чём основан энергетический метод определения силовых факторов в деформируемых системах? ( 21 ) 26. Аналитическая запись энергетической теоремы Лагранжа для определения силового фактора S. ( 21) ___________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов»